Βέλτιστος συνολικός αριθμός μορίων (Ν) για τις κλίμακες της Επιτροπής 1881

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#1
Χαίρετε,

αφορμή για αυτό το μήνυμα πήρα από το μήνυμα #31 του κ. Αετόπουλου.

Είναι πολύ καλή η κάθε λεπτολόγα προσπάθεια. Με την δυνατότητα μάλιστα που δίνει η τεχνολογία σήμερα, είναι και χρήσιμο και καλό. Το ζητούμενο όμως είναι να υπάρξει μία κλίμακα που θα δίνει μία σαφή ιδέα των αναλογιών των διαστημάτων. Αυτό που θα πρέπει να αναζητηθεί είναι ποιος είναι ο καλύτερος «συγκερασμός», ώστε να έχουμε έναν μόνο αριθμό για την διαπασών σε όλα τα γένη και να δίνει καλή προσέγγιση για όλα τα διαστήματα. Αν αυτό δεν ξεφεύγει από την λογική του Χρυσάνθου και της Επιτροπής (ξέρω ΚΑΙ τα δυο μαζί δεν είναι και τόσο εύκολο) ακόμα καλύτερα.
Παρουσιάζω εδώ μια εργασία, από μαθηματική περιέργεια, για τον βέλτιστο αριθμό συνολικών μορίων για όλες τις κλίμακες της Επιτροπής.

Τοποθεσία άρθρου: http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/016h-Optimum-N-Committee1881.pdf


1. Πρόλογος

Τὸ παρὸν ἄρθρο γράφτηκε ἀπὸ καθαρὰ μαθηματικὴ περιέργεια. Τὸ ἐρώτημα εἶναι ποιὸς εἶναι ὁ βέλτιστος συνολικὸς ἀριθμὸς μορίων γιὰ ὅλες τὶς κλίμακες τῆς Ἐπιτροπῆς 1881; Ἡ ἀπάντηση ποὺ θὰ δώσουμε φυσικά, μπορεῖ νὰ χρησιμοποιηθεῖ καὶ γιὰ ἄλλες κλίμακες.


2. Ὑπολογισμὸς βέλτιστου συνολικοῦ ἀριθμοῦ μορίων

Στὰ ἄρθρα μας [1-5], δώσαμε τὴν μέθοδο συγκερασμοῦ, καὶ βάσει αὐτῆς τοὺς καλύτερους συγκερασμοὺς γιὰ τὶς κλίμακες τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 μέχρι καὶ σὲ 1200 μόρια.
Ἡ ἀπάντηση στὸ ἐρώτημα ποιὸς εἶναι ὁ βέλτιστος συνολικὸς ἀριθμὸς μορίων γιὰ ἕνα σὲτ κλιμάκων εἶναι ἡ ἐξῆς:

1. Γιὰ κάθε κλίμακα τοῦ σέτ κλιμάκων, βρὲς τοὺς καλύτερους συγκερασμοὺς μέχρι Νmax συνολικὸ ἀριθμὸ μορίων.

2. Ἀντιπαράθεσε τὰ Ν=[7,Νmax], μαζί μὲ τὴν ἀντίστοιχη ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1-Φ, ταξινόμησέ τα ἀναλόγως τοῦ Ν, καὶ ἀπεικόνισέ τα γιὰ ὅλες τὶς κλίμακες στὸ ἴδιο γράφημα.

3. Ἔλεγξε τὶς κορυφὲς τοῦ γραφήματος, ὅπου συμπίπτουν ἐπὶ τὸ πλεῖστον ὅλες οἱ κλίμακες γιὰ συγκεριμένο Ν, καὶ ἐπέλεξε τὸ βέλτιστο Ν ἀνάλογα.
(εναλλακτικά κάποιος θα μπορούσε επίσης να θέσει ένα όριο/threshold στην ακρίβεια συγκερασμού ώστε να βρει εκείνα τα Ν τα οποία υπερβαίνουν το συγκεκριμένο όριο)


3. Γράφημα γιὰ τὶς κλίμακες τῆς Ἐπιτροπῆς

Μὲ βάση τὴν παραπάνω μεθοδολογία, καὶ χρησιμοποιώντας τοὺς συγκερασμοὺς τῆς Ἐπιτροπῆς [1-5], ἔχουμε τὰ ἐξῆς γραφήματα.

(επισυναπτόμενο, και εντός της εργασίας)

Εἰκόνα 1α. Ἀπεικόνιση Ν vs. Ἀκρίβειας Συγκερασμοῦ (1-Φ) γιὰ ὅλες τὶς κλίμακες της Ἐπιτροπῆς 1881

[...] 

Μὲ διαδοχικὲς μεγεθύνσεις (κάποιος θα μπορούσε επίσης να θέσει ένα όριο/threshold στην ακρίβεια συγκερασμού ώστε να βρει εκείνα τα Ν τα οποία υπερβαίνουν το συγκεκριμένο όριο) βρήκαμε τὰ ἐξῆς νούμερα Ν, γιὰ τὰ ὁποῖα καὶ οἱ 4 κλίμακες τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 ἔχουν ἀπ’ τὶς καλύτερες ἀκρίβειες συγκερασμοῦ, τό 72 μπῆκε μόνο γιὰ σύγκριση (κάποιος φυσικὰ θὰ μποροῦσε νὰ προτείνει καὶ ἄλλα Ν, ποὺ ἔχουν παραπλήσια ἀκρίβεια).


Nbest = [53, 72, 82, 89, 118, 135, 171, 188, 217, 224, 253, 306, 388, 424, 441, 470, 477, 559, 612, 694, 730, 747, 783, 865, 918, 1000, 1036, 1089, 1171];



Ἡ σχετικὴ ἀπεικόνιση μόνο γιὰ τὰ Ν \in Nbest, ἔχει ὡς ἐξῆς:

(επισυναπτόμενο, και εντός της εργασίας)

Εἰκόνα 2α. Ἀπεικόνιση Νbest vs. Ἀκρίβειας Συγκερασμοῦ (1-Φ) γιὰ ὅλες τὶς κλίμακες της Ἐπιτροπῆς 1881

[...]

4. Ἐπίλογος

Σὲ αὐτὴν τὴν ἐργασία δείξαμε μιὰ μέθοδο προσδιορισμοῦ τοῦ βέλτιστου συνολικοῦ ἀριθμοῦ μορίων Ν, γιὰ τὶς κλίμακες τῆς Ἐπιτροπῆς 1881.
Δὲν προχωροῦμε σὲ πρόταση υἱοθέτησης ἑνὸς συγκεκριμένου Ν \in Nbest, γιατὶ ὅπως εἴπαμε ἡ ἐργασία αὐτὴ ἔγινε ἀπὸ μαθηματικὴ περιέργεια, καὶ θεωροῦμε ὅτι γιὰ τὴν διδασκαλία τῆς Βυζαντινῆς Μουσικῆς τό Ν=72 ἀρκεῖ.


Τέλος καὶ τῷ Θεῷ δόξα.



Βιβλιογραφία

[1] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων - οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους, draft v.1, 22/6/2005 and draft v.2, 29/6/2005, http://byzantine-music.gr/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html (http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/002_Methodos_Sugkerasmou-Papadimitriou-062905.pdf ).
[2] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Διατονικῶν Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 13/9/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadim...all_diatonicsigkerasmoi_upto1200_09132005.pdf .
[3] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 1/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadim...f_all_NeanesSigkerasmoi_upto1200_11012005.pdf .
[4] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεχεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 21/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadim...f_all_NexeanesSigkerasmoi_upto1200_112205.pdf .
[5] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Ἐναρμονίων Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 22/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadim...all_enarmoniosSigkerasmoi_upto1200_112205.pdf .
 

Attachments

Last edited:
Top