1.) ΑΠΑΡΧΑΙ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Μία παρέκβασις είς τήν θεωρίαν της Μουσικής

[Zambelis Spyros]

ARPAD SZABO
Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηματικών
Εκδόσεις τεχνικού επιμελητηρίου της Ελλάδος
Αθήναι, 1973

Μία παρέκβασις είς τήν θεωρίαν της Μουσικής
σελ.170

Λέξεις κλειδιά:

διάσημα
όροι
αναλογίας
αριθμητική σχέσεις
ακουστικών πειραμάτων
μονόχορδον
Κανόνα

[...εν συνέχεια πρόταση με πρόταση, με συγχωρείτε, είμαι λίγο αργόστροφος... ]

 

[Zambelis Spyros]

"Η παρούσα έρευνα έχει ως αντικειμενόν της την πρώτην ιστορίαν της διδασκαλίας
περί της αναλογίας γενικώς, και μόνον παρεμπιπτόντως θίγει και τα ειδικά
προβλήματα της αρχαίας θεωρίας της Μουσικής. Οπωσδήποτε η θεώρησις της γενέσεως των δύο αρχικώς γνησίων (καθαρών) μουσικοθεωρητικών όρων διάστημα και όροι, φρονώ ότι συνέβαλον γενικός είς την ιστορίαν της αναπτύξεως της διδασκαλίας της αναλογίας. Διότι έγινε φανερόν ότι ο όρος διάστημα (εκφραζόμενον ως ''αριθμητική σχέσις'') και ο άλλος όρος ''όροι'' (οι ίδιοι αύτοι αριθμοί κατά μίαν αριθμητικήν σχέσιν) εδημιουργήθησαν κατά την διαρκείαν ακουστικών πειραμάτων με το μονόχορδον και με τον ''Κανόνα''.

 

[Zambelis Spyros]

Λέξεις κλειδιά:

αναλογίας
Πυθαγγόρειοι
διαστήματα
αριθμητικάς σχέσεις
συμφωνιών
συγχορδιών
μήκους των χορδών
εμπειρικώς
αριθμούς
ήχοι
Θέωνα τον Σμυρναίων
βάρος
μέγεθος
κίνησιν
δοχεία

 

[nikosthe]

Σπύρο υπάρχει σε ψηφιακή μορφή (pdf ή djvu) το σημαντικό αυτό έργο του Szabo;

 

[Zambelis Spyros]

...όσο ξέρω δεν υπάρχει, αλλά να γίνει , υπάρχει η δυνατότητα, θέληση. Οι κληρονόμοι, η επιστημονική κοινότητα θα ήταν θετική. Γίνονται συνέδρια για να θυμίσουν το Szabo. Mίλησα με πανεπιστημιακούς, θέλανε να φιλοξενηθεί συμπόσιο.

 

[Zambelis Spyros]

"Θα ηδηνάμεθα τώρα εν τοίς ακολούθοις να συγκεντρώσωμεν όλην την προσοχήν τις αυτήν καθ΄ εαυτήν την διδασκαλίαν περί της αναλογίας, τα ειδικά δε προβλήματα της ιστορίας της θεωρίας της Μουσικής δέν χρειάζονται να ληφτούν πλέον εδώ υπ΄ όψιν. Αλλά επειδή έχω την εντύπωσιν ότι η ανωτέρω χρησιμοποηθείσα μέθοδος δύναται να ρίψη νέον φώς είς μερικά ερωτήματα της παλαιάς θεωρίας της Μουσικής, ας μου επιτραπή κατά την παρεκβασίν μου αυτήν να λάβω τέσιν έναντι των άλλων τούτων ερωτημάτων, μολονότι τούτο ως πρός την ιστορίαν της διδασκαλίας περί της αναλογίας, δέν είναι πλέον απαραιτήτως αναγκαίον."

 

[Zambelis Spyros]

>>Είς την παλαιοτέραν έρευναν ήδη εξήταζον συχνά το θέμα 49 του πώς οι Πυθαγόρειοι έφθασαν εις το να εκφράσουν τα διαστήματα με αριθμηκάς σχέσεις.
Η απάντησις η διδομένη εις το ερώτημα αύτο ήτο διττή: αφ΄ ενός δηλαδή
ετονίζετο ότι δέν ευσταθεί η άποψις ότι αι αριθματικαί σχέσεις των συμφωνιών
(συγχοδιών) εδιμιουργήθησαν υπο των Πυθαγορείων αποκλειστικώς και μόνον απο την παρατήρησιν του μήκους των χορδών, και αφ΄ ετέρου υπεστήριζον σχετικώς ότι ''το πρόβλημα του πώς μετρούνται εμπειρικώς με αριθμούς οι ήχοι, ήτο διά τους Πυθαγορείους δευτερευούσης σημασίας, περί του οπίου θα ημπορούσαν να υπήρχον διάφοροι απόψεις.'' Ο ισχυρισμός αυτός ημπορεί να πιστοποιηθή ακόμη και με παραπομπήν εις τον Θέωνα τον Σμυρναίων, ο οποίος έγραφεν ακριβώς τα έξης 50 : ''΄Αλλοι θέλουν να υπολογίσουν τας αριθμητικάς σχέσεις των συμφωνιών (συγχορδιών) είς την κίνισιν και άλλοι πάλιν είς τα δοχεία''.<<

49 Δια τα επόμενα πρβλ. E. Frank: Plato und die sog. Pythagoraer, σελ. 160-161, W. Burkert ενθ.αν. σελ. 348-364΄ και ιδίος την βασικήν εργασίαν του B.L. v. D. Waerden (ορ. ύπος. 45).

 

[Zambelis Spyros]

Waerden, Hermes 78 (1943)
Waerden,. 'Die Harmonielehre der Pythagoreer',. Hermes. 78,1943

W. Burkert, Weischeit und Wissenschaft
W. Burkert, Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaus und. Platon (Niirnberg 1962)

[...να διασταυρωθούν με το πρωτότυπο κείμενο! Γραφή πολυτονικών.]

 

[Zambelis Spyros]

Νίκο Πάντσο
ΗΧΟΣ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ

''Από τους πρώτους που ασχολήθηκαν με θέματα ακουστικής ήταν ο Πυθαγόρας από τη Σάμο(580πΧ-500πΧ). Η τυραννική διακυβέρνηση του Πολυκράτη τον εξαναγκάζει να εγκαταλείψει τη Σάμο και να εγκατασταθεί στον Κρότωνα, πόλη της Νότιας Ιταλίας, όπου ίδρυσε μια φιλοσοφική και θεολογική σχολή.
Ήταν ο πρώτος που παρατήρησε ότι ο φθόγγος πού παράγεται από μια τεντωμένη χορδή είναι ανάλογος με το μήκος της και ότι η κρούση τεντωμένων χορδών παράγει αρμονικούς τόνους όταν οι αναλογίες των μηκών των χορδών είναι ακέραιοι αριθμοί. Επινόησε το μονόχορδο, το οποίο αποτέλεσε όργανο μελέτης της ηχητικής απόδοσης των υπό δόνηση χορδών. Το όργανο αυτό, γνωστό επίσης και ως ηχόμετρο, απέκτησε αργότερα και περισσότερες από μια χορδές χαρακτηριζόμενο από τον αριθμό των χορδών του ως δίχορδο, τρίχορδο κ.ο.κ.
Είναι πολύ πιθανό ότι προσπάθησε να ανακαλύψει ποια σχέση έχουν η διάμετρος και το τέντωμα της χορδής στην παραγωγή φθόγγων, αλλά η προσπάθειά του δεν ήταν επιτυχημένη.
Ανάλογη συνεισφορά στην ακουστική είχαν και άλλοι οπαδοί της Πυθαγόρειας σχολής σε διάφορες χρονικές περιόδους. Ο Ίππασος από το Μεταπόντιο (500περ. π.Χ) υπήρξε ίσως ο πλέον σημαντικός στοχαστής του πρώιμου Πυθαγορισμού.
Οι αριθμητικές μεσότητες και η δυνατότητα εφαρμογής τους στις μουσικές συμφωνίες,(συνηχήσεις δύο φθόγγων), ήταν το κύριο αντικείμενο μελέτης στο οποίο επιδόθηκε με ζήλο. Προς τούτο κατασκεύασε μπρούτζινους δίσκους με ίσες διαμέτρους αλλά διαφορετικά πάχη, για να μελετήσει τους παραγόμενους ήχους. Το πείραμα, σύμφωνα με τον θέωνα τον Σμυρναίο, επανέλαβε χρησιμοποιώντας αγγεία αντί δίσκων, τα οποία γέμιζε με διαφορετικές ποσότητες νερού για την παραγωγή διαφορετικών συμφωνιών. Από τα όσα έχουν ήδη αναφερθεί συνάγεται ότι oι Πυθαγόρειοι προχώρησαν σε πειραματικές έρευνες, για να αποδείξουν τις θεωρίες τους σχετικά με την ταχύτητα δόνησης των σωμάτων και των παραγόμενων ήχων.''

http://www.pedia.gr/corner/acousticsg.html.

 

[Zambelis Spyros]

Αυτές τις συνηχήσεις άλλοι θέλησαν να τις επιτύχουν με το βάρος, άλλοι με το μήκος, άλλοι με αριθμημένες κινήσεις κι άλλοι με τη χωρητικότητα των δοχείων. Λέγεται πως ο Λάσος ο Ερμιονεύς κι οι μαθητές του Ιππάσιου του Μεταποντίνου, του τελευταίου εναπομείναντος από το Τάγμα του Πυθαγόρα, έκαναν παρατηρήσεις σχετικά με την ταχύτητα και τη βραδύτητα της κίνησης ταλάντωσης των βάζων, χάρη στις οποίες κατάφεραν να υπολογίσουν μαθηματικά τις συνηχήσεις. Παίρνοντας περισσότερα όμοια και της αυτής χωρητικότητας βάζα, άφηναν ένα άδειο και τα άλλα τα μισογέμιζαν με διάφορες ποσότητες υγρού, ώστε χτυπώντας τα στη συνέχεια να επιτυγχάνουν τους σύμφωνους φθόγγους του οκτάφθογγου .

Θέων ο Σμυρναίος: Τα κατά το μαθηματικόν χρήσιμα εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν ΄[;]

 

[Zambelis Spyros]

"Πιστεύω τώρα, ότι θα έπρεπε, λόγω της ιδίας αυτής της τοποθετήσεως του ερωτήματος να έφθασαν κατ΄ ανάγκην, τρόπον τινά, εις τας άνω εκτεθείσας (ημιαληθείς!) απόψεις.
Διότι το ερώτημα ετέθη μόνον κατ΄ αφηρημένον κάπως τρόπον: ''Πώς έφθασαν οι Πυθαγόρειοι να εκφράζουν τα διαστήματα με αριθμητικάς σχέσεις;'' και πώς άλλως θα ημπορούσε κανείς να επιχειρήση το ποικίλον πλήθος τών αρχαιοτάτων και αρχαίων μαρτυριών επι του ιδίου αυτού ερωτήματος; Εάν όμως κανείς δώση προσοχήν μόνον εις αυτάς τας ιδίας τας μαρτύρίας ( αι όποίαι είναι διφόρου αξίας και μεταξύ των όποίων ασφαλώς θα υπάρχουν και μερικαί εις τας οποίας ουδεμίαν εμπιστοσύνην θα πρέπει να έχη
κανείς), θα είναι σχεδόν αδύνατον να σχηματισθή διάφορος της αναφερθείσης προ ολίγου γνώμης. Εάν όμως αντ΄ αυτού δοθή προσοχή εις στοιχεία της επιστημονικής γλώσσης των Ελλήνων και εάν συγχρόνως διατυπωθή το ερώτημα συγκεκριμένως, θα οδηγηθή ασφλώς εις τελείως διάφορα συμπεράσματα."

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Λέξεις κλειδιά

Πυθαγόρειοι
διαστήματα
αριθμητικάς σχέσεις

[ ...παραπομπές - δείτε το πρωτότυπο! - γλώσσα καθαρεύουσα, προσεγμένη. Δεν έχω την κατάλληλη γραμματοσειρά. Φυλαχτείτε από τα λάθη.]

 

[Zambelis Spyros]

This text is an excerpt from a reprint of the 3rd edition of John Burnet's famous study of Presocratic philosophy, Early Greek Philosophy, originally published in 1920.

Proportion and Harmony

''These last considerations show that, while it is quite safe to attribute the substance of the early books of Euclid to the early Pythagoreans, his arithmetical method is certainly not theirs. It operates with lines instead of with units, and it can therefore be applied to relations which are not capable of being expressed as equations between rational numbers. That is doubtless why arithmetic is not treated in Euclid till after plane geometry, a complete inversion of the original order. For the same reason, the doctrine of proportion which we find in Euclid cannot be Pythagorean, and is indeed the work of Eudoxus. Yet it is clear that the early Pythagoreans, and probably Pythagoras himself, studied proportion in their own way, and that the three "medieties" (mesotêtes) in particular go back to the founder, especially as the most complicated of them, the "harmonic," stands in close relation to his discovery of the octave. If we take the harmonic proportion 12:8:6, we find that 12:6 is the octave, 12:8 the fifth, and 8:6 the fourth, and it can hardly be doubted that Pythagoras himself discovered these intervals. The stories about his observing the harmonic intervals in a smithy, and then weighing the hammers that produced them, or suspending weights corresponding to those of the hammers to equal strings, are, indeed, impossible and absurd; but it is sheer waste of time to rationalize them. For our purpose their absurdity is their chief merit. They are not stories which any Greek mathematician could possibly have invented, but popular tales bearing witness to the existence of a real tradition that Pythagoras was the author of this momentous discovery. On the other hand, the statement that he discovered the "consonances" by measuring the lengths corresponding to them on the monochord is quite credible and involves no error in acoustics.''

http://users.ucom.net/~vegan/Burnet.htm

 

[Zambelis Spyros]

Λέξεις κλειδιά

τόνος
τείνω
εγχόρδου
συμφωνία
Konsonanz
συμφωνίαν χορδών
εγχόρδων οργάνων
χορδής
αριθμητικών σχέσεων των συμφωνιών
Πυθαγόρειοι
διάστημα
όροι
μουσικά διαστήματα
Intervalle
σχέσεις μήκους
πειράματα
Κανόνος

 

[Zambelis Spyros]

>>Τα γλωσσικά στοιχεία εις τα οποία πρέπει να δοθή προσοχή ως πρός την προκειμένην σχέσιν, είναι τα εξής: Εις την αρχαίαν Μουσικήν ο μουσικός τόνος καλείται πάντοτε ''τόνος''. απο το ρήμα ''τείνω'' (τεντώνο). Δια τον αρχαίον, λοιπόν μουσικόν τόνος ητο προπαντός άλλου πάντοτε ο τόνος ενός εγχόρδου και η συμφωνία (Konsonanz) εσήμαινε ελλήνιστι συμφωνίαν χορδών (δηλ. ο σύγχρονος τονισμός χορδών). ΄Ωστε αμφότερα τα στοιχεία αυτά ενισχύουν την αναμφισβήτητον άποψιν, ότι η θεωρία της Μουσικής των Ελλήνων εδημιουργήθη μάλλον βάσει εμπειριών και πειραμάτων γενομένων επί εγχόρδων οργάνων η επί μιάς μόνον χορδής! Εάν όμως θέσωμεν ετι περισσότερον συγκεκριμένως το αρχικόν, δυλ. πώς ήτο δυνατόν οι Πυθαγόρειοι να χαρακτηρίζουν με τάς λέξεις διάστημα και όροι τα μουσικά διαστήματα (Intervalle), τα οποία παρίστανδο με αριθμητικάς σχέσεις θα ίδωμεν αμέσως ότι αι αριθμητικαί αυταί σχέσεις θα έπρεπε αρχικώς να ήταν - αναμφισβήτήτως - σχέσεις μύκους. Αι δύο αυταί εκφράσεις αποδεικνύουν μάλιστα την σημασίαν, την οποίαν είχον τα πειράματα εις την πυθαγόρειον επιστήμην. Διότι άνευ των μουσικών πειραμάτων επει του 'Κανόνος" - και βάσει οιωνδήποτε μόνον παρατηρήσεων - δέν θα ήτο δυνατόν να δημιουργήσουν ποτέ τους προηγουμένως αναλυθέντας όρους ''διάστημα'' και ''όροι''.<<

 

[Zambelis Spyros]

Ancient Greek music
Martin Litchfield West

''Pythagorean theory was regularly projected back onto Pythagoras himself, and from the fourth century BC he is credited with having personally discovered the numerical basis of the concords. He is alleged to have heard them in hammer-blows coming from a smithy, and on investigation to have found that the weights of the hammers stood in the ratios 4:3, 3:2, and 2:1. He is then supposed to have reproduced the concords by putting equal strings under tension from a similarly granded set of weights. It has been pointed out ever since the seventeenth century that neither part of the story is in accord with the laws of physics.''

http://books.google.com/books?id=So...is in accord with the laws of physics&f=false

 

[Zambelis Spyros]

...με σφυρί.

Απειλείται, απροκάλυπτα η έννοια του έθνους από την τετραγωνική ρίζα!

 

[Zambelis Spyros]

''Εάν θα έπρεπε πράγματι να επιχειρήση τις να μετρήση επακριβώς την αναλογίαν αριθμών τη βοηθεία ανηρτημένων βαρών, όπως μάς παραδίδεται διά τον Πυθαγόραν, οπωσδήποτε θα απετύχανεν, διότι τα βάρη εις την οκτάβαν δέν έχουν την αναλογίαν 1:2 αλλά 1:√2''.

B.L.v.d. Waerden, Hermes 78 (1943) 173

Waerden, Bartel Leendert van der "Die Harmonielehre der Pythagorer," Hermes, 78, 1943

 

[Zambelis Spyros]

Ευκλείδης Β: Τεύχος 3

Ιστορική Αναδρομή για την Εύρεση Τετραγωνικής ρίζας Αριθμού. (Συσχέτιση με τις μουσικές αναλογίες του Αρχύτα)

http://www.hms.gr/apothema/?s=si&i=284

 

[Zambelis Spyros]

>>Υπο το φώς της γνώσεως αυτής και η άλλη (''η αύτη καθ΄ εαυτήν ορθή'') γνώμη, ότι δυλ. δια τους Πυθαγορείους ήτο ζήτημα δευτερευούσης σημασίας το πώς ημπορούν να πραγματοποιητούν εμπειρικώς οι αριθμητικσί σχέσεις των συμφωνιών (συγχορδιών), λαμβάνει άλλην μορφήν. Διότι ημπορεί βεβαίως να εδημιουργήθησαν όντος αρχικός οι όροι διάστημα και όροι κατά την διάρκειαν πειραμάτων επι του ''Κανόνος'' , αλλ΄ ο ΄Ιππασος είχεν ήδη κατορθώσει να αποδίξη τας αριθμητικάς σχέσεις των σπουδαίοτέρων συμφωνιών και διά των χαλκών επίσης δίσκων. 51<<

51 Diels-Kranz, ενθ. αν. Ι 18, 12, πρβλ. W. Burkert, ενθ. αν., σελ. 355-356.

Πυθαγορείους
εμπειρικώς
αριθμητικσί σχέσεις των συμφωνιών (συγχορδιών)
Κανόνος
΄Ιππασος
αριθμητικάς σχέσεις συμφωνιών
χαλκών δίσκων

W. Burkert, Weisheit und Weissenschaft
Diels-Kranz (DK) book; this work constitutes a complete edition of all the extant writings of Presocratic authors.

 

[Zambelis Spyros]

HERMANN DIELS

DIE FRAGMENTE DER VORSOKRATIKER
8 HIPPASOS.

12 SCHOL. PLAT. Phaed. 108d

Γλαύκου τέχνη] ἢ ἐπὶ τῶν μὴ ·αιδίως κατεργαζομένων ἢ ἐπὶ τῶν πάνυ ἐπιμελῶς καὶ ἐντέχνως εἰργασμένων. ῞Ιππασοσ γάρ τις κατεσκεύασε χαλκοῦς τέτταρας δίσκους οὕτως, ὥστε τὰς μὲν διαμέτρους αὐτῶν ἴσας ὑπάρχειν, τὸ δὲ τοῦ πρώτου δίσκου πάχος ἐπίτριτον μὲν εἶναι τοῦ δευτέρου, ἡμιόλιον δὲ τοῦ τρίτου, διπλάσιον δὲ τοῦ τετάρτου, κρουομένους δὲ τούτους ἐπιτελεῖν συμφωνίαν τινά. Καὶ λέγεται Γλαῦκον ἰδόντα τοὺς ἐπὶ τῶν δίσκων φθόγγους πρῶτον ἐγχειρῆσαι δι᾿ αὐτῶν χειρουργεῖν, καὶ ἀπὸ ταύτης τῆς πραγματείας ἔτι καὶ νῦν λέγεσθαι τὴν καλουμένην Γλαύκου τέχνην. Μέμνηται δὲ τούτου ᾿Αριστόξενος ἐν τῶι Περὶ τῆς μουσικῆς ἀκροάσεως (FHG II, 288, fr. 77) καὶ Νικοκλῆς ἐν τῶι Περὶ θεωρίας.


13. THEO SMYRN, p. 59, 4 Hill.

Ταύτας δὲ τὰς συμφωνίας οἱ μὲν ἀπὸ βαρῶν ἠξίουν λαμβάνειν, οἱ δὲ ἀπὸ μεγεθῶν οἱ δὲ ἀπὸ κινήσεων καὶ ἀριθμῶν οἱ δὲ ἀπὸ ἀγγείων (καὶ μεγεθῶν). Λᾶσος δὲ ὁ ῾Ερμιονεύς, ὥς φασι, καὶ οἱ περὶ τὸν Μεταποντῖνον ῞Ιππασον Πυθαγορικὸν ἄνδρα συνέπεσθαι τῶν κινήσεων τὰ τάχη καὶ τὰς βραδυτῆτας δι᾿ ὧν αἱ συμφωνίαι *** ἐν ἀριθμοῖς ἡγούμενος λόγους τοιούτους ἐλάμβανεν ἐπ᾿ ἀγγείων· ἴσων γὰρ ὄντων καὶ ὁμοίων πάντων τῶν ἀγγείων τὸ μὲν κενὸν ἐάσας, τὸ δὲ ἥμισυ ὑγροῦ <πληρώσας> ἐψόφει ἑκατέρωι, καὶ αὐτῶι ἡ διὰ πασῶν ἀπεδίδοτο συμφωνία· θάτερον δὲ πάλιν τῶν ἀγγείων κενὸν ἐῶν εἰς θάτερον τῶν τεσσάρων μερῶν τὸ ἓν ἐνέχεε, καὶ κρούσαντι αὐτῶι ἡ διὰ τεσσάρων συμφωνία ἀπεδίδοτο, ἡ δὲ διὰ πέντε, <ὅτε> ἓν μέρος τῶν τριῶν συνεπλήρου οὔσης τῆς κενώσεως πρὸς τὴν ἑτέραν ἐν μὲν τῆι διὰ πασῶν ὡς β πρὸς ἕν, ἐν δὲ τῶι διὰ πέντε ὡς γ πρὸς β, ἐν δὲ τῶι διὰ τεσσάρων ὡς δ πρὸς γ.

14. BOËTH, Inst. mus. II, 19 (aus Nikomachos)

Sed Eubulides (vgl. S. 24, 18) atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis deminutioni rato ordine respondere. itaque non posse esse duplum praeter dimidium nec triplum praeter tertiam partem. quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrarium divisionem sesquialteram, id est diapente, effici proportionem. quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam. sed rursus triplici partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. triplicem vero atque sesquitertium iunctos quadrupiam comparationem proportionis efficere. unde fit, ut ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. secundum hoc quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason.

http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/hippasos/diels.htm