[Ανακοίνωση] Μέθοδος συγκερασμού κλιμάκων (μοντελοποίηση-ελάχιστα τετράγωνα) - Π. Παπαδημητρίου, 2005

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#1
http://analogion.gr/forum/viewtopic.php?f=35&t=736

Αναρτώ εδώ μια πρωτότυπη δουλειά που είχα κάνει το 2005 στον ελεύθερο χρόνο μου. Χρησιμοποιούσα τότε "data fitting" (μέθοδοι μοντελοποίησης) στην δουλειά μου και με αφορμή αυτό τα εφάρμοσα και στις κλίμακες. Είχε πρωτοδημοσιευθεί στο byzantinechant@yahoogroups.com στις 22/6/2005 (β' πρόχειρη έκδοση 29/6/2005--από τότε δεν την επέκτεινα), και έκτοτε

δημοσιοποιήθηκε στην ελληνική ακαδημαϊκή και μη μουσικολογική κοινότητα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου (αναφορές δίνονται αν μου ζητηθεί), και φυσικά η μέθοδος ήταν διαθέσιμη από την ιστοσελίδα μου.

Σύμφωνα με όλες τις τότε αναφορές και απαντήσεις που είχα πάρει τότε, η μέθοδος αυτή πρωτοεφαρμόστηκε στις κλίμακες και πρωτοδημοσιεύτηκε από την ελαχιστότητά μου.

Αν γνωρίζετε ότι έχει δημοσιευθεί κάπου αυτή η μέθοδος με εφαρμογή στις κλίμακες, πριν το 22/6/2005 παρακαλώ να με ενημερώσετε, με αναφορές και με αντίγραφο της δημοσίευσης.

Παρόντες, κατά την πρώτη παρουσίαση της μεθόδου μου στο byzantinechant ήσαν πολλοί εκ των μελών του ψαλτολογίου.

Η μέθοδος με ηχητικά αρχεία βρίσκεται εδώ:

http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html

Παραθέτω ολόκληρο το pdf της Μεθόδου και παρακάτω τις παραγράφους 3 και 4 του άρθρου που την εξηγούν.

------------
3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων.

Ἐπειδὴ δὲν ἔχουμε δεῖ στὰ θεωρητικὰ βιβλία κάποια μέθοδο συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων σὲ ἀκέραια κόμματα (ἐκτὸς ἀπὸ τὸν Ἀλυγιζάκη, σ. 152, ὁ ὁποίος σκιαγραφεῖ σὲ λίγες γραμμὲς μιὰ μέθοδο χωρὶς ὅμως λεπτομέρειες), θὰ ἀναλύσουμε σὲ αὐτὴν τὴν ἑνότητα μιὰ ἐπιστημονικὴ μέθοδο.

Ἂς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε ἕνα (ζ+1)-χορδο (τὸ ζ εἶναι ἀκέραιος), τοῦ ὁποῖου οἱ ἄκρες χορδές (π.χ. Ρ, Α), ἔχουν λόγο συχνοτήτων m>1,

Α - λ(1) - B - λ(2) - Γ - λ(3) - ..... - λ(ζ) - Ρ

καὶ τὸ ὁποῖο μᾶς δίνεται μὲ τοὺς λόγους λ(1), ..., λ(ζ), ποὺ περικλείονται στὸ παρακάτω διάνυσμα,

λ = [λ(1), λ(2), ..., λ(ζ)]'.

Αὐτὸ τὸ (ζ+1)-χορδο, θέλουμε ἐμεῖς νὰ τὸ συγκεράσουμε, δηλ. νὰ τὸ διαιρέσουμε σὲ Ν ἴσα ἀκουστικὰ τμήματα, καὶ νὰ πάρουμε τ(1), ..., τ(ζ),

τ = [τ(1), τ(2), ..., τ(ζ)]' , ἄθροισμα[τ] = N,

ἔτσι ὥστε τὸ (ζ+1)-χορδο νὰ δίνεται κατὰ προσέγγιση ὡς

Α - τ(1) - B - τ(2) - Γ - τ(3) - ..... - τ(ζ) - Ρ.

Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε.

Τὸ πρόβλημα τώρα εἶναι, πῶς θὰ προσεγγίσουμε (συγκεράσουμε) τὸ (ζ+1)-χορδο. Ἡ προσέγγιση μπορεῖ νὰ γίνει γιὰ εὐκολία, εἴτε ὡς

m.^(τ/N) -> λ (α)

εἴτε παίρνοντας τοὺς λογάριθμους, π.χ. μὲ βάση r (γιὰ κάποιο r), στὴν ἀνωτέρω σχέση ὡς

logr[m.^(τ/N)] -> logr[λ] (β).

Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data). Φυσικά, ἂν δὲν περιορίσουμε τὰ τ νὰ εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, ἀλλὰ πραγματικοί (τὸ ὁποῖο κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν ἔχει μεγάλη "πρακτικὴ" ἀξία, καθότι οἱ πραγματικοὶ ἀριθμοὶ δὲν συγκρατοῦνται εὔκολα ἀπὸ τὴν μνήμη, ὅπως οἱ ἀκέραιοι), τότε ὁ ὑπολογισμός τους βγαίνει αὐτόματα ἀπὸ τὴν παραπάνω σχέση (β), ἐξισώνοντας τὰ δύο μέρη:

logr[m.^(τ/N)] = logr[λ] <=> τ = Ν * logm[λ].



Ι. Ἐλάχιστα τετράγωνα (least-squares fit)

Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων θέλουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ, ὥστε νὰ ἐλαχιστοποιεῖται τὸ ἄθροισμα [Numerical Recipes in C, 2nd ed., σ. 657]:

Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων)

Ἐπίσης θὰ μπορούσαμε νὰ χρησιμοποιήσουμε (ἀνάμεσα σὲ ἄλλες παραλλαγές) τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζοντας τὸν λογάριθμο τῶν λόγων:

Φ = ἄθροισμα[ ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων).

Συνεπῶς ψάχνουμε γιὰ ὅλα τὰ διανύσματα τ (μὲ τὴν βοήθεια Η/Υ) ποὺ νὰ ἱκανοποιοῦν τοὺς παραπάνω περιορισμούς, καὶ ἐπιλέγουμε αὐτὸ τὸ διάνυσμα ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ παραπάνω ἄθροισμα Φ (ὡς συνάρτηση τοῦ Ν).



Παράδειγμα (προσέγγιση τῆς διατονικῆς κλίμακας)

Ἔστω ὅτι θέλουμε νὰ ὑπολογίσουμε τὰ τμήματα τῆς διατονικῆς κλίμακας (m=2):

Νη - τ(1) - Πα - τ(2) - Βου - τ(3) - Γα - τ(1) - Δι - τ(1) - Κε - τ(2) - Ζω - τ(3) - Νη'.

Γιὰ νὰ μειώσουμε τὴν πολυπλοκότητα τοῦ προβλήματος, θέτουμε ὅτι:

τ(1) >= τ(2) >= τ(3)

ἐπειδὴ ξέρουμε ὅτι τὸ ἕνα διάστημα εἶναι μεγαλύτερο τοῦ ἄλλου (τὴν ἰσότητα τὴν θέλουμε σὲ περίπτωση ποὺ τὸ Ν εἶναι μικρό). Ἀκόμη, ἐξ ὁρισμοῦ ἔχουμε (ἀπὸ τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα),

Ν = 3*τ(1) + 2*τ(2) + 2*τ(3).

Ἔστω λ = [λ(1), λ(2), λ(3)]', τὸ διάνυσμα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στοὺς κλασματικοὺς λόγους τῆς κλίμακας· π.χ. γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου (1ης στήλης τοῦ Πίνακα 1): λ(1)=9/8, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15. Τότε σύμφωνα μὲ τὴν παραπάνω μεθοδολογία, ψάχνουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ ὥστε νὰ μειώνεται τὸ παρακάτω ἄθροισμα Φ (α' ἢ β' μεθόδου):

Φ = ἄθροισμα[ a .* ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ια')

Φ = ἄθροισμα[ a .* ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ιβ').

ὅπου τὸ a χρησιμοποιεῖται, ἐπειδὴ ὁ μείζων τόνος τ(1) ἀπαντᾶται 3 φορές, ὁ ἐλάσσων τόνος τ(2) 2 φορές, καὶ τὸ μείζον ἡμιτόνιο τ(3) 2 φορές: a = [a(1), a(2), a(3)]' = [3, 2, 2]'.


ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης

Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ "Numerical Recipes"), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο.

------------

Τότε μου είχε ζητηθεί να γράψω και μια αγγλική μετάφραση, κάτι που το αμέλησα μέχρι σήμερα. Είχα στείλει όμως ένα email στα αγγλικά σε έναν φίλο Αυστραλό καθηγητή τότε του Πανεπιστημίου της Αδελαϊδος (και αυτός νυν μέλος του Ψαλτολογίου), το οποίο και το παραθέτω για τυχόν αγγλόγλωσσους -ως επί το πλείστον- φίλους (συγχωρήστε τα αγγλικά μου, αλλά δεν κατέχω την αγγλική μουσική ορολογία ως επί το πλείστον).

The paper deals how to divide a scale (which is given by chords' fractions, say vector l) into commas (say vector t), and moreover how to choose how many (say N) commas the octave will have for the specific scale.

I'll go through an example [page 8]:

Suppose I want to divide the diatonic scale:

Ni -l(1)- Pa -l(2)- Bou -l(3)- Ga -l(1)- Di -l(1)- Ke -l(2)- Zo' -l(3)- Ni'.

where e.g. for Didymos: l(1)=9/8, l(2)=10/9, l(3)=16/15,

to the following "sigkerasmeni" scale

Ni -t(1)- Pa -t(2)- Bou -t(3)- Ga -t(1)- Di -t(1)- Ke -t(2)- Zo' -t(3)- Ni'.

where 3t(1)+2t(2)+2t(3) = N.

Now the problem is how to approximate:

l -> 2.^(t/N)

I suggest this to be done with methods of data modelling. I take as example "least squares fitting".

So in this method, I'll do an exhaustive search for t (let's say t is a vector of integers), so that the following Phi sum is minimized:

Phi = sum( a.* ( l - 2.^(t/N) ).^2 )

where a = [3,2,2]' (because we have 3 t(1)'s, 2 t(2)'s, 2 t(2)'s in the diatonic scale.

So we search for the t's that minimize Phi for a given N, and this vector t gives the "sigkerasmeni" scale for the specific N.

If we want to find the best N, then we let N, e.g. 7<=N<=x (for some integer x), and we repeat the above process (for each N), and then sort the results accross the N's with the lower Phi.

So Table 2, page 9, gives the best "sigkerasmos" for Committee 1881 for 7<=N<=100.

Table 5, page 13, gives the best "sigkerasmos" for Didymos for 7<=N<=100.

Table 6, page 14, gives the best "sigkerasmos" for Didymos for 7<=N<=300.

Table 8, page 15, gives the best "sigkerasmos" for Chrisanthos for 7<=N<=100.

------------------

το δε ηλεκτρονικό γράμμα της παρουσίασης της μεθόδου μου, είχε ως εξής:


-----Original Message-----
From: byzantinechant@yahoogroups.com [mailto:byzantinechant@yahoogroups.com] On Behalf Of analogion.net
Sent: Wednesday, June 22, 2005 12:27 AM
To: byzantinechant@yahoogroups.com
Subject: [byzantinechant] Method "Sigkerasmou" of scales

Greetings in Christ to all.



I finished a draft version of my article on the "sigkerasmos" of scales.



http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html



I would be grateful for any comments, related works, since I'm new in
this ...science.



I hope in the final version, to have an english abstract.



Thanks,

Panayiotis
----------------

απλά προς ενημέρωση.
Παναγιώτης
 

Attachments

Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#2
Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data).
Θα ήθελα επιπλέον να γνωστοποιήσω εγκαίρως, ότι ως γράφω στο άρθρο για την προσέγγιση εισηγήθηκα -πρώτος μέ τα μέχρι τώρα στοιχεία- την εφαρμογή μεθόδων μοντελοποίησης στον συγκερασμό κλιμάκων, και όχι μόνο την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων είναι υποπερίπτωση.

Επίσης έδωσα και το setup πως θα δουλέψει αυτή η μέθοδος συγκερασμού της κλίμακας με μεθόδους μοντελοποίησης. Δες παράγραφο 3.

Αυτό φαίνεται και από την παράγραφο ΙΙ.

ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης

Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ "Numerical Recipes"), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο.
Οπότε θα μπορούσε κανείς φίλος να χρησιμοποιήσει άλλο cost function από το least squares που εφάρμοσα για τα αποτελέσματά μου, και να τρέξει την μέθοδο όπως δίνεται στην μεθοδολογία μου και να βγάλει αποτελέσματα από το άλλο cost function.

Αυτό είναι μια προέκταση της εργασίας μου, την οποία δεν την έχω κάνει, αλλά απλά την έχω αναφέρει, ως φαίνεται στις παραθέσεις παραπάνω.

Βέβαια αν κάποιος βάλει άλλο cost function (άλλη μέθοδο μοντελοποίησης), τα αποτελέσματα που θα βγάλει με το καινούργιο cost function είναι δημοσιεύσιμα, αλλά το setup της μεθοδολογίας και η ιδέα της εφαρμογής μεθόδων μοντελοποίησης στον συγκερασμό κλιμάκων, πρέπει να αναφέρονται επιστημονικώς στην εργασία μου.

Αμφιβάλλω πάντως κατά πόσον οποιαδήποτε άλλη cost function δώσει διαφορετικό συγκερασμό από αυτόν της cost function των ελαχίστων τετραγώνων.

Όποιος έχει όρεξη...

φιλικά,
Παναγιώτης
 

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#3
http://byzantine-music.gr/Klimakes/

Ενημερωτικά,

α. συγκερασμοί κλιμάκων, σύμφωνα με την μέθοδό μας - δημοσίευση 28/10/2006
http://byzantine-music.gr/Klimakes/Klimakes_Sigkerasmoi_102806.pdf

β. Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Διατονικῶν Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα) -13/9/2005
http://byzantine-music.gr/Klimakes/005a_catalogue_of_all_diatonicsigkerasmoi_upto1200_09132005.pdf

γ. Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα) - 1/11/2005
http://byzantine-music.gr/Klimakes/005b_catalogue_of_all_NeanesSigkerasmoi_upto1200_11012005.pdf

δ. Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεχεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα) - 22/11/2005
http://byzantine-music.gr/Klimakes/005c_catalogue_of_all_NexeanesSigkerasmoi_upto1200_112205.pdf

ε. Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Ἐναρμονίων Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα) - 22/11/2005
http://byzantine-music.gr/Klimakes/005d_catalogue_of_all_enarmoniosSigkerasmoi_upto1200_112205.pdf

Οι κλίμακες στα β-ε είναι ταξινομημένες στους πίνακες με τους καλύτερους συγκερασμούς (ως προς τον αριθμό συνολικών μορίων κλίμακας) να είναι πρώτοι.

Η μεθοδολογία που εξηγήθηκε στο πρώτο μήνυμα είναι ικανή να βρει τους καλύτερους συγκερασμούς για κάθε κλίμακα που δίνεται με λόγους. Δεν θεωρήσαμε όμως σώφρων, να κάτσουμε να πάρουμε όλες τις κλίμακες του κόσμου, και να τις περάσουμε από την μέθοδο για να βρούμε τους καλύτερους συγκερασμούς τους και να λέμε ότι κατοχυρώσαμε τα αποτελέσματα. Μόνο το αρχείο στο (β) ανωτέρω, που έχει μόνο 3 κλίμακες, είναι 67 σελίδες συγκερασμών! Η μεθοδολογία είναι γνωστή πλέον από το 2005, όποιος θέλει μπορεί να την υλοποιεί και να βγάζει τους συγκερασμούς οποιασδήποτε κλίμακας βάσει αυτής.

Και αν έχετε κάποια συγκεκριμένη κλίμακα, μπορείτε να μου λέτε, και όταν βρω χρόνο θα σας στείλω τα αποτελέσματα. Ίσως αργότερα δημοσιεύσω ευρέως και τον κώδικα που υλοποιεί την μεθοδολογία.

Επίσης θα ήθελα να πω, όπως είπα και εδώ, ότι

όλα αυτά, είναι μαθηματικές ανησυχίες νεότητός μου.

Τώρα πλέον, θεωρώ ότι η καλύτερη κλίμακα, είναι η κλίμακα του παραδοσιακού Δασκάλου.
 

Attachments

Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#4
Παναγιώτης;77099 said:

[...]

Α - τ(1) - B - τ(2) - Γ - τ(3) - ..... - τ(ζ) - Ρ.

Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε.
από την εν λόγω μέθοδο ( http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html ), παραθέτω απόσπασμα για την διατονική κλίμακα της Επιτροπής 1881:

«Ἂς προχωρήσουμε ὅμως λίγο παραπάνω, καὶ ἂς ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν καὶ τιμὲς +1/2. Τότε, γιὰ τὸ χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται καὶ πάλι ἀπὸ τὰ τμήματα 12-10-8 (Φ=4.6167e-5).

Ἂν ὅμως ἐπιτρέψουμε στὰ τ νὰ παίρνουν (ἐκτὸς ἀπὸ τὶς ἀκέραιες) καὶ τιμὲς +1/4, +1/2, +3/4, τότε, γιὰ τὸν χωρισμό Ν=72, βρίσκουμε ὅτι τὸ Φ ἐλαχιστοποιεῖται ἀπὸ τὰ τμήματα (Φ=3.5565e-005),

12, 9+3/4, 8+1/4.»

Αυτά, καθαρά από μαθηματικο-φιλολογική άποψη... Πρακτικά υποστηρίζω ότι λέει η Επιτροπή: 12-10-8.
 
Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#5
Παναγιώτης;77099 said:

Αν γνωρίζετε ότι έχει δημοσιευθεί κάπου αυτή η μέθοδος με εφαρμογή στις κλίμακες, πριν το 22/6/2005 παρακαλώ να με ενημερώσετε, με αναφορές και με αντίγραφο της δημοσίευσης.

http://analogion.com/forum/showpost.php?p=91618&postcount=24

Αυτή η στιγμή ήρθε, και θεωρώ επιστημονικό χρέος μου να σας ενημερώσω αμέσως.

Μου ζητήθηκε να γράψω μια αγγλική έκδοση του άρθρου μου για δημοσίευση κατόπιν αξιολογήσεως, και ένας ανώνυμος αξιολογητής πρότεινε μερικές δημοσιεύσεις να μελετήσω και να αξιολογήσω πως διαφέρουν από το άρθρο μου. Μελετώντας και τις αναφορές των αναφορών που μου δοθήκανε βρέθηκα σε μια δημοσίευση του 1987 στο American Journal of Physics:

American Journal of Physics -- March 1987 -- Volume 55, Issue 3, pp. 223
A numerical exercise in musical scales, από τον George C. Hartmann.

όπου εκεί ο Hartmann χρησιμοποιεί την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Συνεπώς παύω να λέω ότι εγώ πρωτοεφάρμοσα την μέθοδο αυτή για συγκερασμό. Η συνεισφορά μου πλέον έγκειται μόνο στην εφαρμογή της μεθόδου αυτής στην ψαλτική, και στην χρησιμοποίησή της όπως έδειξα στο άρθρο μου του 2005 που πρωτοδημοσιεύτηκε στο byzantinechant@yahoogroups.

Θα προσθέσω την αναφορά αυτή στις σελίδες που έχω το άρθρο μου.

Το άρθρο αυτό υπάρχει και εδώ, για να κάνετε σύγκριση: http://www.laurence.com.ar/artes/fisica/Musical scales.pdf

φιλικά,
Παναγιώτης

Υ.Γ. Το άρθρο μου το είχα διαθέσιμο για κριτική ως πολλάκις έχω πει (και έχετε δει στην σελίδα μου) από το 2005, και μόνο θετικά στοιχεία άκουγα από πολλούς επώνυμους, και όπως είχα πει τότε το 2005 σε εκείνο το αγγλόγλωσσο φόρουμ "I would be grateful for any comments, related works, since I'm new in this ...science.". Καμία μέχρι χθες δεν είχε προταθεί.
 
Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#6
Στὴν ἐπισυναπτομένη πρόχειρη ἐργασία μπορεῖτε νὰ βρεῖτε συγκερασμοὺς καὶ μὲ κλασματικὰ μόρια, καὶ βεβαίως ταξινόμησή τους βάσει τῆς συνολικῆς ἀκρίβειας συγκερασμοῦ Φ. Ἐπίσης δίνονται καὶ τὰ λάθη τοῦ συγκερασμοῦ ἐπὶ τῶν ἐπιμέρους διαστημάτων.

Στὴν ἐργασία, οἱ συγκερασμοὶ δίνονται μὲ τὴν σειρὰ γιὰ τὶς ἐξῆς κλίμακες:

1. Διατονικὴ κλίμακα Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι Ν=300 μὲ ἀκέραια μόρια
2. Διατονικὴ κλίμακα Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι Ν=300 μὲ ἀκρίβεια 1/2 μορίου
3. Διατονικὴ κλίμακα Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι Ν=300 μὲ ἀκρίβεια 1/4 μορίου
4. Νεανές κλίμακα Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι Ν=300 μὲ ἀκέραια μόρια
5. Νεανές κλίμακα Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι Ν=300 μὲ ἀκρίβεια 1/2 μορίου
6. Νεανές κλίμακα Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι Ν=300 μὲ ἀκρίβεια 1/4 μορίου
7. Διατονικὴ κλίμακα Διδύμου μέχρι Ν=300 μὲ ἀκέραια μόρια
8. Διατονικὴ κλίμακα Διδύμου μέχρι Ν=300 μὲ ἀκρίβεια 1/2 μορίου
9. Διατονικὴ κλίμακα Διδύμου μέχρι Ν=300 μὲ ἀκρίβεια 1/4 μορίου

(δεῖτε καὶ τὴν συζήτηση ἐδῶ)

Για παράδειγμα για την διατονική της Επιτροπής 1881 με κλασματικά (1/2) μόρια, και Ν μέχρι 300, η μέθοδος δίνει (με φθίνουσα ακρίβεια συγκερασμού):

1. N = 153, t = [ 26, 20+1/2, 17 ], e = [-7.52e-006 7.17e-005 -5.97e-005], Phi = 1.7587e-008
2. N = 194, t = [ 33, 26, 21+1/2 ], e = [-0.000139 4.61e-005 0.000155] , Phi = 1.0993e-007
3. N = 265, t = [ 45, 35+1/2, 29+1/2 ], e = [8.86e-005 9.05e-005 -0.000217] , Phi = 1.3385e-007
4. N = 212, t = [ 36, 28+1/2, 23+1/2 ], e = [8.86e-005 -0.000268 0.000136] , Phi = 2.0485e-007
5. N = 253, t = [ 43, 34, 28 ], e = [-2.77e-005 -0.000233 0.000269] , Phi = 2.5551e-007
6. N = 288, t = [ 49, 38+1/2, 32 ], e = [-0.000167 0.000305 -5.97e-005] , Phi = 2.7629e-007
7. N = 283, t = [ 48, 38, 31+1/2 ], e = [0.000245 -0.000148 -0.000207] , Phi = 3.0869e-007
8. N = 235, t = [ 40, 31+1/2, 26 ], e = [-0.000224 2.94e-005 0.000294] , Phi = 3.2589e-007
9. N = 294, t = [ 50, 39+1/2, 32+1/2 ], e = [-0.000112 -0.000207 0.000365] , Phi = 3.8913e-007
10. N = 247, t = [ 42, 33, 27+1/2 ], e = [-9.01e-005 0.000363 -0.000228] , Phi = 3.9268e-007
11. N = 171, t = [ 29, 23, 19 ], e = [0.000261 -0.000321 -5.97e-005] , Phi = 4.1691e-007
12. N = 112, t = [ 19, 15, 12+1/2 ], e = [0.00022 0.000116 -0.000431] , Phi = 5.4392e-007
13. N = 224, t = [ 38, 30, 25 ], e = [0.00022 0.000116 -0.000431] , Phi = 5.4392e-007
14. N = 276, t = [ 47, 37, 30+1/2 ], e = [-0.000285 1.77e-005 0.000392] , Phi = 5.5123e-007
15. N = 271, t = [ 46, 36+1/2, 30 ], e = [0.000143 -0.00046 0.000247] , Phi = 6.0743e-007
16. N = 206, t = [ 35, 27+1/2, 23 ], e = [1.72e-005 0.000446 -0.000464] , Phi = 8.2803e-007
17. N = 230, t = [ 39, 31, 25+1/2 ], e = [0.000281 -0.000534 0.000121] , Phi = 8.3501e-007
18. N = 242, t = [ 41, 32+1/2, 27 ], e = [0.000393 -0.000165 -0.000404] , Phi = 8.4215e-007
19. N = 176, t = [ 30, 23+1/2, 19+1/2 ], e = [-0.000413 0.000425 0.000177] , Phi = 9.3483e-007
20. N = 135, t = [ 23, 18, 15 ], e = [-0.000347 0.000569 -5.97e-005] , Phi = 1.0160e-006
21. N = 270, t = [ 46, 36, 30 ], e = [-0.000347 0.000569 -5.97e-005] , Phi = 1.0160e-006
22. N = 217, t = [ 37, 29, 24 ], e = [-0.000454 0.000335 0.000324] , Phi = 1.0519e-006
23. N = 300, t = [ 51, 40, 33+1/2 ], e = [-5.85e-005 0.000569 -0.000476] , Phi = 1.1098e-006
24. N = 295, t = [ 50, 39+1/2, 33 ], e = [0.000338 0.000139 -0.000624] , Phi = 1.1597e-006
25. N = 258, t = [ 44, 34+1/2, 28+1/2 ], e = [-0.000482 0.000274 0.000424] , Phi = 1.2055e-006
26. N = 289, t = [ 49, 39, 32 ], e = [0.000292 -0.00066 0.000228] , Phi = 1.2304e-006
27. N = 277, t = [ 47, 37, 31 ], e = [0.000195 0.000386 -0.00066] , Phi = 1.2840e-006
28. N = 229, t = [ 39, 30+1/2, 25+1/2 ], e = [-0.000297 0.000679 -0.000241] , Phi = 1.3040e-006
29. N = 299, t = [ 51, 40, 33 ], e = [-0.000502 0.00023 0.000497] , Phi = 1.3544e-006
30. N = 130, t = [ 22, 17+1/2, 14+1/2 ], e = [0.000541 -0.000406 -0.00038] , Phi = 1.4975e-006
31. N = 260, t = [ 44, 35, 29 ], e = [0.000541 -0.000406 -0.00038] , Phi = 1.4975e-006
32. N = 189, t = [ 32, 25+1/2, 21 ], e = [0.000478 -0.000639 -5.97e-005] , Phi = 1.5079e-006
33. N = 183, t = [ 31, 24+1/2, 20+1/2 ], e = [0.00041 0.000153 -0.000742] , Phi = 1.6521e-006
34. N = 248, t = [ 42, 33+1/2, 27+1/2 ], e = [0.000445 -0.000761 0.000108] , Phi = 1.7728e-006
35. N = 259, t = [ 44, 34+1/2, 29 ], e = [3.18e-005 0.000667 -0.000702] , Phi = 1.8780e-006
36. N = 141, t = [ 24, 19, 15+1/2 ], e = [-0.000224 -0.00051 0.000825] , Phi = 2.0324e-006
37. N = 282, t = [ 48, 38, 31 ], e = [-0.000224 -0.00051 0.000825] , Phi = 2.0324e-006
38. N = 241, t = [ 41, 32+1/2, 26+1/2 ], e = [-0.000156 -0.000589 0.000803] , Phi = 2.0545e-006
39. N = 94, t = [ 16, 12+1/2, 10+1/2 ], e = [-0.000224 0.000838 -0.000502] , Phi = 2.0611e-006
40. N = 188, t = [ 32, 25, 21 ], e = [-0.000224 0.000838 -0.000502] , Phi = 2.0611e-006
41. N = 293, t = [ 50, 39, 32+1/2 ], e = [-0.000564 0.000742 8.22e-005] , Phi = 2.0690e-006
42. N = 165, t = [ 28, 22, 18+1/2 ], e = [0.000178 0.000569 -0.000816] , Phi = 2.0741e-006
43. N = 201, t = [ 34, 27, 22+1/2 ], e = [0.000601 -0.000188 -0.000681] , Phi = 2.0805e-006
44. N = 182, t = [ 31, 24+1/2, 20 ], e = [-0.000316 -0.000406 0.000854] , Phi = 2.0877e-006
45. N = 223, t = [ 38, 30, 24+1/2 ], e = [-0.000373 -0.000341 0.000872] , Phi = 2.1724e-006
46. N = 100, t = [ 17, 13+1/2, 11 ], e = [-5.85e-005 -0.000699 0.000772] , Phi = 2.1790e-006
47. N = 200, t = [ 34, 27, 22 ], e = [-5.85e-005 -0.000699 0.000772] , Phi = 2.1790e-006
48. N = 264, t = [ 45, 35+1/2, 29 ], e = [-0.000413 -0.000296 0.000885] , Phi = 2.2533e-006
49. N = 254, t = [ 43, 34, 28+1/2 ], e = [0.000494 0.00017 -0.000879] , Phi = 2.3341e-006
50. N = 278, t = [ 47, 37+1/2, 31 ], e = [0.000671 -0.000617 -0.000359] , Phi = 2.3683e-006
51. N = 252, t = [ 43, 33+1/2, 28 ], e = [-0.000554 0.00087 -5.97e-005] , Phi = 2.4420e-006
52. N = 281, t = [ 48, 37+1/2, 31 ], e = [-0.000697 0.000479 0.000532] , Phi = 2.4816e-006
53. N = 236, t = [ 40, 31+1/2, 26+1/2 ], e = [0.000338 0.000461 -0.000941] , Phi = 2.5403e-006
54. N = 272, t = [ 46, 36+1/2, 30+1/2 ], e = [0.000629 -8.37e-005 -0.000825] , Phi = 2.5622e-006
55. N = 240, t = [ 41, 32, 26+1/2 ], e = [-0.000709 0.000569 0.00046] , Phi = 2.5762e-006
56. N = 159, t = [ 27, 21+1/2, 17+1/2 ], e = [8.86e-005 -0.000867 0.000725] , Phi = 2.5763e-006
57. N = 199, t = [ 34, 26+1/2, 22 ], e = [-0.000725 0.000696 0.000358] , Phi = 2.8019e-006
58. N = 218, t = [ 37, 29+1/2, 24 ], e = [0.000156 -0.000944 0.000703] , Phi = 2.8425e-006
59. N = 266, t = [ 45, 36, 29+1/2 ], e = [0.000586 -0.000957 9.66e-005] , Phi = 2.8804e-006
60. N = 207, t = [ 35, 28, 23 ], e = [0.000657 -0.000901 -5.97e-005] , Phi = 2.9273e-006
61. N = 219, t = [ 37, 29+1/2, 24+1/2 ], e = [0.00076 -0.000473 -0.00063] , Phi = 2.9746e-006
62. N = 41, t = [ 7, 5+1/2, 4+1/2 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
63. N = 82, t = [ 14, 11, 9 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
64. N = 123, t = [ 21, 16+1/2, 13+1/2 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
65. N = 164, t = [ 28, 22, 18 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
66. N = 205, t = [ 35, 27+1/2, 22+1/2 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
67. N = 246, t = [ 42, 33, 27 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
68. N = 287, t = [ 49, 38+1/2, 31+1/2 ], e = [-0.000629 -4.96e-005 0.000954] , Phi = 3.0137e-006
69. N = 290, t = [ 49, 39, 32+1/2 ], e = [0.000748 -0.000306 -0.000777] , Phi = 3.0726e-006
70. N = 211, t = [ 36, 28, 23+1/2 ], e = [-0.000539 0.00105 -0.000257] , Phi = 3.2046e-006
71. N = 158, t = [ 27, 21, 17+1/2 ], e = [-0.00075 0.000889 0.000203] , Phi = 3.3511e-006
72. N = 148, t = [ 25, 20, 16+1/2 ], e = [0.000784 -0.000802 -0.000341] , Phi = 3.3638e-006
73. N = 296, t = [ 50, 40, 33 ], e = [0.000784 -0.000802 -0.000341] , Phi = 3.3638e-006
74. N = 59, t = [ 10, 8, 6+1/2 ], e = [0.000338 -0.00115 0.000645] , Phi = 3.8230e-006
75. N = 118, t = [ 20, 16, 13 ], e = [0.000338 -0.00115 0.000645] , Phi = 3.8230e-006
76. N = 177, t = [ 30, 24, 19+1/2 ], e = [0.000338 -0.00115 0.000645] , Phi = 3.8230e-006
77. N = 275, t = [ 47, 36+1/2, 30+1/2 ], e = [-0.000768 0.00103 9.15e-005] , Phi = 3.9038e-006
78. N = 147, t = [ 25, 19+1/2, 16+1/2 ], e = [-0.000112 0.00109 -0.000909] , Phi = 4.0472e-006
79. N = 284, t = [ 48, 38+1/2, 31+1/2 ], e = [0.00071 -0.00113 8.67e-005] , Phi = 4.0726e-006
80. N = 237, t = [ 40, 32, 26+1/2 ], e = [0.000895 -0.000715 -0.000586] , Phi = 4.1154e-006
81. N = 269, t = [ 46, 36, 29+1/2 ], e = [-0.000841 0.000192 0.00102] , Phi = 4.2869e-006
82. N = 263, t = [ 45, 35, 29 ], e = [-0.000919 0.000761 0.000573] , Phi = 4.3474e-006
83. N = 225, t = [ 38, 30+1/2, 25 ], e = [0.000808 -0.00112 -5.97e-005] , Phi = 4.4821e-006
84. N = 228, t = [ 39, 30+1/2, 25 ], e = [-0.00088 0.000235 0.00103] , Phi = 4.5712e-006
85. N = 71, t = [ 12, 9+1/2, 8 ], e = [0.00071 0.000212 -0.00123] , Phi = 4.6378e-006
86. N = 142, t = [ 24, 19, 16 ], e = [0.00071 0.000212 -0.00123] , Phi = 4.6378e-006
87. N = 213, t = [ 36, 28+1/2, 24 ], e = [0.00071 0.000212 -0.00123] , Phi = 4.6378e-006
88. N = 231, t = [ 39, 31, 26 ], e = [0.000853 -8.97e-005 -0.00114] , Phi = 4.7989e-006
89. N = 117, t = [ 20, 15+1/2, 13 ], e = [-0.000792 0.00122 -5.97e-005] , Phi = 4.8570e-006
90. N = 234, t = [ 40, 31, 26 ], e = [-0.000792 0.00122 -5.97e-005] , Phi = 4.8570e-006
91. N = 170, t = [ 29, 22+1/2, 19 ], e = [-0.000517 0.00131 -0.000549] , Phi = 4.8582e-006
92. N = 222, t = [ 38, 29+1/2, 24+1/2 ], e = [-0.000972 0.000911 0.000502] , Phi = 4.9999e-006
93. N = 187, t = [ 32, 25, 20+1/2 ], e = [-0.000935 0.000298 0.00105] , Phi = 5.0098e-006
94. N = 160, t = [ 27, 21+1/2, 18 ], e = [0.000916 -0.000224 -0.0011] , Phi = 5.0365e-006
95. N = 195, t = [ 33, 26, 22 ], e = [0.000541 0.000569 -0.00134] , Phi = 5.1180e-006
96. N = 249, t = [ 42, 33+1/2, 28 ], e = [0.000975 -0.000348 -0.00106] , Phi = 5.3484e-006
97. N = 255, t = [ 43, 34+1/2, 28+1/2 ], e = [0.00101 -0.000923 -0.000549] , Phi = 5.3756e-006
98. N = 298, t = [ 51, 39+1/2, 33 ], e = [-0.000949 0.00116 0.000219] , Phi = 5.5046e-006
99. N = 166, t = [ 28, 22+1/2, 18+1/2 ], e = [0.000975 -0.00111 -0.00031] , Phi = 5.5143e-006
100. N = 124, t = [ 21, 16+1/2, 14 ], e = [0.000445 0.000773 -0.0014] , Phi = 5.7205e-006
101. N = 146, t = [ 25, 19+1/2, 16 ], e = [-0.00102 0.000395 0.00108] , Phi = 5.7646e-006
102. N = 292, t = [ 50, 39, 32 ], e = [-0.00102 0.000395 0.00108] , Phi = 5.7646e-006
103. N = 243, t = [ 41, 33, 27 ], e = [0.000936 -0.00131 -5.97e-005] , Phi = 6.0676e-006
104. N = 89, t = [ 15, 12, 10 ], e = [0.00108 -0.000571 -0.000995] , Phi = 6.1302e-006
105. N = 178, t = [ 30, 24, 20 ], e = [0.00108 -0.000571 -0.000995] , Phi = 6.1302e-006
106. N = 267, t = [ 45, 36, 30 ], e = [0.00108 -0.000571 -0.000995] , Phi = 6.1302e-006
107. N = 181, t = [ 31, 24, 20 ], e = [-0.00105 0.00113 0.0004] , Phi = 6.1738e-006
108. N = 286, t = [ 49, 38, 31+1/2 ], e = [-0.0011 0.000923 0.000667] , Phi = 6.1921e-006
109. N = 136, t = [ 23, 18+1/2, 15 ], e = [0.000629 -0.00148 0.000552] , Phi = 6.1954e-006
110. N = 251, t = [ 43, 33+1/2, 27+1/2 ], e = [-0.00108 0.000468 0.0011] , Phi = 6.3822e-006
111. N = 193, t = [ 33, 25+1/2, 21+1/2 ], e = [-0.000826 0.00149 -0.000275] , Phi = 6.6257e-006
112. N = 273, t = [ 46, 37, 30+1/2 ], e = [0.00111 -0.0011 -0.000517] , Phi = 6.6798e-006
113. N = 257, t = [ 44, 34, 28+1/2 ], e = [-0.001 0.00136 0.000102] , Phi = 6.7025e-006
114. N = 285, t = [ 48, 38+1/2, 32 ], e = [0.00117 -0.000766 -0.000936] , Phi = 7.0461e-006
115. N = 245, t = [ 42, 32+1/2, 27 ], e = [-0.00117 0.00109 0.000619] , Phi = 7.2527e-006
116. N = 105, t = [ 18, 14, 11+1/2 ], e = [-0.00117 0.000569 0.00113] , Phi = 7.3197e-006
117. N = 210, t = [ 36, 28, 23 ], e = [-0.00117 0.000569 0.00113] , Phi = 7.3197e-006
118. N = 196, t = [ 33, 26+1/2, 22 ], e = [0.00121 -0.000854 -0.000909] , Phi = 7.5336e-006
119. N = 261, t = [ 44, 35+1/2, 29 ], e = [0.00105 -0.00147 -5.97e-005] , Phi = 7.6272e-006
120. N = 184, t = [ 31, 25, 20+1/2 ], e = [0.00113 -0.00136 -0.000286] , Phi = 7.6834e-006
121. N = 279, t = [ 47, 37+1/2, 31+1/2 ], e = [0.00114 -0.000249 -0.0014] , Phi = 7.9743e-006
122. N = 291, t = [ 49, 39+1/2, 32+1/2 ], e = [0.0012 -0.00126 -0.000489] , Phi = 7.9832e-006
123. N = 274, t = [ 47, 36+1/2, 30 ], e = [-0.00125 0.000661 0.00115] , Phi = 8.2586e-006
124. N = 297, t = [ 50, 40, 33+1/2 ], e = [0.00123 -0.000456 -0.00132] , Phi = 8.4237e-006
125. N = 140, t = [ 24, 18+1/2, 15+1/2 ], e = [-0.00117 0.00147 0.000237] , Phi = 8.5829e-006
126. N = 280, t = [ 48, 37, 31 ], e = [-0.00117 0.00147 0.000237] , Phi = 8.5829e-006
127. N = 77, t = [ 13, 10+1/2, 8+1/2 ], e = [0.000853 -0.00174 0.00048] , Phi = 8.6803e-006
128. N = 154, t = [ 26, 21, 17 ], e = [0.000853 -0.00174 0.00048] , Phi = 8.6803e-006
129. N = 216, t = [ 37, 28+1/2, 24 ], e = [-0.00107 0.00162 -5.97e-005] , Phi = 8.7163e-006
130. N = 169, t = [ 29, 22+1/2, 18+1/2 ], e = [-0.00131 0.000719 0.00117] , Phi = 8.8806e-006
131. N = 129, t = [ 22, 17, 14+1/2 ], e = [-0.000482 0.00175 -0.00103] , Phi = 8.9098e-006
132. N = 204, t = [ 35, 27, 22+1/2 ], e = [-0.00128 0.00131 0.000552] , Phi = 8.9948e-006
133. N = 107, t = [ 18, 14+1/2, 12 ], e = [0.00133 -0.00109 -0.000837] , Phi = 9.0508e-006
134. N = 214, t = [ 36, 29, 24 ], e = [0.00133 -0.00109 -0.000837] , Phi = 9.0508e-006
135. N = 190, t = [ 32, 25+1/2, 21+1/2 ], e = [0.00117 -9.84e-005 -0.00159] , Phi = 9.2173e-006
136. N = 268, t = [ 46, 35+1/2, 29+1/2 ], e = [-0.00134 0.00123 0.000716] , Phi = 9.4361e-006
137. N = 172, t = [ 29, 23, 19+1/2 ], e = [0.00103 0.000274 -0.00175] , Phi = 9.4786e-006
138. N = 208, t = [ 35, 28, 23+1/2 ], e = [0.00129 -0.000406 -0.00146] , Phi = 9.5911e-006
139. N = 233, t = [ 40, 31, 25+1/2 ], e = [-0.00136 0.000786 0.00119] , Phi = 9.6499e-006
140. N = 202, t = [ 34, 27+1/2, 22+1/2 ], e = [0.00125 -0.00157 -0.000266] , Phi = 9.7591e-006
141. N = 152, t = [ 26, 20+1/2, 16+1/2 ], e = [-0.00088 -0.000599 0.00185] , Phi = 9.9132e-006
142. N = 53, t = [ 9, 7, 6 ], e = [8.86e-005 0.00152 -0.00163] , Phi = 9.9885e-006
143. N = 106, t = [ 18, 14, 12 ], e = [8.86e-005 0.00152 -0.00163] , Phi = 9.9885e-006
144. N = 76, t = [ 13, 10, 8+1/2 ], e = [-0.00088 0.0019 -0.000607] , Phi = 1.0291e-005
145. N = 226, t = [ 38, 30+1/2, 25+1/2 ], e = [0.00139 -0.000665 -0.00135] , Phi = 1.0319e-005
146. N = 239, t = [ 41, 32, 26 ], e = [-0.00127 0.000144 0.00168] , Phi = 1.0492e-005
147. N = 232, t = [ 39, 31+1/2, 26 ], e = [0.00142 -0.00129 -0.000777] , Phi = 1.0580e-005
148. N = 175, t = [ 30, 23+1/2, 19 ], e = [-0.00117 -0.000156 0.00184] , Phi = 1.0947e-005
149. N = 244, t = [ 41, 33, 27+1/2 ], e = [0.00147 -0.000886 -0.00125] , Phi = 1.1237e-005
150. N = 227, t = [ 39, 30, 25 ], e = [-0.00147 0.00146 0.000673] , Phi = 1.1641e-005
151. N = 220, t = [ 37, 30, 24+1/2 ], e = [0.00136 -0.00174 -0.000249] , Phi = 1.1698e-005
152. N = 64, t = [ 11, 8+1/2, 7 ], e = [-0.00152 0.000965 0.00124] , Phi = 1.1878e-005
153. N = 128, t = [ 22, 17, 14 ], e = [-0.00152 0.000965 0.00124] , Phi = 1.1878e-005
154. N = 192, t = [ 33, 25+1/2, 21 ], e = [-0.00152 0.000965 0.00124] , Phi = 1.1878e-005
155. N = 256, t = [ 44, 34, 28 ], e = [-0.00152 0.000965 0.00124] , Phi = 1.1878e-005
156. N = 125, t = [ 21, 17, 14 ], e = [0.0015 -0.00146 -0.000725] , Phi = 1.2070e-005
157. N = 250, t = [ 42, 34, 28 ], e = [0.0015 -0.00146 -0.000725] , Phi = 1.2070e-005
158. N = 262, t = [ 45, 35, 28+1/2 ], e = [-0.00143 0.000375 0.00169] , Phi = 1.2082e-005
159. N = 163, t = [ 28, 21+1/2, 18 ], e = [-0.00145 0.00166 0.00045] , Phi = 1.2173e-005
160. N = 198, t = [ 34, 26+1/2, 21+1/2 ], e = [-0.0014 0.000185 0.00183] , Phi = 1.2626e-005
161. N = 119, t = [ 20, 16, 13+1/2 ], e = [0.00145 -0.000283 -0.00181] , Phi = 1.2991e-005
162. N = 238, t = [ 40, 32, 27 ], e = [0.00145 -0.000283 -0.00181] , Phi = 1.2991e-005
163. N = 95, t = [ 16, 13, 10+1/2 ], e = [0.00117 -0.0021 0.000378] , Phi = 1.3245e-005
164. N = 137, t = [ 23, 18+1/2, 15+1/2 ], e = [0.00159 -0.000727 -0.00158] , Phi = 1.3636e-005
165. N = 111, t = [ 19, 15, 12 ], e = [-0.000972 -0.000802 0.00219] , Phi = 1.3680e-005
166. N = 101, t = [ 17, 13+1/2, 11+1/2 ], e = [0.00125 0.000318 -0.00212] , Phi = 1.3909e-005
167. N = 134, t = [ 23, 18, 14+1/2 ], e = [-0.00134 -0.000188 0.00211] , Phi = 1.4364e-005
168. N = 221, t = [ 38, 29+1/2, 24 ], e = [-0.00158 0.000454 0.00182] , Phi = 1.4500e-005
169. N = 215, t = [ 37, 28+1/2, 23+1/2 ], e = [-0.00169 0.00116 0.00129] , Phi = 1.4615e-005
170. N = 99, t = [ 17, 13, 11 ], e = [-0.0014 0.0021 -5.97e-005] , Phi = 1.4723e-005
171. N = 143, t = [ 24, 19+1/2, 16 ], e = [0.00163 -0.00174 -0.000642] , Phi = 1.4840e-005
172. N = 155, t = [ 26, 21, 17+1/2 ], e = [0.0017 -0.00107 -0.0014] , Phi = 1.4892e-005
173. N = 186, t = [ 32, 24+1/2, 20+1/2 ], e = [-0.00165 0.00179 0.000611] , Phi = 1.5380e-005
174. N = 151, t = [ 26, 20, 16+1/2 ], e = [-0.00176 0.00124 0.00132] , Phi = 1.5877e-005
175. N = 157, t = [ 27, 21, 17 ], e = [-0.0016 0.000246 0.00206] , Phi = 1.6261e-005
176. N = 173, t = [ 29, 23+1/2, 19+1/2 ], e = [0.00179 -0.00134 -0.00126] , Phi = 1.6357e-005
177. N = 113, t = [ 19, 15+1/2, 12+1/2 ], e = [0.00139 -0.00235 0.000308] , Phi = 1.7036e-005
178. N = 88, t = [ 15, 12, 9+1/2 ], e = [-0.000413 -0.00174 0.0023] , Phi = 1.7137e-005
179. N = 161, t = [ 27, 22, 18 ], e = [0.00173 -0.00195 -0.000577] , Phi = 1.7292e-005
180. N = 191, t = [ 32, 26, 21+1/2 ], e = [0.00186 -0.00156 -0.00115] , Phi = 1.7850e-005
181. N = 209, t = [ 36, 27+1/2, 23 ], e = [-0.00181 0.0019 0.000736] , Phi = 1.8183e-005
182. N = 167, t = [ 28, 22+1/2, 19 ], e = [0.00176 -0.000494 -0.00205] , Phi = 1.8231e-005
183. N = 185, t = [ 31, 25, 21 ], e = [0.00184 -0.000802 -0.00186] , Phi = 1.8325e-005
184. N = 180, t = [ 31, 24, 19+1/2 ], e = [-0.00179 0.000569 0.00202] , Phi = 1.8432e-005
185. N = 83, t = [ 14, 11, 9+1/2 ], e = [0.000975 0.00118 -0.00257] , Phi = 1.8821e-005
186. N = 203, t = [ 34, 27+1/2, 23 ], e = [0.0019 -0.00106 -0.0017] , Phi = 1.8826e-005
187. N = 149, t = [ 25, 20, 17 ], e = [0.00167 -0.000112 -0.0023] , Phi = 1.8900e-005
188. N = 122, t = [ 21, 16, 13+1/2 ], e = [-0.00172 0.00223 0.000281] , Phi = 1.8989e-005
189. N = 87, t = [ 15, 11+1/2, 9+1/2 ], e = [-0.00194 0.00144 0.00137] , Phi = 1.9252e-005
190. N = 174, t = [ 30, 23, 19 ], e = [-0.00194 0.00144 0.00137] , Phi = 1.9252e-005
191. N = 179, t = [ 30, 24+1/2, 20 ], e = [0.00181 -0.00212 -0.000525] , Phi = 1.9442e-005
192. N = 131, t = [ 22, 18, 14+1/2 ], e = [0.00155 -0.00253 0.000258] , Phi = 2.0129e-005
193. N = 197, t = [ 33, 27, 22 ], e = [0.00188 -0.00227 -0.000482] , Phi = 2.1323e-005
194. N = 93, t = [ 16, 12+1/2, 10 ], e = [-0.00165 -0.000249 0.00262] , Phi = 2.2051e-005
195. N = 145, t = [ 25, 19, 16 ], e = [-0.00194 0.00232 0.000514] , Phi = 2.2566e-005
196. N = 116, t = [ 20, 15+1/2, 12+1/2 ], e = [-0.00194 0.00035 0.00245] , Phi = 2.3541e-005
197. N = 70, t = [ 12, 9+1/2, 7+1/2 ], e = [-0.00117 -0.00124 0.00291] , Phi = 2.4119e-005
198. N = 110, t = [ 19, 14+1/2, 12 ], e = [-0.00219 0.00172 0.00145] , Phi = 2.4484e-005
199. N = 168, t = [ 29, 22, 18+1/2 ], e = [-0.0021 0.00238 0.000683] , Phi = 2.5501e-005
200. N = 139, t = [ 24, 18+1/2, 15 ], e = [-0.00214 0.000751 0.00233] , Phi = 2.5689e-005
201. N = 162, t = [ 28, 21+1/2, 17+1/2 ], e = [-0.00228 0.00104 0.00225] , Phi = 2.7792e-005
202. N = 133, t = [ 23, 17+1/2, 14+1/2 ], e = [-0.00235 0.0019 0.0015] , Phi = 2.8282e-005
203. N = 156, t = [ 27, 20+1/2, 17 ], e = [-0.00246 0.00203 0.00154] , Phi = 3.1138e-005
204. N = 66, t = [ 11, 9, 7+1/2 ], e = [0.00254 -0.00174 -0.00195] , Phi = 3.2981e-005
205. N = 132, t = [ 22, 18, 15 ], e = [0.00254 -0.00174 -0.00195] , Phi = 3.2981e-005
206. N = 150, t = [ 25, 20+1/2, 17 ], e = [0.00254 -0.00197 -0.00172] , Phi = 3.3022e-005
207. N = 84, t = [ 14, 11+1/2, 9+1/2 ], e = [0.00254 -0.00215 -0.00155] , Phi = 3.3349e-005
208. N = 114, t = [ 19, 15+1/2, 13 ], e = [0.00254 -0.00143 -0.00225] , Phi = 3.3569e-005
209. N = 102, t = [ 17, 14, 11+1/2 ], e = [0.00254 -0.00242 -0.00128] , Phi = 3.4301e-005
210. N = 65, t = [ 11, 8+1/2, 7+1/2 ], e = [0.000541 0.00252 -0.00326] , Phi = 3.4848e-005
211. N = 120, t = [ 20, 16+1/2, 13+1/2 ], e = [0.00254 -0.0026 -0.0011] , Phi = 3.5301e-005
212. N = 48, t = [ 8, 6+1/2, 5+1/2 ], e = [0.00254 -0.00102 -0.00266] , Phi = 3.5565e-005
213. N = 96, t = [ 16, 13, 11 ], e = [0.00254 -0.00102 -0.00266] , Phi = 3.5565e-005
214. N = 144, t = [ 24, 19+1/2, 16+1/2 ], e = [0.00254 -0.00102 -0.00266] , Phi = 3.5565e-005
215. N = 138, t = [ 23, 19, 15+1/2 ], e = [0.00254 -0.00274 -0.000964] , Phi = 3.6218e-005
216. N = 81, t = [ 14, 10+1/2, 9 ], e = [-0.00228 0.00338 -5.97e-005] , Phi = 3.8395e-005
217. N = 126, t = [ 21, 17, 14+1/2 ], e = [0.00254 -0.000639 -0.00303] , Phi = 3.8557e-005
218. N = 58, t = [ 10, 7+1/2, 6+1/2 ], e = [-0.00194 0.00362 -0.000777] , Phi = 3.8778e-005
219. N = 104, t = [ 18, 13+1/2, 11+1/2 ], e = [-0.00246 0.00325 0.00034] , Phi = 3.9465e-005
220. N = 127, t = [ 22, 16+1/2, 14 ], e = [-0.00258 0.00316 0.000595] , Phi = 4.0627e-005
221. N = 78, t = [ 13, 10+1/2, 9 ], e = [0.00254 -0.000406 -0.00326] , Phi = 4.0959e-005
222. N = 98, t = [ 17, 13, 10+1/2 ], e = [-0.00277 0.00109 0.00291] , Phi = 4.2232e-005
223. N = 121, t = [ 21, 16, 13 ], e = [-0.00283 0.00141 0.00269] , Phi = 4.2471e-005
224. N = 75, t = [ 13, 10, 8 ], e = [-0.00266 0.000569 0.00326] , Phi = 4.3175e-005
225. N = 108, t = [ 18, 14+1/2, 12+1/2 ], e = [0.00254 -0.000135 -0.00353] , Phi = 4.4300e-005
226. N = 47, t = [ 8, 6+1/2, 5 ], e = [-0.000224 -0.00321 0.00347] , Phi = 4.4926e-005
227. N = 18, t = [ 3, 2+1/2, 2 ], e = [0.00254 -0.00366 -5.97e-005] , Phi = 4.6167e-005
228. N = 36, t = [ 6, 5, 4 ], e = [0.00254 -0.00366 -5.97e-005] , Phi = 4.6167e-005
229. N = 54, t = [ 9, 7+1/2, 6 ], e = [0.00254 -0.00366 -5.97e-005] , Phi = 4.6167e-005
230. N = 72, t = [ 12, 10, 8 ], e = [0.00254 -0.00366 -5.97e-005] , Phi = 4.6167e-005
231. N = 90, t = [ 15, 12+1/2, 10 ], e = [0.00254 -0.00366 -5.97e-005] , Phi = 4.6167e-005
232. N = 52, t = [ 9, 7, 5+1/2 ], e = [-0.00246 -0.000406 0.00393] , Phi = 4.9414e-005
233. N = 23, t = [ 4, 3, 2+1/2 ], e = [-0.00311 0.00277 0.00175] , Phi = 5.0546e-005
234. N = 46, t = [ 8, 6, 5 ], e = [-0.00311 0.00277 0.00175] , Phi = 5.0546e-005
235. N = 69, t = [ 12, 9, 7+1/2 ], e = [-0.00311 0.00277 0.00175] , Phi = 5.0546e-005
236. N = 92, t = [ 16, 12, 10 ], e = [-0.00311 0.00277 0.00175] , Phi = 5.0546e-005
237. N = 115, t = [ 20, 15, 12+1/2 ], e = [-0.00311 0.00277 0.00175] , Phi = 5.0546e-005
238. N = 35, t = [ 6, 4+1/2, 4 ], e = [-0.00117 0.00418 -0.00244] , Phi = 5.1021e-005
239. N = 30, t = [ 5, 4, 3+1/2 ], e = [0.00254 0.000569 -0.00423] , Phi = 5.5703e-005
240. N = 60, t = [ 10, 8, 7 ], e = [0.00254 0.000569 -0.00423] , Phi = 5.5703e-005
241. N = 109, t = [ 19, 14+1/2, 11+1/2 ], e = [-0.00343 0.000801 0.00413] , Phi = 7.0602e-005
242. N = 103, t = [ 18, 13+1/2, 11 ], e = [-0.00377 0.00229 0.00317] , Phi = 7.3270e-005
243. N = 91, t = [ 15, 12+1/2, 10+1/2 ], e = [0.00396 -0.0025 -0.00326] , Phi = 8.0886e-005
244. N = 86, t = [ 15, 11, 9+1/2 ], e = [-0.00351 0.00469 0.000424] , Phi = 8.1234e-005
245. N = 97, t = [ 16, 13+1/2, 11 ], e = [0.00387 -0.00388 -0.00178] , Phi = 8.1468e-005
246. N = 80, t = [ 14, 10+1/2, 8+1/2 ], e = [-0.00396 0.00215 0.00357] , Phi = 8.1945e-005
247. N = 29, t = [ 5, 4, 3 ], e = [-0.00194 -0.00293 0.00566] , Phi = 9.2627e-005
248. N = 79, t = [ 13, 11, 9 ], e = [0.00418 -0.00393 -0.00217] , Phi = 9.2682e-005
249. N = 63, t = [ 11, 8, 7 ], e = [-0.00365 0.00539 -5.97e-005] , Phi = 9.8060e-005
250. N = 73, t = [ 12, 10, 8+1/2 ], e = [0.00431 -0.00221 -0.00406] , Phi = 9.8480e-005
251. N = 57, t = [ 10, 7+1/2, 6 ], e = [-0.00431 0.0019 0.00431] , Phi = 1.0004e-004
252. N = 85, t = [ 14, 11+1/2, 10 ], e = [0.00406 -0.000923 -0.00496] , Phi = 1.0050e-004
253. N = 42, t = [ 7, 5+1/2, 5 ], e = [0.00254 0.00238 -0.00602] , Phi = 1.0305e-004
254. N = 74, t = [ 13, 9+1/2, 8 ], e = [-0.00449 0.00433 0.00219] , Phi = 1.0761e-004
255. N = 61, t = [ 10, 8+1/2, 7 ], e = [0.00466 -0.00401 -0.00279] , Phi = 1.1294e-004
256. N = 67, t = [ 11, 9+1/2, 7+1/2 ], e = [0.00447 -0.00588 -0.000681] , Phi = 1.3007e-004
257. N = 55, t = [ 9, 7+1/2, 6+1/2 ], e = [0.00489 -0.00174 -0.00537] , Phi = 1.3546e-004
258. N = 51, t = [ 9, 6+1/2, 5+1/2 ], e = [-0.00512 0.00503 0.00238] , Phi = 1.4052e-004
259. N = 40, t = [ 7, 5, 4+1/2 ], e = [-0.00396 0.00689 -0.0011] , Phi = 1.4440e-004
260. N = 34, t = [ 6, 4+1/2, 3+1/2 ], e = [-0.00512 0.00131 0.00604] , Phi = 1.5491e-004
261. N = 68, t = [ 12, 9, 7 ], e = [-0.00512 0.00131 0.00604] , Phi = 1.5491e-004
262. N = 43, t = [ 7, 6, 5 ], e = [0.00555 -0.00416 -0.00394] , Phi = 1.5792e-004
263. N = 49, t = [ 8, 7, 5+1/2 ], e = [0.00518 -0.0067 -0.000909] , Phi = 1.7185e-004
264. N = 62, t = [ 11, 8, 6+1/2 ], e = [-0.00586 0.00383 0.00463] , Phi = 1.7518e-004
265. N = 24, t = [ 4, 3+1/2, 2+1/2 ], e = [0.00254 -0.00898 0.00513] , Phi = 2.3302e-004
266. N = 37, t = [ 6, 5, 4+1/2 ], e = [0.00604 -0.000802 -0.00796] , Phi = 2.3726e-004
267. N = 28, t = [ 5, 3+1/2, 3 ], e = [-0.00676 0.00689 0.00291] , Phi = 2.4893e-004
268. N = 56, t = [ 10, 7, 6 ], e = [-0.00676 0.00689 0.00291] , Phi = 2.4893e-004
269. N = 45, t = [ 8, 6, 4+1/2 ], e = [-0.00614 0.000569 0.00823] , Phi = 2.4911e-004
270. N = 31, t = [ 5, 4+1/2, 3+1/2 ], e = [0.00671 -0.00846 -0.0014] , Phi = 2.8229e-004
271. N = 39, t = [ 7, 5, 4 ], e = [-0.00748 0.00446 0.00632] , Phi = 2.8759e-004
272. N = 25, t = [ 4, 3+1/2, 3 ], e = [0.00771 -0.00451 -0.00673] , Phi = 3.0989e-004
273. N = 50, t = [ 8, 7, 6 ], e = [0.00771 -0.00451 -0.00673] , Phi = 3.0989e-004
274. N = 12, t = [ 2, 1+1/2, 1+1/2 ], e = [0.00254 0.00689 -0.0105] , Phi = 3.3498e-004
275. N = 17, t = [ 3, 2, 2 ], e = [-0.00512 0.0124 -0.00496] , Phi = 4.3679e-004
276. N = 44, t = [ 7, 6+1/2, 5 ], e = [0.00842 -0.0104 -0.00195] , Phi = 4.3768e-004
277. N = 38, t = [ 6, 5+1/2, 4+1/2 ], e = [0.00934 -0.00814 -0.00555] , Phi = 4.5571e-004
278. N = 33, t = [ 6, 4, 3+1/2 ], e = [-0.00931 0.00975 0.00371] , Phi = 4.7771e-004
279. N = 32, t = [ 5, 4+1/2, 4 ], e = [0.0106 -0.00499 -0.0105] , Phi = 6.0853e-004
280. N = 11, t = [ 2, 1+1/2, 1 ], e = [-0.00931 -0.00174 0.015] , Phi = 7.1375e-004
281. N = 22, t = [ 4, 3, 2 ], e = [-0.00931 -0.00174 0.015] , Phi = 7.1375e-004
282. N = 19, t = [ 3, 2+1/2, 2+1/2 ], e = [0.00934 0.0019 -0.0155] , Phi = 7.4906e-004
283. N = 27, t = [ 5, 3+1/2, 2+1/2 ], e = [-0.012 0.00338 0.0137] , Phi = 8.2842e-004
284. N = 13, t = [ 2, 2, 1+1/2 ], e = [0.0125 -0.0151 -0.00326] , Phi = 9.4600e-004
285. N = 26, t = [ 4, 4, 3 ], e = [0.0125 -0.0151 -0.00326] , Phi = 9.4600e-004
286. N = 16, t = [ 3, 2, 1+1/2 ], e = [-0.0138 0.00689 0.0129] , Phi = 9.9595e-004
287. N = 20, t = [ 3, 3, 2+1/2 ], e = [0.0154 -0.0122 -0.0105] , Phi = 1.2316e-003
288. N = 21, t = [ 4, 2+1/2, 2 ], e = [-0.0161 0.0114 0.0118] , Phi = 1.3169e-003
289. N = 7, t = [ 1, 1, 1 ], e = [0.0209 -0.0067 -0.0241] , Phi = 2.5620e-003
290. N = 14, t = [ 2, 2, 2 ], e = [0.0209 -0.0067 -0.0241] , Phi = 2.5620e-003
291. N = 10, t = [ 2, 1, 1 ], e = [-0.0237 0.0256 0.00823] , Phi = 3.1330e-003
292. N = 15, t = [ 3, 1+1/2, 1+1/2 ], e = [-0.0237 0.0256 0.00823] , Phi = 3.1330e-003
293. N = 9, t = [ 2, 1, 0+1/2 ], e = [-0.0415 0.0173 0.0407] , Phi = 9.0945e-003
294. N = 8, t = [ 2, 0+1/2, 0+1/2 ], e = [-0.0642 0.0531 0.0357] , Phi = 2.0564e-002
 

Attachments

Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#7
Εδώ ένα xls (και σε pdf) που είχα φτιάξει το 2006 για ιδία χρήση. Απεικονίζει αυτόματα τις συχνότητες των κλιμάκων και των χροών, δίνοντας μόνο τον φθόγγο Νη. Εύχομαι να φανεί χρήσιμο.
 

Attachments

Last edited:
#8
Εδώ ένα xls (και σε pdf) που είχα φτιάξει το 2006 για ιδία χρήση. Απεικονίζει αυτόματα τις συχνότητες των κλιμάκων και των χροών, δίνοντας μόνο τον φθόγγο Νη. Εύχομαι να φανεί χρήσιμο.
Πολύ αξιόλογη εργασία μπράβο σας!

-Μια παρατήρηση μόνο για την ιστορία του πράγματος
οι συχνότητες ειναι οι διπλάσιες απο τις πραγματικές της ανθρώπινης φωνής(Νη=130 Hertz επί 2 = 260 )-

-Ας μην ανασκαλέψουμε πάλι το θέμα εχει γίνει και αλλού λόγος-

http://analogion.com/forum/showthread.php?t=25749

ευχαριστώ.
 
Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#9
Σας ευχαριστώ πολύ κ. Φανερωμένε (και πέρα από το "ευχαριστήριο" που είχα βάλει όταν γράψατε το μήνυμά σας).
 
Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#10
Έγινε αναφορά στο άρθρο μου αυτό και στο άρθρο του κ. Κυπουργού: Νίκου Κηπουργοῦ, Μερικὲς παρατηρήσεις πάνω στὰ βασικὰ διαστήματα τῆς ἑλληνικῆς καὶ ἀνατολικῆς μουσικῆς, περιοδ. Μουσικολογία, τ.2, Μάϊος 1985, σ. 83‐93.

Για να λυθούν οτιδήποτε απορίες, να υπενθυμίσω, ότι το πολύ αξιόλογο άρθρο του κ. Κυπουργού το προμηθεύτηκα όταν έκανα την εργασία μου, και το μελέτησα και το αναφέρω στο άρθρο μου με σαφείς και κανονικές αναφορές (και όχι ορφανές αναφορές). Επίσης έστειλα και το άρθρο μου στον κ. Κυπουργό, χωρίς να τον γνωρίζω, και μου απάντησε ευχαριστώντας με για την αναφορά μου στο άρθρο του.

Οποιοσδήποτε εγκρατής στα μαθηματικά, αντιλαμβάνεται την διαφορά των δύο άρθρων.
 
Last edited:

Laosynaktis

Παλαιό Μέλος
#11
Έγινε αναφορά στο άρθρο μου αυτό και στο άρθρο του κ. Κυπουργού: Νίκου Κηπουργοῦ, Μερικὲς παρατηρήσεις πάνω στὰ βασικὰ διαστήματα τῆς ἑλληνικῆς καὶ ἀνατολικῆς μουσικῆς, περιοδ. Μουσικολογία, τ.2, Μάϊος 1985, σ. 83‐93.

Για να λυθούν οτιδήποτε απορίες, να υπενθυμίσω, ότι το πολύ αξιόλογο άρθρο του κ. Κυπουργού το προμηθεύτηκα όταν έκανα την εργασία μου, και το μελέτησα και το αναφέρω στο άρθρο μου με σαφείς και κανονικές αναφορές (και όχι ορφανές αναφορές). Επίσης έστειλα και το άρθρο μου στον κ. Κυπουργό, χωρίς να τον γνωρίζω, και μου απάντησε ευχαριστώντας με για την αναφορά μου στο άρθρο του.

Οποιοσδήποτε εγκρατής στα μαθηματικά, αντιλαμβάνεται την διαφορά των δύο άρθρων.
Όμως το μόνο που ξέχασες, και συνεχίζεις να αποφεύγεις, να αναφέρεις είναι το δικό μου άρθρο του 2005 (βλ. https://www.academia.edu/5081341/On_Chrysanthos_Diatonic_Scale). Και το λέω, διότι γράφτηκε τότε ειδικά για σένα (και τον κ. Μιχαλάκη) και σε σένα αναφερόταν το μότο του (τα λόγια του Bekesy), το οποίο, αν θυμάσαι, το παρεξήγησες λόγω της λέξης "enemy", ενώ ήταν μια πρόσκληση φιλίας, παρά τις διαφορές απόψεων. Τέλος πάντων, ίσως να μην το θεώρησες επιστημονικό. Έχω την εντύπωση όμως ότι μάλλον προπορευόταν των δικών σου ανακαλύψεων (και στην ουσία ήταν καταγραφή συμπερασμάτων μου του 1982-83). Ωστόσο δεν με ενδιαφέρει να ζητήσω διακαώς την πρωτοπορία σ' αυτό το ζήτημα.

(μη με παρεξηγήσεις πάλι. Δεν σημαίνει ότι θεωρώ λανθασμένη ή αχρηστη την εργασία σου. Κάθε άλλο. Απλά, με "τρίγγαρε" η επιμονή σου για πρωτοπορία και αποκλειστικότητα)
 

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#12
Όμως το μόνο που ξέχασες, και συνεχίζεις να αποφεύγεις, να αναφέρεις είναι το δικό μου άρθρο του 2005 (βλ. https://www.academia.edu/5081341/On_Chrysanthos_Diatonic_Scale). Και το λέω, διότι γράφτηκε τότε ειδικά για σένα (και τον κ. Μιχαλάκη) και σε σένα αναφερόταν το μότο του (τα λόγια του Bekesy), το οποίο, αν θυμάσαι, το παρεξήγησες λόγω της λέξης "enemy", ενώ ήταν μια πρόσκληση φιλίας, παρά τις διαφορές απόψεων. Τέλος πάντων, ίσως να μην το θεώρησες επιστημονικό. Έχω την εντύπωση όμως ότι μάλλον προπορευόταν των δικών σου ανακαλύψεων (και στην ουσία ήταν καταγραφή συμπερασμάτων μου του 1982-83). Ωστόσο δεν με ενδιαφέρει να ζητήσω διακαώς την πρωτοπορία σ' αυτό το ζήτημα.

(μη με παρεξηγήσεις πάλι. Δεν σημαίνει ότι θεωρώ λανθασμένη ή αχρηστη την εργασία σου. Κάθε άλλο. Απλά, με "τρίγγαρε" η επιμονή σου για πρωτοπορία και αποκλειστικότητα)
κ. Αρβανίτη, χαίρετε, σας ευχαριστώ.

Θυμάμαι ότι είχατε δημοσιεύσει ένα άρθρο σας στα αγλλικά.

Ψάχνοντας τα αρχεία μου είδα αυτές τις σημειώσεις μου:

«- 30/7/2005: Με μήνυμα μου πρωτοαναφέρω το λάθος του Χρυσάνθου στα
διαστήματα

- 13/8/2005: Έχω έτοιμο το άρθρο για το λάθος του Χρυσάνθου.

- 31/8/2005: Ο Δημήτρης (Κ.) ανακοινώνει στην byzantinechant
ότι έχει ο κ. Αρβανίτης ετοιμάσει το άρθρο του (το οποίο άρθρο του δεν
έχει ούτε μία αναφορά στο άρθρο μου)»

Νομίζω δεν έδωσα πολλή σημασία τότε, καθώς το δημοσιεύσατε μετά το δικό μου, και δεν είχατε ούτε μια αναφορά στο δικό μου που το είχα δημοσιεύσει αρκετά νωρίτερα.

Θυμάμαι αυτό σας το άρθρο ήταν ως απάντηση στο άρθρο μου για την διατονική του Χρυσάνθου, και όχι ως απάντηση για το άρθρο αυτού εδώ του θέματος που είναι για τον συγκερασμό.

Ειλικρινά δεν το θυμάμαι το άρθρο ακριβώς, μετά από τόσα χρόνια. Τότε ήταν τεταμμένα τα πράγματα.

Τώρα εν ηρεμία, θα το μελετήσω τις προσεχείς ημέρες.

Όπως βλέπετε, πάντοτε σε ό,τι γράφω, αφήνω ανοιχτό το ενδεχόμενο, κάποιος άλλος να έχει γράψει το ίδιο πριν από μένα, και ειλικρινά δεν θεωρώ υποτιμητικό να το παραδεχθώ, απεναντίας το έχω κάνει αρκετές φορές, αρκεί να είναι κάτι δημοσιευμένο προ του δικού μου.

Χαίρετε!
 
Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#13
Η συνέχεια για το άρθρο του κ. Αρβανίτη και την σύγκριση με το δικό μου, στο αρμοδιώτερο θέμα εδώ.
 

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#14
Αγαπητοί φίλοι,

θα δώσω εδώ έναν ψευδοκώδικα υλοποίησης της μεθόδου για περισσότερη ευκρίνεια της μεθόδου συγκερασμού. Για τους γνωρίζοντες προγραμματισμό φυσικά αυτό είναι περιττό, καθότι από την μέθοδο όπως την δημοσίευσα το 2005 μπορούν εύκολα να γράψουν τον κώδικα υλοποίησης.

3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων.

Ἐπειδὴ δὲν ἔχουμε δεῖ στὰ θεωρητικὰ βιβλία κάποια μέθοδο συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων σὲ ἀκέραια κόμματα (ἐκτὸς ἀπὸ τὸν Ἀλυγιζάκη, σ. 152, ὁ ὁποίος σκιαγραφεῖ σὲ λίγες γραμμὲς μιὰ μέθοδο χωρὶς ὅμως λεπτομέρειες), θὰ ἀναλύσουμε σὲ αὐτὴν τὴν ἑνότητα μιὰ ἐπιστημονικὴ μέθοδο.

Ἂς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε ἕνα (ζ+1)-χορδο (τὸ ζ εἶναι ἀκέραιος), τοῦ ὁποῖου οἱ ἄκρες χορδές (π.χ. Ρ, Α), ἔχουν λόγο συχνοτήτων m>1,

Α - λ(1) - B - λ(2) - Γ - λ(3) - ..... - λ(ζ) - Ρ

καὶ τὸ ὁποῖο μᾶς δίνεται μὲ τοὺς λόγους λ(1), ..., λ(ζ), ποὺ περικλείονται στὸ παρακάτω διάνυσμα,

λ = [λ(1), λ(2), ..., λ(ζ)]'.

Αὐτὸ τὸ (ζ+1)-χορδο, θέλουμε ἐμεῖς νὰ τὸ συγκεράσουμε, δηλ. νὰ τὸ διαιρέσουμε σὲ Ν ἴσα ἀκουστικὰ τμήματα, καὶ νὰ πάρουμε τ(1), ..., τ(ζ),

τ = [τ(1), τ(2), ..., τ(ζ)]' , ἄθροισμα[τ] = N,

ἔτσι ὥστε τὸ (ζ+1)-χορδο νὰ δίνεται κατὰ προσέγγιση ὡς

Α - τ(1) - B - τ(2) - Γ - τ(3) - ..... - τ(ζ) - Ρ.

Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε.

Τὸ πρόβλημα τώρα εἶναι, πῶς θὰ προσεγγίσουμε (συγκεράσουμε) τὸ (ζ+1)-χορδο. Ἡ προσέγγιση μπορεῖ νὰ γίνει γιὰ εὐκολία, εἴτε ὡς

m.^(τ/N) -> λ (α)

εἴτε παίρνοντας τοὺς λογάριθμους, π.χ. μὲ βάση r (γιὰ κάποιο r), στὴν ἀνωτέρω σχέση ὡς

logr[m.^(τ/N)] -> logr[λ] (β).

Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data). Φυσικά, ἂν δὲν περιορίσουμε τὰ τ νὰ εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, ἀλλὰ πραγματικοί (τὸ ὁποῖο κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν ἔχει μεγάλη "πρακτικὴ" ἀξία, καθότι οἱ πραγματικοὶ ἀριθμοὶ δὲν συγκρατοῦνται εὔκολα ἀπὸ τὴν μνήμη, ὅπως οἱ ἀκέραιοι), τότε ὁ ὑπολογισμός τους βγαίνει αὐτόματα ἀπὸ τὴν παραπάνω σχέση (β), ἐξισώνοντας τὰ δύο μέρη:

logr[m.^(τ/N)] = logr[λ] <=> τ = Ν * logm[λ].



Ι. Ἐλάχιστα τετράγωνα (least-squares fit)

Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων θέλουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ, ὥστε νὰ ἐλαχιστοποιεῖται τὸ ἄθροισμα [Numerical Recipes in C, 2nd ed., σ. 657]:

Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων)

Ἐπίσης θὰ μπορούσαμε νὰ χρησιμοποιήσουμε (ἀνάμεσα σὲ ἄλλες παραλλαγές) τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζοντας τὸν λογάριθμο τῶν λόγων:

Φ = ἄθροισμα[ ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων).

Συνεπῶς ψάχνουμε γιὰ ὅλα τὰ διανύσματα τ (μὲ τὴν βοήθεια Η/Υ) ποὺ νὰ ἱκανοποιοῦν τοὺς παραπάνω περιορισμούς, καὶ ἐπιλέγουμε αὐτὸ τὸ διάνυσμα ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ παραπάνω ἄθροισμα Φ (ὡς συνάρτηση τοῦ Ν).



Παράδειγμα (προσέγγιση τῆς διατονικῆς κλίμακας)

Ἔστω ὅτι θέλουμε νὰ ὑπολογίσουμε τὰ τμήματα τῆς διατονικῆς κλίμακας (m=2):

Νη - τ(1) - Πα - τ(2) - Βου - τ(3) - Γα - τ(1) - Δι - τ(1) - Κε - τ(2) - Ζω - τ(3) - Νη'.

Γιὰ νὰ μειώσουμε τὴν πολυπλοκότητα τοῦ προβλήματος, θέτουμε ὅτι:

τ(1) >= τ(2) >= τ(3)

ἐπειδὴ ξέρουμε ὅτι τὸ ἕνα διάστημα εἶναι μεγαλύτερο τοῦ ἄλλου (τὴν ἰσότητα τὴν θέλουμε σὲ περίπτωση ποὺ τὸ Ν εἶναι μικρό). Ἀκόμη, ἐξ ὁρισμοῦ ἔχουμε (ἀπὸ τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα),

Ν = 3*τ(1) + 2*τ(2) + 2*τ(3).

Ἔστω λ = [λ(1), λ(2), λ(3)]', τὸ διάνυσμα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στοὺς κλασματικοὺς λόγους τῆς κλίμακας· π.χ. γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου (1ης στήλης τοῦ Πίνακα 1): λ(1)=9/8, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15. Τότε σύμφωνα μὲ τὴν παραπάνω μεθοδολογία, ψάχνουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ ὥστε νὰ μειώνεται τὸ παρακάτω ἄθροισμα Φ (α' ἢ β' μεθόδου):

Φ = ἄθροισμα[ a .* ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ια')

Φ = ἄθροισμα[ a .* ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ιβ').

ὅπου τὸ a χρησιμοποιεῖται, ἐπειδὴ ὁ μείζων τόνος τ(1) ἀπαντᾶται 3 φορές, ὁ ἐλάσσων τόνος τ(2) 2 φορές, καὶ τὸ μείζον ἡμιτόνιο τ(3) 2 φορές: a = [a(1), a(2), a(3)]' = [3, 2, 2]'.


ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης

Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ "Numerical Recipes"), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο.

Θα δώσω το παράδειγμα της διατονικής κλίμακας. Για άλλες κλίμακες η γενίκευση είναι απλή.

Έστω σε κλάσματα: ο μείζων τόνος l1, ο ελάσσων l2, και ο ελάχιστος l3.

π.χ. l1 = 9/8, l2 = 800/729, l3 = 27/25.

Έστω σε συγκερασμένα διαστήματα: ο μείζων τόνος d1, ο ελάσσων d2, και ο ελάχιστος d3.

Τα d1, d2, d3 ψάχνουμε να βρούμε με την μέθοδο συγκερασμού.

Σημείωση ότι στην διατονική έχουμε 3 μείζονες, 2 ελάσσονες, 2 ελάχιστους. Αυτό το γράφουμε με το διάνυσμα a = [3 2 2]'. (Η απόστροφος σημαίνει transpose στο διάνυσμα, δηλ. αντί να είναι στην γραμμή, να είναι κάθετα σαν μια κολώνα).

Μέθοδος συγκερασμού για σταθερό Ν (Ν=σύνολο μορίων της κλίμακας)

1. Βρες όλους τους συνδυασμούς d1, d2, d3, για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα:
α. d1>=d2>=d3,
β. 3*d1 + 2*d2 + 2*d3 = N ( ή ισοδύναμα a'*d=N ).

2. Για κάθε έναν από τους ευρεθέντες συνδυασμούς (d1,d2,d3) υπολόγισε το cost function, έστω για παράδειγμα το Φ (π.χ. Φ = ἄθροισμα{ a .* ( l - m.^(d/N) ).^2 } , όπου l=[l1,l2,l3]', m=2, d=[d1,d2,d3]' ).

3. Βρες ποιος συνδυασμός (d1, d2, d3) ελαχιστοποιεί το αντίστοιχό του Φ.

Το αποτέλεσμα του (3), d1-d2-d3-d1-d1-d2-d3 είναι ο καλύτερος συγκερασμός της διατονικής κλίμακας.


Αν τον υλοποιήσουμε αυτόν τον κώδικα (με τις παραπάνω τιμές των διανυσμάτων) θα δούμε ότι θα μας δώσει

d=[12,10,8] με Φ=4.61674171450643e-005 (δείτε εδώ σελ. 24, αριθμός σειράς 10)

Άρα ο προαναφερθείς ψευδοκώδικας μας δίνει για συγκεκριμένο Ν, τον καλύτερο συγκερασμό.
 

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#15
Στους πίνακές μου εδώ:

http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/002_Methodos_Sugkerasmou-Papadimitriou-062905.pdf
http://psaltiki.gr/articles/papadim...all_diatonicsigkerasmoi_upto1200_09132005.pdf
( http://psaltiki.gr/papers )

δίνω τους συγκερασμούς για Ν μέχρι Νmax=100 ή μέχρι Nmax=1200 ή οτιδήποτε Nmax.

Ο ψευδο-κώδικας για να το κάνει αυτό είναι (σε συνέχεια του παραπάνω μηνύματος-παραδείγματος):

Για κάθε Ν = 7 έως Νmax,
{

1. Βρες όλους τους συνδυασμούς d1, d2, d3, για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα:
α. d1>=d2>=d3,
β. 3*d1 + 2*d2 + 2*d3 = N ( ή ισοδύναμα a'*d=N ).

2. Για κάθε έναν από τους ευρεθέντες συνδυασμούς (d1,d2,d3) υπολόγισε το cost function, έστω για παράδειγμα το Φ (π.χ. Φ = ἄθροισμα{ a .* ( l - m.^(d/N) ).^2 } , όπου l=[l1,l2,l3]', m=2, d=[d1,d2,d3]' ).

3. Βρες ποιος συνδυασμός (d1, d2, d3) ελαχιστοποιεί το αντίστοιχό του Φ.

4. Το αποτέλεσμα του (3), d1-d2-d3-d1-d1-d2-d3 είναι ο καλύτερος συγκερασμός της διατονικής κλίμακας για το συγκεκριμένο Ν.

}

5. Ταξινόμησε τα αποτελέσματα του παραπάνω βρόγχου (loop) N, (d1, d2, d3), Φ, κατά αύξοντα Φ, ώστε πρώτο να είναι το αποτέλεσμα με το μικρότερο Φ.


Αυτή η μέθοδος δίνει όλους τους πίνακες που έχω στις εργασίες μου του 2005.
 
Top