[...αξιοπερίεργη έλλειψη, δεν αναφέρεται απορία, ψευδοπείραμα, (Szabo, Farrington.]
Γαϊτάνη Αντωνία
«Σχέση Μαθηματικών και Μουσικής μέσω Αρχαίων
Ελληνικών Kειμένων»
''...η πρώιμη αριθμητική θεωρία των λόγων σχετίζεται άμεσα με τα ακουστκά
πειράματα, ενώ παρακάτω εξηγεί πώς η προσπάθεια εύρεσης ενός κοινού
μουσικού μέτρου οδήγησε, μέσω της άπειρης ανθυφαιρετικής διαδικασίας, στο
συμπέρασμα ότι το διάστημα μιας οκτάβας κι αυτό του «διαπέντε» είναι
ασύμμετρα, σύμφωνα με τον ορισμό 2, στο βιβλίο Χ των «Στοιχείων» του Ευκλείδη.'']
[...ο καθηγητής Σ. Νεγρεπόντης - όπως άλλωστε δίδαξε στο
μάθημα «Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, Στοιχεία Ευκλείδη» στα
πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος «Διδακτική και Μεθοδολογία των
Μαθηματικών» - επιχειρηματολογεί για το γεγονός ότι η απόδειξη της αρρητότητας
του √2 είναι ειδικής φύσεως και διαφορετική από αυτή που εμείς γνωρίζουμε. Στη
συνέχεια, στηρίζει την άποψη ότι η πρώιμη αριθμητική θεωρία των λόγων
σχετίζεται άμεσα με τα ακουστκά πειράματα, ενώ παρακάτω εξηγεί πώς η
προσπάθεια εύρεσης ενός κοινού μουσικού μέτρου οδήγησε, μέσω της άπειρης
ανθυφαιρετικής διαδικασίας, στο συμπέρασμα ότι το διάστημα μιας οκτάβας κι
αυτό του «διαπέντε» είναι ασύμμετρα. Τέλος, συσχετίζει τα δύο μουσικά μέτρα
(τόνος, δίεση) και την αρμονική ανθυφαίρεση με τα δύο γεωμετρικά μέτρα
(διαγώνιος, πλευρά) και τη γεωμετρική ανθυφαίρεση, μεταφέροντας έτσι τη μέθοδο
της ανθυφαίρεσης από την αρμονία στη γεωμετρία.'']
''Τα Ακουστικά Πειράματα
Οι Πυθαγόρειοι δεν έκαναν μουσική για τη μουσική, καθώς μέσα από αυτή
έψαχναν τη δομή του σύμπαντος, την αρμονία. Στην πορεία, αρμονία και μουσική
έγιναν λέξεις συνώνυμες γι’ αυτούς.
Στο 26ο κεφάλαιο της σωζόμενης πραγματείας του Ιάμβλιχου De Vita
Pythagorica (Πυθαγόρου Βίος) - όπως φαίνεται από τα παρακάτω λόγια:
[...]
προβάλλεται η άποψη ότι η αρχική ιδέα για τη μαθηματική τεκμηρίωση της
μουσικής προήλθε από τον ίδιο τον Πυθαγόρα και οπωσδήποτε δεν αποτελεί
ύστερη επινόηση κάποιων πρώιμων Πυθαγορείων ή πλατωνικών Πυθαγορείων
(Θέων ο Σμηρνεύς, Θράσυλλος, Νικόμαχος κ.ά.). Ωστόσο, σήμερα γνωρίζουμε ότι η
διαχρονικότητα του περιεχομένου της πυθαγόρειας θεωρίας της μουσικής
οφείλεται κυρίως στην εις βάθος μελέτη που διεξήγαγαν διανοητές, κατοπινοί του
Πυθαγόρα και ορμώμενοι από τις αρχικές ιδέες αυτού. Η συνεισφορά, λοιπόν, του
Πυθαγόρα στο συγκεκριμένο θέμα μάλλον έγκειται στη σημασία που έδωσε στην
ιδιαίτερη σχέση ήχου και αριθμού, παρά στην επιστημονική κατοχύρωση των
συνεπειών της (Barker, 1989).
· Η Διήγηση του Ιάμβλιχου
Έτσι, λοιπόν, ο Ιάμβλιχος υποστηρίζει ότι η ανακάλυψη έγινε από τον
Πυθαγόρα και αναφέρει τα εξής:
[...]
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εν λόγω ανακάλυψη έγινε με τρόπο
μαγικά συμπτωματικό, τη στιγμή που ο Πυθαγόρας περνούσε έξω από ένα
σιδηρουργείο, όπου άκουσε μια διαδοχή από διαστηματικές σχέσεις που
προέρχονταν από τα χτυπήματα των σφυριών στο αμόνι. Εκεί, για πρώτη φορά
αντιλήφθηκε ότι οι [διαφορές] του ήχου (αυτό που σήμερα ονομάζουμε συχνότητες
του ήχου) εξαρτώνται από τον όγκο των σφυριών και όχι από τη μεταβολή της
δύναμης που ασκείται μέσω αυτών πάνω στο παλλόμενο αμόνι. Αφού, λοιπόν,
ανέλυσε και μέτρησε προσεκτικά τις διαφορές όγκου και βάρους που τα σφυριά
αυτά παρουσίαζαν μεταξύ τους, επέστρεψε στο σπίτι του επιχειρώντας πλέον να
προσαρμόσει τα ίδια βάρη στα άκρα τεσσάρων πανομοιότυπων χορδών,
στηριγμένων σε μια σταθερή ξύλινη βάση που λειτουργούσε ως ηχείο. Έπειτα,
κρούοντας ανά δύο τις χορδές, είδε ότι η χορδή με τη μεγαλύτερη τάση, σε
συνδυασμό με εκείνη που είχε τη μικρότερη τάση απ’ όλες, έδινε το ιδιαίτερα
ευχάριστο διάστημα της ογδόης. Τα βάρη που είχε τοποθετήσει ο Πυθαγόρας ήταν
ισοδύναμα με 12 και 6 αριθμητικές μονάδες, αντίστοιχα. Επομένως, βρίσκονταν
στην αναλογία 2:1. Αμέσως μετά, συνέκρινε την αρχική χορδή των 12 βαρών με μια
άλλη, η οποία βρισκόταν ακριβώς δίπλα σε εκείνη των 6, με τάση ισοδύναμη 8
βαρών. Η νέα αυτή συνήχηση (12:8) δεν ήταν άλλη από το σύμφωνο διάστημα της
πέμπτης που, στην απλουστευμένη της μορφή, αντιστοιχεί στον αριθμητικό λόγο
3:2. Τέλος, το παιχνίδι των συσχετισμών φαίνεται πως έκλεισε με την εξακρίβωση
ότι η χορδή με τη μέγιστη τάση των 12 βαρών, συνδυαζόμενη με μια άλλη των 9
βαρών, παρήγαγε το επίσης σύμφωνο διάστημα της τετάρτης (12:9, δηλαδή 4:3).
36
· Η Διήγηση του Πλάτωνα
Στο βιλίο του «Greek Musical Writings», ο Barker παραθέτει , μέσα από τα
λόγια του Πλάτωνα στο Phaedo (Φαίδων), το πείραμα που διεξήγαγε ο Ίππασος ο
Μεταποντίνος:
[...]
[Ο Ίππασος ο Μεταποντίνος έφτιαξε τέσσερις χάλκινους δίσκους με τέτοιο τρόπο
ώστε οι διάμετροί τους να είναι ίσες και, ειδικότερα, η λεπτότητα του πρώτου να
είναι το επίτριτον (4:3) αυτής του δευτέρου, το ημιόλιον (3:2) αυτής του τρίτου και
διπλάσια σε σχέση με αυτή του τετάρτου, με αποτέλεσμα κατά την κρούση τους να
παράγεται αρμονία]
[...]
[Και λέγεται ότι, όταν ο Γλαύκος παρατήρησε τις νότες που παρήγαγαν οι δίσκοι,
ήταν ο πρώτος που καταπιάστηκε με τη σύνθεση μουσικής με αυτές και ότι, ως
αποτέλεσμα της εμβάθυνσής του αυτής, οι άνθρωποι μιλούν για την «τέχνη του
Γλαύκου»]
Ο Barker τονίζει το γεγονός ότι η διαδικασία που περιγράφει ο Ίππασος είναι
σωστή, γιατί αν οι δίσκοι έχουν ίσες διαμέτρους, τότε η συχνότητα είναι ανάλογη
της λεπτότητάς τους. Αυτό είναι φανερό και μέσα από τα λόγια του Πλάτωνα στο
Phaedo (Φαίδων), που δείχνουν την αμφισβήτησή του για την εγκυρότητα του
πειράματος του Πυθαγόρα και την αποδοχή, εκ μέρους του, του πειράματος του
Ίππασου:
[...]
· Η Διήγηση του Θέωνα του Σμυρνέα
Ο Θέων ο Σμυρνεύς, όπως καταγράφεται στις σελίδες του βιβλίου του
Andrew Barker, δίνει τη δική του διήγηση για τον τρόπο με τον οποίο οι
Πυθαγόρειοι έφθασαν στην ανακάλυψη των αριθμητικών σχέσεων των ήχων:
[...]
[Ο Λάσος ο Ερμιονεύς (εικάζεται ότι είναι Πυθαγόρειος), λένε, και οι ακόλουθοί του
συνέχισαν τη μελέτη της βραδύτητας και της ταχύτητας των κινήσεων μέσα από τις
οποίες αναδύονται οι αρμονίες... Αν σκεφτεί κανείς ότι... στους αριθμούς,
κατασκεύασε λόγους αυτών των ειδών σε αγγεία]
[...]
[Όλα τα αγγεία ήταν ίσα και όμοια. Άφησε ένα άδειο, γέμισε μέχρι τη μέση ένα
άλλο με υγρό και παρήγαγε ήχο στο καθένα. Έτσι προέκυψε η συμφωνία της
οκτάβας]
[...]
[Ύστερα, αφήνοντας ένα αγγείο άδειο, γέμισε ένα άλλο κατά το ένα τέταρτο και
κτυπώντας τα προέκυψε η τέταρτη συμφωνία, όπως προέκυψε η πέμπτη συμφωνία
όταν γέμισε το ένα αγγείο κατά το ένα τρίτο. Τα κενά μέρη είχαν τη σχέση του δύο
προς ένα στην οκτάβα, του τρία προς δύο στην πέμπτη και του τέσσερα προς τρία
στην τετάρτη]
· Η Διήγηση του Νικόμαχου
Η διήγηση του Νικόμαχου στο Enchiridion (Εγχειρίδιον) είναι παρόμοια με
αυτή του Ιάμβλιχου:
[...]
[τα διαστήματα της τετάρτης και της πέμπτης και του συνδυασμού αυτών, της
οκτάβας, και του τόνου που βρίσκεται επιπροσθέτως ανάμεσα στα δύο τετράχορδα
καθιερώθηκαν ως έχοντα αυτή την αριθμητική ποσότητα από τον Πυθαγόρα. Η
μέθοδος που ακολούθησε ήταν η εξής: μια μέρα βυθίστηκε στις σκέψεις για να δει
αν θα μπορούσε να επινοήσει κάποιο οργανικό βοήθημα για την ακοή, το οποίο θα
ήταν συνεπές και όχι επιρρεπές σε λάθη, με τον ίδιο τρόπο που και η όραση
βοηθάται από τους διαβήτες, τον κανόνα και τη διόπτρα, η αφή από την ισορροπία
και από τη διαίρεση των μέτρων. Χάρη σε μια θεόσταλτη ευκαιρία, πέρασε από το
εργαστήρι ενός σιδηρουργού κι άκουσε τα σφυριά να κτυπούν στο σίδερο του
αμονιού, δίνοντας ήχους απολύτως σύμφωνους μεταξύ τους, με εξαίρεση ένα
ζευγάρι. Και αναγνώρισε ανάμεσά τους τη διαπασών, την πέμπτη και την τετάρτη.
Παρατήρησε ότι αυτό που ήταν ανάμεσα στην τετάρτη και την πέμπτη ήταν
παράφωνο αλλά και αναγκαίο να γεμίσει το μεγαλύτερο από αυτά τα διαστήματα.
Υπερευχαριστημένος που, με τη βοήθεια του Θεού, το σχέδιό του είχε εκπληρωθεί,
έτρεξε στο σιδηρουργείο και, μέσα από μια μεγάλη ποικιλία πειραμάτων,
ανακάλυψε ότι αυτό που βρισκόταν σε άμεση σχέση με τη διαφορά στον ήχο ήταν
το βάρος των σφυριών κι όχι η δύναμη των κτυπημάτων ή το σχήμα των σφυριών ή
η διαφορετικότητα του εκάστοτε σίδερου. Τα ζύγισε επακριβώς και πήρε για
προσωπική του χρήση κομμάτια μετάλλου ακριβώς ίσα σε βάρος με τα σφυριά.
Μετά έφτιαξε μια μονή ράβδο από τη μια γωνιά ως την άλλη κάτω από τη στέγη
του, έτσι ώστε να μην προκύψει κάποια παραλλαγή ή υποψία παραλλαγής από τις
ιδιομορφίες των διαφορετικών ράβδων και κρέμασε από αυτή τέσσερις χορδές,
από το ίδιο υλικό, αποτελούμενες από τον ίδιο αριθμό νημάτων, με την ίδια
λεπτότητα και τυλιγμένες στην ίδια έκταση. Ύστερα έδεσε ένα βαρίδιο στο κάτω
40
μέρος κάθε χορδής κι έχοντάς το κανονίσει έτσι ώστε το μήκος κάθε χορδής να είναι
ακριβώς το ίδιο, χτυπούσε τις χορδές ανά δύο και έβρισκε τις συμφωνίες που
προαναφέρθηκαν, διαφορετική συμφωνία για κάθε ζεύγος χορδών. Αντιλήφθηκε
ότι η τεντωμένη χορδή με το μεγαλύτερο αντικείμενο ακούστηκε σε μια οκτάβα από
την τεντωμένη χορδή με το μικρότερο αντικείμενο. Το πρώτο αντικείμενο είχε
βάρος δώδεκα μονάδων και το τελευταίο έξι μονάδων. Έτσι έδειξε ότι η οκτάβα
είναι ο λόγος δύο προς ένα, όπως έδειξαν τα ίδια τα βάρη. Βρήκε ότι το μεγαλύτερο
ακουγόταν σε μια πέμπτη από το μικρότερο (το οποίο ζύγιζε οκτώ μονάδες βάρους)
κι από αυτό κατάλαβε ότι είναι σε ημιόλιο λόγο, λόγος που είχαν μεταξύ τους τα
δύο βάρη. Σε σχέση με το βάρος των εννέα μονάδων, ακουγόταν στο διάστημα μιας
τετάρτης. Και κατάλαβε ότι αυτός ήταν ο επίτριτος λόγος κι ότι αυτή η ίδια χορδή
ήταν σε ημιόλιο λόγο με αυτή που είχε το μικρότερο βάρος (αφού ήταν 9:6). Και με
παρόμοιο τρόπο, η χορδή με το βάρος των οκτώ μονάδων ήταν σε επίτριτο λόγο με
αυτή των έξι και σε ημιόλιο λόγο με αυτή των δώδεκα. Και απέδειξε ότι αυτό που
βρίσκεται μεταξύ της τετάρτης και της πέμπτης, δηλαδή αυτό κατά το οποίο η
πέμπτη ξεπερνά την τετάρτη, είναι σε επόγδοο λόγο, δηλαδή 9:8. Αποδείχθηκε
επίσης ότι η οκτάβα μπορεί να κατασκευαστεί με δύο τρόπους, είτε με τη σύζευξη
της πέμπτης με την τετάρτη, μια και ο λόγος δύο προς ένα προκύπτει από τη
σύζευξη του ημιολίου και του επίτριτου (όπως με τους αριθμούς 12, 8, 6) ή με τον
ανάποδο τρόπο, με τη σύζευξη της τετάρτης με την πέμπτη, μια και ο λόγος δύο
προς ένα αποτελείται από τη σύζευξη του επίτριτου με το ημιόλιο (όπως με τους
αριθμούς 12, 9, 6 που διατάσσονται με αυτή τη σειρά). Έχοντας δουλέψει με τα
βάρη, μέχρι να πονέσουν χέρια και αυτιά κι έχοντας αποδείξει με αναφορά σε αυτά
τους λόγους που ταίριαζαν στις θέσεις τους, μετέφερε επιδέξια το κοινό σημείο
πρόσδεσης των χορδών, όπου όλες μαζί κρέμονταν από τη διαγώνια ράβδο, σε ένα
σημείο πάνω στο όργανό του, ένα σημείο που αποκαλούσε «χορδότονον» και
μετέφερε τις ποσότητες της τάσης με τους ίδιους λόγους που είχαν παραχθεί από
τα βάρη με μια περιστροφή ανάλογου βαθμού στους «κολλαβούς» στο πάνω μέρος.
Χρησιμοποιώντας αυτό ως θεμέλιο και σαν να ήταν αναμφισβήτητη ένδειξη,
προχώρησε στην επέκταση των ερευνών του σε πολλά είδη οργάνων, όπως σε
δοχεία, αυλούς, σειρήνες, μονόχορδα, τρίγωνα και άλλα και σε όλα έβρισκε την
κατανόηση του αριθμού ίδια και απαράλλακτη. Ονόμασε τη νότα που
χαρακτηριζόταν από τον αριθμό έξι «υπάτη», αυτή που χαρακτηριζόταν από το
οκτώ «μέση», η οποία είναι σε επίτριτο λόγο με την «υπάτη», αυτή που
χαρακτηρίζεται από το εννέα «παραμέση», η οποία είναι ένα τόνο ψηλότερη από τη
μέση κι έτσι έχουν επόγδοο λόγο κι αυτή που χαρακτηρίζεται από το δώδεκα την
ονόμασε «νήτη» ή «νεάτη». Την ίδια στιγμή συμπλήρωσε τα κενά μεταξύ τους
σύμφωνα με το διατονικό γένος, με νότες σε καθαρούς λόγους, φτιάχνοντας έτσι το
οκτάχορδο υποταγμένο στους σύμφωνους αριθμούς, δηλαδή στο λόγο δύο, στον
ημιόλιο και τον επίτριτο λόγο και στη διαφορά των δύο τελευταίων, τον επόγδοο
λόγο]
~~~~~~~~~~~~~
αριθμητική θεωρία των λόγων
ακουστκά πειράματα
κοινού μουσικού μέτρου
ανθυφαιρετικής διαδικασίας
διάστημα
οκτάβας
«διαπέντε»
ασύμμετρα
«Στοιχείων» του Ευκλείδη
Σ. Νεγρεπόντης
αρρητότητας του √2
ακουστκά πειράματα
τόνος
δίεση
αρμονική ανθυφαίρεση
γεωμετρική ανθυφαίρεση
ανθυφαίρεσης
αρμονία
γεωμετρία
δομή του σύμπαντος
αρμονία.
Ιάμβλιχου De Vita Pythagorica (Πυθαγόρου Βίος)
Πυθαγόρα
πρώιμων Πυθαγορείων
πλατωνικών Πυθαγορείων
Θέων ο Σμηρνεύς
Θράσυλλος
Νικόμαχος
σχέση ήχου και αριθμού
(Barker, 1989).
μαγικά
σιδηρουργείο
διαδοχή από διαστηματικές σχέσεις
χτυπήματα των σφυριών στο αμόνι
[διαφορές] του ήχου
συχνότητες του ήχου)
όγκο των σφυριών
παλλόμενο αμόνι
όγκου και βάρους
βάρη στα άκρα τεσσάρων πανομοιότυπων χορδών
ογδόης
12 και 6 αριθμητικές μονάδες
αναλογία 2:1
συνήχηση 12:8
πέμπτης
αριθμητικό λόγο 3:2
διάστημα της τετάρτης (12:9, δηλαδή 4:3).
Πλάτωνα
«Greek Musical Writings», Barker
Phaedo (Φαίδων),
Ίππασος ο Μεταποντίνος
«Γλαύκου τέχνη»
τέσσερις χάλκινους δίσκους
επίτριτον (4:3)
ημιόλιον (3:2)
διπλάσια
αρμονία
«τέχνη τουΓλαύκου»
Θέων ο Σμυρνεύς
συμφωνίες από βάρη, από μεγέθη, από κινήσεις και αριθμούς , από αγγεία
Λάσος ο Ερμιονεύς
βραδύτητας
ταχύτητας
κινήσεων
δύο προς ένα στην οκτάβα
τρία προς δύο στην πέμπτη
τέσσερα προς τρία τετάρτη]
τετάρτης
πέμπτης
οκτάβας
τόνου
τετράχορδα
ακοή
λάθη,
εργαστήρι σιδηρουργού
σφυριά
αμονιού
διαπασών
πέμπτη
τετάρτη
παράφωνο
βάρος των σφυριών
ημιόλιο λόγο,
επίτριτος λόγος
επόγδοο λόγο, 9:8
σύζευξη
{... μέχρι να πονέσουν χέρια και αυτιά ...
!}
«χορδότονον»
τάσης
«κολλαβούς»
δοχεία
αυλούς
σειρήνες
μονόχορδα
τρίγωνα
«υπάτη»,
«μέση»
«παραμέση»,
«νήτη» ή «νεάτη»
διατονικό γένος
οκτάχορδο
www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_gaitani.antonia.pdf