[Ερώτηση] Συγκριτική απεικόνιση συγκερασμού και κατατομή κανόνος - Ερωτήσεις και Συμπεράσματα

[ATHANASSIOS]

Αγαπητοί αδελφοί ενόψη Χριστουγέννων, θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας ως, άνωθεν δώρο, την συνέχεια της οπτικής και ακουστικής σύγκρισης στα διαστήματα και τα γένη της Βυζαντινής Μουσικής που έχω ξεκινήσει εδώ και πολύ καιρό να κάνω.

Μια συγκριτική απεικόνιση των συστημάτων 53, 68, 72 και της κατατομής με 3 και 5 αρμονικούς θα βρείτε εδώ. Οι υπολογισμοί είναι βασισμένοι στο έξοχο θεωρητικό πόνημα του Δ. Μακράκη Αρμονικό Εγχειρίδιο.

Σας καταθέτω συνοπτικά συμπεράσματα τα οποία θέτω υπό αμφισβήτηση στην κρίση σας προς μελλοντική συζήτηση καθώς και ερωτήσεις που έχω.

Πρακτική Προσέγγιση

1) Από ακουστικής και πρακτικής πλευράς, τα πιο παραδοσιακά ακούσματα είναι αυτά που πετυχαίνουμε όταν χορδίσουμε παραδοσιακό όργανο στα 53 μόρια (κόμματα).

2) Θεωρώ ότι και τα τρία συστήματα (53,68,72) έχουν χρησιμοποιηθεί στην πράξη για να χορδίσουν όργανο και απέδωσαν εξίσου καλά το άκουσμα των διαφόρων διαστημάτων και με αμελητέες ή ασήμαντες για τον ακροατή διαφορές. Αυτό εφόσον τηρηθούν φυσικά οι αναλογίες των διαστημάτων, γενών, κλπ όπως αυτά ορίζονται θεωρητικά στην παράδοση της Βυζαντινής Μουσικής από την αρχαιότητα έως τις ημέρες μας και ανάλογα με τις δυνατότητες του εκάστοτε οργάνου και εκτελεστή.

3) Σήμερα έχουμε την δυνατότητα να χορδίσουμε και ηλεκτρονικά όργανα. Τότε καλό θα ήταν να χορδίσουμε με cents ή λόγους για την μέγιστη ακρίβεια.

Θεωρητική Προσέγγιση
​

4) Παρότι τις μικρότερες αποκλίσεις σε αυτά που συγκρίνουμε τις έχει ο συγκερασμός στα 53, από θεωρητικής άποψης μάλλον προσφέρεται καλύτερα προς διδασκαλία ο συγκερασμός στα 68 ή στα 72. Δηλαδή, μπορεί κανείς εύκολα να κάνει χωρισμό των τόνων στα 3 και στα 4 μέρη, να παράγει διαστήματα με ακέραιο αριθμό μορίων που είναι γνωστά εξ ορισμού από αρχαιότητος και να χρησιμοποιήσει αυτά στην περιγραφή των διαφόρων διαστηματικών φαινομένων στην παραγωγή των ήχων.

Ερώτηση: Γιατί η Επιτροπή συνέστησε να αφήσουμε τα ημίτονα (διαίρεση των τόνων στα 3 και 4 τμήματα) και να χρησιμοποιούμε τα σημεία αλλοιώσεως εκφρασμένα με μόρια. Επειδή αυτό είναι πιο απλό στη διδασκαλία του ; Επειδή βόλευε στην εκτέλεση του οργάνου που είχαν τότε κατασκευάσει;

5) Με βάση το (4) και επειδή η επικρατούσα θεωρία στις ημέρες μας για τα διαστήματα είναι αυτή της Πατριαρχικής επιτροπής του 1883, (κάνω λάθος
θεωρώ ότι δεν χρειάζεται να ξεφεύγουμε από τον ορισμό των διαστημάτων στα 72 μόρια. Επίσης είναι νομίζω θετικό το ότι το Δυτικό ημιτόνιο συμπίπτει με το λείμμα (6 μόρια) ώστε να μπορεί να γίνει, όπως ήδη γίνεται, σε αυτό το forum σύγκριση για να δείξουμε θεωρητικώς και ακουστικώς τις διαστηματικές διαφορές μας με τη Δυτική Μουσική. Αλλά ίσως όπως άλλοι έχουν επισημάνει σωστά σε αυτό το forum να πρέπει να ξεθάψουμε και κομμάτια της Θεωρίας του Χρύσανθου και άλλων παλαιών Θεωρητικών.

Συμπερασματικά

Διάβασα κάπου στο forum, δεν θυμάμαι που, το λέω με δικά μου λόγια, "μα καλά δεν υπάρχει μια θεωρητική βασή ένα υπόβαθρο να μπορείτε να συμφωνήσετε όπως σε άλλες επιστήμες ;" Έχω την εντύπωση, ότι όπως σε κάθε επιστήμη έτσι και εδώ υπάρχουν θεμέλια, αξιώματα, τα οποία με την πάροδο του χρόνου εσαλεύθησαν, είτε γιατί ατόνησαν, είτε γιατί υπεραπλοποιήθηκαν είτε γιατί διεφθάρησαν.

Η τεχνολογία σήμερα μας έδωσε νέα εργαλεία που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να φέρουμε πιο κοντά την θεωρία στην πράξη. Ειδικά για την αρμονία, μήπως ό κύριος στόχος είναι να περιγράψουμε με γλώσσα κατανοητή, σημερινή, με όρους αποδεκτούς, με μέτρο, τα ακουστικά φαινόμενα που παράγονται κατά την εκτέλεση της παραδοσιακής Βυζαντινής Μουσικής και να τα συνδέσουμε με ακουστικά παραδείγματα προς κατανόηση των σπουδαστών και όσων άλλων παρερμηνεύουν ή αδυνατούν να κατανοήσουν ;

​

Αμήν Γένοιτο
Κυριακή 20 Δεκεμβρίου 2009 - Κυριακή Προ της Χριστού Γεννήσεως
Καλά Χριστούγεννα

Αθανάσιος Χατζής

​

 

[nikosthe]

Αδελφέ Αθανάσιε (ορίστε κι ο ενίκος, που τον ζήτησες αλλού... απλώς δεν τον συνηθίζω αν δεν ξέρω την ηλικία του άλλου), συγχαρητήρια για την εργασία σου και τους ευσύνοπτους πίνακες που παρουσιάζεις. Εγώ δεν έχω μελετήσει μαθηματικά το θέμα -δε με διευκολύνουν ιδιαίτερα και οι θεωρητικές επιστήμες που σπούδασα- αλλά από αυτά που διαβάζω έχω καταλήξει κι εγώ στα δικά σου συμπεράσματα: ότι δηλ. ο πιο ακριβής μαθηματικά συγκερασμός πρέπει να είναι αυτός των 53 τμημάτων, όμως για τη διδασκαλία προσφέρεται καλύτερα αυτός των 72 για πολλούς και διαφόρους λόγους, πολλούς από τους οποίους ανέφερες κι εσύ. Όπως έχουμε ξαναπεί, η κλίμακα των 72 είναι καθαρά ελληνική και δη αριστοξενική. Ιδιαίτερα με βρίσκουν σύμφωνο τα εξής συμπεράσματά σου:

και τα τρία συστήματα (53,68,72) έχουν χρησιμοποιηθεί στην πράξη για να χορδίσουν όργανο και απέδωσαν εξίσου καλά το άκουσμα των διαφόρων διαστημάτων και με αμελητέες ή ασήμαντες για τον ακροατή διαφορές.

...δεν χρειάζεται να ξεφεύγουμε από τον ορισμό των διαστημάτων στα 72 μόρια. Επίσης είναι νομίζω θετικό το ότι το Δυτικό ημιτόνιο συμπίπτει με το λείμμα (6 μόρια) ώστε να μπορεί να γίνει, όπως ήδη γίνεται, σε αυτό το forum σύγκριση για να δείξουμε θεωρητικώς και ακουστικώς τις διαστηματικές διαφορές μας με τη Δυτική Μουσική

Αναφέρθηκε κάπου ότι και στη Δυτική Μουσική υπάρχουν διαφωνίες, σχετικά π.χ. με τον τρόπο εναρμόνισης ενός κομματιού. Μην ξεχνάτε όμως συνάδελφοι ότι οι Δυτικοί δεν ασχολούνται, όπως εμείς, με το αν είναι σωστά τα διαστήματα που τραγουδάνε! Ούτε έχουν διαφορετικές προσεγγίσεις, καθώς έλυσαν το θέμα μια και καλή με την υιοθέτηση τόνου και ημιτονίου και πέραν αυτού τίποτε άλλο! Μπορεί αυτό να περιορίζει πολύ τη μουσική, όμως τους επέτρεψε ν' ασχοληθούν με πιο σοβαρά ζητήματα και ν' αναπτύξουν τη μουσική τους, όπως με τη σύνθεση, τη φωνητική κ.ά. Αλλά και η δική μας μουσική αναπτύχθηκε με νέα μέλη όταν δεν υπήρχαν διαφωνίες με τα διαστήματα και τέτοια πράγματα. Όταν όμως σου βγαίνει ξαφνικά η ΕΛΒΥΧ και σου λέει το δεύτερο με σπάθη στην ουσία και με σκληρή δίεση στο ΓΑ στην άνοδο γενικώς και αδιακρίτως, είναι να μην ασχοληθείς ακόμα και με τα αυτονόητα;;

 

[Dimitri]

... ο πιο ακριβής μαθηματικά συγκερασμός πρέπει να είναι αυτός των 53 τμημάτων, όμως για τη διδασκαλία προσφέρεται καλύτερα αυτός των 72 για πολλούς και διαφόρους λόγους, πολλούς από τους οποίους ανέφερες κι εσύ.

Χωρίς να έχω προλάβει να παρακολουθήσω αναλυτικά τα μαθηματικά θέματα περί συγκερασμού, κλιμάκων κτλ. θα ήθελα να ρωτήσω εάν συμφωνούν όλοι με αυτό το συμπέρασμα. Με ενδιαφέρει εάν μετά από τόσες (ενδιαφέρουσες) συζητήσεις και αναζητήσεις υπάρχουν θεωρητικές απόψεις που υποστηρίζουν την αλλαγή της επικρατούσας διδασκαλίας του χωρισμού σε 72 μόρια στο χώρο της Ψαλτικής. Εάν έχουν αναφερθεί ήδη απλά παραπέμψτε με. Ευχαριστώ.

 

[Παναγιώτης]

Χωρίς να έχω προλάβει να παρακολουθήσω αναλυτικά τα μαθηματικά θέματα περί συγκερασμού, κλιμάκων κτλ. θα ήθελα να ρωτήσω εάν συμφωνούν όλοι με αυτό το συμπέρασμα. Με ενδιαφέρει εάν μετά από τόσες (ενδιαφέρουσες) συζητήσεις και αναζητήσεις υπάρχουν θεωρητικές απόψεις που υποστηρίζουν την αλλαγή της επικρατούσας διδασκαλίας του χωρισμού σε 72 μόρια στο χώρο της Ψαλτικής. Εάν έχουν αναφερθεί ήδη απλά παραπέμψτε με. Ευχαριστώ.

Αγαπητέ Δημήτρη,

κατ' αρχήν πρέπει να οριοθετήσουμε το πρόβλημα. Μιλάμε για τον συγκερασμό των κλιμάκων της Επιτροπής 1881 ή και για άλλες κλίμακες; Αν ναι, μιλάμε για όλες συνολικά, ή μόνο π.χ. την διατονική;

Ας πούμε ότι μιλάμε μόνο για την διατονική κλίμακα της Επιτροπής 1881.

Τότε εδώ : http://byzantine-music.gr/Klimakes/005a_catalogue_of_all_diatonicsigkerasmoi_upto1200_09132005.pdf (δίνονται και εδώ: http://psaltologion.com/showpost.php?p=77344&postcount=3)

σελίδα 24, δίνονται οι καλύτεροι συγκερασμοί (με φθίνουσα τάξη) μέχρι Ν=100 μόρια, Ν τα συνολικά μόρια της κλίμακας:

1. N = 82, t = [ 14 11 9 ], Φ = 3.0137e-006
2. N = 89, t = [ 15 12 10 ], Φ = 6.1302e-006
3. N = 53, t = [ 9 7 6 ], Φ = 9.9885e-006
4. N = 99, t = [ 17 13 11 ], Φ = 1.4723e-005
5. N = 96, t = [ 16 13 11 ], Φ = 3.5565e-005
6. N = 65, t = [ 11 9 7 ], Φ = 3.5617e-005
7. N = 75, t = [ 13 10 8 ], Φ = 4.3175e-005
8. N = 94, t = [ 16 13 10 ], Φ = 4.4926e-005
9. N = 36, t = [ 6 5 4 ], Φ = 4.6167e-005
10. N = 72, t = [ 12 10 8 ], Φ = 4.6167e-005
11. N = 46, t = [ 8 6 5 ], Φ = 5.0546e-005
12. N = 92, t = [ 16 12 10 ], Φ = 5.0546e-005
13. N = 70, t = [ 12 9 8 ], Φ = 5.1021e-005
14. N = 60, t = [ 10 8 7 ], Φ = 5.5703e-005
15. N = 77, t = [ 13 10 9 ], Φ = 6.1178e-005
16. N = 29, t = [ 5 4 3 ], Φ = 9.2627e-005
17. N = 58, t = [ 10 8 6 ], Φ = 9.2627e-005
18. N = 87, t = [ 15 12 9 ], Φ = 9.2627e-005
19. N = 79, t = [ 13 11 9 ], Φ = 9.2682e-005
20. N = 63, t = [ 11 8 7 ], Φ = 9.8060e-005
21. N = 84, t = [ 14 11 10 ], Φ = 1.0305e-004
22. N = 97, t = [ 17 13 10 ], Φ = 1.2232e-004
23. N = 85, t = [ 15 11 9 ], Φ = 1.3327e-004
24. N = 91, t = [ 15 13 10 ], Φ = 1.3822e-004
25. N = 67, t = [ 11 9 8 ], Φ = 1.3907e-004
26. N = 80, t = [ 14 10 9 ], Φ = 1.4440e-004
27. N = 68, t = [ 12 9 7 ], Φ = 1.5491e-004
28. N = 43, t = [ 7 6 5 ], Φ = 1.5792e-004
29. N = 86, t = [ 14 12 10 ], Φ = 1.5792e-004
[...]

Αυτό μας λέει ότι ο καλύτερος συγκερασμός βάσει του μαθηματικού κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων για την διατονική της Επιτροπής δίνεται από το Ν=82. Ο δεύτερος καλύτερος για Ν=89, και ο τρίτος καλύτερος για Ν=53. Ο 10ος καλύτερος δίνεται για Ν=72, κ.ο.κ.

Προ της μεθόδου συγκερασμού κλιμάκων http://psaltologion.com/showthread.php?t=11757 , δεν υπήρχε σε θεωρητικό βιβλίο τέτοια σύγκριση με βάση κάποιο μαθηματικό κριτήριο.

Οι αριθμοί μέσα στο t είναι τα μόρια του πρώτου τετραχόρδου Νη-Γα.

Στην σ. 26 του ίδιου pdf δίνονται παρόμοια οι καλύτεροι συγκερασμοί μέχρι Ν=1200 μόρια.

Τώρα αν ζητάμε τον καλύτερο συγκερασμό για όλες τις κλίμακες της Επιτροπής 1881 (διατονική, νεανές, νεχεανές, εναρμόνια), τότε πρέπει να κοιτάξουμε σε 4 πίνακες ταυτόχρονα, ο κάθε ένας πίνακας δίνεται εδώ: http://psaltologion.com/showpost.php?p=77344&postcount=3 και να δούμε ποιος Ν δίνει τον καλύτερο συγκερασμό για όλες τις κλίμακες.

Όλα αυτά για μένα πάντως είναι καθαρή μαθηματικο-φιλολογία.

Στην πράξη, ότι είπε η Επιτροπή 1881, δηλ. 72 κόμματα.

φιλικά,
Παναγιώτης

 

[Dimitri]

Ευχαριστώ Παναγιώτη, αυτό που ρωτάω είναι κάπως πιό πρακτικό, δηλαδή, από τις μελέτες περί συγγερασμών/κλιμάκων κτλ. ως τώρα, υπάρχει κανείς που να υποστηρίζει την αλλαγή της ισχύουσας διδακτικής μεθόδου (72 μόρια) σε κάτι άλλο, έστω με δεδομένες τις μαθηματικές ελλείψεις που αναφέρθηκαν. [edit: Είδα οτι εσύ απαντάς στο μήνυμά σου περί αυτού εμμένοντας στα 72 μόρια. Θα ήθελα να ακούσω και άλλες απόψεις εάν υπάρχουν.]

 

[priggos]

Ο συγκερασμός της κλίμακος σε 53 Πυθαγόρεια κόμματα, είναι καλύτερος απ' όλους τους υπολοίπους και σε θεωρία, αλλά και πράξη.

Απ' τη θεωρία ξέρουμε, ότι για Ν=53, επιτυγχάνεται, σε σχέση με κάθε άλλο Ν, ο καλύτερος συγκερασμός, στις περισσότερες κλίμακες.
Ο Πυθαγόρειος συγκερασμός, είναι εκείνος που αποδίδει καλύτερα, τα περισσότερα διαστήματα, από κάθε άλλον, αν εξαιρέσουμε βεβαίως το 12/11 του Χρυσάνθου.


Για την πράξη ξέρουμε ότι είναι το καλύτερο από κάθε άλλο, γι' αυτό και διδάσκεται σε όσους μαθαίνουν παραδοσιακά όργανα.
ΤΟ 53 είναι μικρός αριθμός, με τον μείζονα τόνο στα 9 κόμματα και το λήμμα στα 4. Αυτό γίνεται και για λόγους ακουστικούς, διότι όπως ξέρετε όλοι, δεν μπορεί να χωριστεί ο τόνος 9/8 ακριβώς στη μέση, διότι προκύπτουν άρρητοι αριθμοί, ως εκ τούτου, έχουμε διακροτήματα.
Σε ένα όργανο επίσης, είναι ευκολότερο να χωρίσεις έναν τόνο σε 9 κόμματα, παρά σε 12 ή σε περισσότερα.


Ακουστικά τέλος, το 1/53 της κλίμακος ή το 1/9 του τόνου, είναι περίπου ίσο με το Διδύμειο κόμμα, το οποίο είναι ένα διάστημα όπου, ανέκαθεν, χρησιμοποιήθηκε σαν μέτρο αυξομείωσης των διαστημάτων.
Είναι το μικρότερο διάστημα που μπορεί να αντιληφθεί κάποιος, κατά την πορεία του μέλους και όχι σαν αυθύπαρκτο διάστημα.



Υ.Γ.: Ο χωρισμός της κλίμακος σε 53 κόμματα, είναι του Πυθαγόρα, όπως προκύπτει απ' την Κατατομή Κανόνος του Ευκλείδου και δεν έχει καμία σχέση σε Δανούς και Κινέζους.

 

[nikosthe]

Όπως κατάλαβες κύριε Διαχειριστά, ο μόνος που υποστηρίζει την εισαγωγή της κλίμακας των 53 τμημάτων στη βυζαντινή μουσική και την κατάργηση της υφιστάμενης των 72, είναι ο φίλος μου και συνονόματός σου Δημήτριος Ανδριώτης! Δεν πειράζει που διαφωνούμε Δημήτριε, έχεις άποψη επί του θέματος και -κυρίως- δεν διστάζεις να παραδεχτείς τα αυτονόητα, όταν σου υποδειχθούν, πράγμα που δεν κάνει ο καθένας. Keep on good working! :wink:

 

[nikosthe]

Όπως κατάλαβες κύριε Διαχειριστά, ο μόνος που υποστηρίζει την εισαγωγή της κλίμακας των 53 τμημάτων στη βυζαντινή μουσική και την κατάργηση της υφιστάμενης των 72, είναι ο φίλος μου και συνονόματός σου Δημήτριος Ανδριώτης!

Για να μην αδικήσουμε το φίλο Δημήτρη, ως υποστηρίζοντα κάτι "τρελό", να πω ότι υποστηρικτής της άποψης αυτής είναι και ο αξιολογώτατος κ. Δημήτρης Μακράκης, συγγραφέας του Αρμονικού Εγχειριδίου (κατεβάστε το από το http://dinimak.wordpress.com/ , αφού το www.pandoura.gr δεν φαίνεται πλέον να λειτουργεί).

Δεν ξέρω αν έχει γίνει κατανοητό από τα μέλη τι ακριβώς υποστηρίζουν οι 2 Δημήτρηδες: υποστηρίζουν την εισαγωγή όχι αυτούσιας της τουρκικής θεωρίας, αλλά μόνο της κλίμακας των 53 και τη χρήση της με τέτοιο τρόπο, ώστε να εκφράζει τα διαστήματα της Επιτροπής. Σημειωτέον ότι, όπως έχω επανειλημμένως παραδεχτεί, ο μείζων και ο ελάσσων τόνος της Επιτροπής (9/8 και 800/729) εκφράζονται καλύτερα με την κλίμακα των 53, παρά με αυτή των 72, καθότι κατά το συγκερασμό των λόγων τους προκύπτει μικρότερο σφάλμα:

• 9/8 και 800/729 = 12.23/72 και 9.65/72=> σφάλμα 0.23/72 και 0.35/72 (υπολοιπόμενη απόσταση έως τα 12/72 και 10/72)
• 9/8 και 800/729 = 9.01/53 και 7.11/53=> σφάλμα 0.01/53 και 0.11/53 (υπολοιπόμενη απόσταση έως τα 9/53 και 7/53)

Η αδυναμία όμως της κλίμακας αυτής είναι ότι δεν μπορεί να εκφράσει καλά τα διαστήματα κοντά στα τέταρτα του τόνου. Έτσι τα 12/11 και 11/10, ενώ δείχνουν 9/72 και 10/72, οπότε καταλαβαίνεις τη διαφορά, δείχνουν αμφότερα 7/53. Επίσης, τα 18/17 και 17/16, ενώ δείχνουν 6/72 αμφότερα (όπως και είναι, αφού έχουν διαφορά μόλις 6 cents με πραγματικά μεγέθη 5.94/72 και 6.30/72 αντίστοιχα), στην κλίμακα των 53 πάνε στο 4/53 το πρώτο και 5/53 το δεύτερο, με τη διαφορά τους να φαίνεται ολόκληρο κόμμα. Για τους λόγους αυτούς εγώ υποστηρίζω την κλίμακα των 72, που μπορεί να έχει αρκετά μεγαλύτερο σφάλμα στους βασικούς λόγους, δεν είναι όμως και τραγικά τα πράγματα και -κυρίως- επιτυγχάνει την επιτυχή έκφραση λόγων που χρησιμοποιούνται στη μουσική μας και κατ' εμέ θα πρέπει να εκφραστούν και θεωρητικά, πράγμα που δεν το κάνει η 53άρα κλίμακα.

Μην αρχίσουμε όμως τα ίδια, καθώς σκοπός μου ήταν να δείξω ότι έχουν ένα δίκιο και ότι η άποψή τους δεν είναι εξαρχής απορριπτέα και όχι να αρχίσουμε πάλι το διάλογο για το θέμα αυτό, πράγμα που έχει ήδη γίνει.

 

[domesticus]

Για να μην αδικήσουμε το φίλο Δημήτρη, ως υποστηρίζοντα κάτι "τρελό", να πω ότι υποστηρικτής της άποψης αυτής είναι και ο αξιολογώτατος κ. Δημήτρης Μακράκης, συγγραφέας του Αρμονικού Εγχειριδίου (κατεβάστε το από το http://dinimak.wordpress.com/ , αφού το www.pandoura.gr δεν φαίνεται πλέον να λειτουργεί).

Ἔχει ἀνεβεῖ καὶ στὸ forum ἐδῶ.