Παναγιώτης
σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
http://analogion.gr/forum/viewtopic.php?f=35&t=736
Αναρτώ εδώ μια πρωτότυπη δουλειά που είχα κάνει το 2005 στον ελεύθερο χρόνο μου. Χρησιμοποιούσα τότε "data fitting" (μέθοδοι μοντελοποίησης) στην δουλειά μου και με αφορμή αυτό τα εφάρμοσα και στις κλίμακες. Είχε πρωτοδημοσιευθεί στο byzantinechant@yahoogroups.com στις 22/6/2005 (β' πρόχειρη έκδοση 29/6/2005--από τότε δεν την επέκτεινα), και έκτοτε
δημοσιοποιήθηκε στην ελληνική ακαδημαϊκή και μη μουσικολογική κοινότητα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου (αναφορές δίνονται αν μου ζητηθεί), και φυσικά η μέθοδος ήταν διαθέσιμη από την ιστοσελίδα μου.
Σύμφωνα με όλες τις τότε αναφορές και απαντήσεις που είχα πάρει τότε, η μέθοδος αυτή πρωτοεφαρμόστηκε στις κλίμακες και πρωτοδημοσιεύτηκε από την ελαχιστότητά μου.
Αν γνωρίζετε ότι έχει δημοσιευθεί κάπου αυτή η μέθοδος με εφαρμογή στις κλίμακες, πριν το 22/6/2005 παρακαλώ να με ενημερώσετε, με αναφορές και με αντίγραφο της δημοσίευσης.
Παρόντες, κατά την πρώτη παρουσίαση της μεθόδου μου στο byzantinechant ήσαν πολλοί εκ των μελών του ψαλτολογίου.
Η μέθοδος με ηχητικά αρχεία βρίσκεται εδώ:
http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
Παραθέτω ολόκληρο το pdf της Μεθόδου και παρακάτω τις παραγράφους 3 και 4 του άρθρου που την εξηγούν.
------------
3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων.
Ἐπειδὴ δὲν ἔχουμε δεῖ στὰ θεωρητικὰ βιβλία κάποια μέθοδο συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων σὲ ἀκέραια κόμματα (ἐκτὸς ἀπὸ τὸν Ἀλυγιζάκη, σ. 152, ὁ ὁποίος σκιαγραφεῖ σὲ λίγες γραμμὲς μιὰ μέθοδο χωρὶς ὅμως λεπτομέρειες), θὰ ἀναλύσουμε σὲ αὐτὴν τὴν ἑνότητα μιὰ ἐπιστημονικὴ μέθοδο.
Ἂς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε ἕνα (ζ+1)-χορδο (τὸ ζ εἶναι ἀκέραιος), τοῦ ὁποῖου οἱ ἄκρες χορδές (π.χ. Ρ, Α), ἔχουν λόγο συχνοτήτων m>1,
Α - λ(1) - B - λ(2) - Γ - λ(3) - ..... - λ(ζ) - Ρ
καὶ τὸ ὁποῖο μᾶς δίνεται μὲ τοὺς λόγους λ(1), ..., λ(ζ), ποὺ περικλείονται στὸ παρακάτω διάνυσμα,
λ = [λ(1), λ(2), ..., λ(ζ)]'.
Αὐτὸ τὸ (ζ+1)-χορδο, θέλουμε ἐμεῖς νὰ τὸ συγκεράσουμε, δηλ. νὰ τὸ διαιρέσουμε σὲ Ν ἴσα ἀκουστικὰ τμήματα, καὶ νὰ πάρουμε τ(1), ..., τ(ζ),
τ = [τ(1), τ(2), ..., τ(ζ)]' , ἄθροισμα[τ] = N,
ἔτσι ὥστε τὸ (ζ+1)-χορδο νὰ δίνεται κατὰ προσέγγιση ὡς
Α - τ(1) - B - τ(2) - Γ - τ(3) - ..... - τ(ζ) - Ρ.
Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε.
Τὸ πρόβλημα τώρα εἶναι, πῶς θὰ προσεγγίσουμε (συγκεράσουμε) τὸ (ζ+1)-χορδο. Ἡ προσέγγιση μπορεῖ νὰ γίνει γιὰ εὐκολία, εἴτε ὡς
m.^(τ/N) -> λ (α)
εἴτε παίρνοντας τοὺς λογάριθμους, π.χ. μὲ βάση r (γιὰ κάποιο r), στὴν ἀνωτέρω σχέση ὡς
logr[m.^(τ/N)] -> logr[λ] (β).
Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data). Φυσικά, ἂν δὲν περιορίσουμε τὰ τ νὰ εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, ἀλλὰ πραγματικοί (τὸ ὁποῖο κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν ἔχει μεγάλη "πρακτικὴ" ἀξία, καθότι οἱ πραγματικοὶ ἀριθμοὶ δὲν συγκρατοῦνται εὔκολα ἀπὸ τὴν μνήμη, ὅπως οἱ ἀκέραιοι), τότε ὁ ὑπολογισμός τους βγαίνει αὐτόματα ἀπὸ τὴν παραπάνω σχέση (β), ἐξισώνοντας τὰ δύο μέρη:
logr[m.^(τ/N)] = logr[λ] <=> τ = Ν * logm[λ].
Ι. Ἐλάχιστα τετράγωνα (least-squares fit)
Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων θέλουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ, ὥστε νὰ ἐλαχιστοποιεῖται τὸ ἄθροισμα [Numerical Recipes in C, 2nd ed., σ. 657]:
Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων)
Ἐπίσης θὰ μπορούσαμε νὰ χρησιμοποιήσουμε (ἀνάμεσα σὲ ἄλλες παραλλαγές) τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζοντας τὸν λογάριθμο τῶν λόγων:
Φ = ἄθροισμα[ ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων).
Συνεπῶς ψάχνουμε γιὰ ὅλα τὰ διανύσματα τ (μὲ τὴν βοήθεια Η/Υ) ποὺ νὰ ἱκανοποιοῦν τοὺς παραπάνω περιορισμούς, καὶ ἐπιλέγουμε αὐτὸ τὸ διάνυσμα ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ παραπάνω ἄθροισμα Φ (ὡς συνάρτηση τοῦ Ν).
Παράδειγμα (προσέγγιση τῆς διατονικῆς κλίμακας)
Ἔστω ὅτι θέλουμε νὰ ὑπολογίσουμε τὰ τμήματα τῆς διατονικῆς κλίμακας (m=2):
Νη - τ(1) - Πα - τ(2) - Βου - τ(3) - Γα - τ(1) - Δι - τ(1) - Κε - τ(2) - Ζω - τ(3) - Νη'.
Γιὰ νὰ μειώσουμε τὴν πολυπλοκότητα τοῦ προβλήματος, θέτουμε ὅτι:
τ(1) >= τ(2) >= τ(3)
ἐπειδὴ ξέρουμε ὅτι τὸ ἕνα διάστημα εἶναι μεγαλύτερο τοῦ ἄλλου (τὴν ἰσότητα τὴν θέλουμε σὲ περίπτωση ποὺ τὸ Ν εἶναι μικρό). Ἀκόμη, ἐξ ὁρισμοῦ ἔχουμε (ἀπὸ τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα),
Ν = 3*τ(1) + 2*τ(2) + 2*τ(3).
Ἔστω λ = [λ(1), λ(2), λ(3)]', τὸ διάνυσμα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στοὺς κλασματικοὺς λόγους τῆς κλίμακας· π.χ. γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου (1ης στήλης τοῦ Πίνακα 1): λ(1)=9/8, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15. Τότε σύμφωνα μὲ τὴν παραπάνω μεθοδολογία, ψάχνουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ ὥστε νὰ μειώνεται τὸ παρακάτω ἄθροισμα Φ (α' ἢ β' μεθόδου):
Φ = ἄθροισμα[ a .* ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ια')
Φ = ἄθροισμα[ a .* ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ιβ').
ὅπου τὸ a χρησιμοποιεῖται, ἐπειδὴ ὁ μείζων τόνος τ(1) ἀπαντᾶται 3 φορές, ὁ ἐλάσσων τόνος τ(2) 2 φορές, καὶ τὸ μείζον ἡμιτόνιο τ(3) 2 φορές: a = [a(1), a(2), a(3)]' = [3, 2, 2]'.
ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης
Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ "Numerical Recipes"), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο.
------------
Τότε μου είχε ζητηθεί να γράψω και μια αγγλική μετάφραση, κάτι που το αμέλησα μέχρι σήμερα. Είχα στείλει όμως ένα email στα αγγλικά σε έναν φίλο Αυστραλό καθηγητή τότε του Πανεπιστημίου της Αδελαϊδος (και αυτός νυν μέλος του Ψαλτολογίου), το οποίο και το παραθέτω για τυχόν αγγλόγλωσσους -ως επί το πλείστον- φίλους (συγχωρήστε τα αγγλικά μου, αλλά δεν κατέχω την αγγλική μουσική ορολογία ως επί το πλείστον).
The paper deals how to divide a scale (which is given by chords' fractions, say vector l) into commas (say vector t), and moreover how to choose how many (say N) commas the octave will have for the specific scale.
I'll go through an example [page 8]:
Suppose I want to divide the diatonic scale:
Ni -l(1)- Pa -l(2)- Bou -l(3)- Ga -l(1)- Di -l(1)- Ke -l(2)- Zo' -l(3)- Ni'.
where e.g. for Didymos: l(1)=9/8, l(2)=10/9, l(3)=16/15,
to the following "sigkerasmeni" scale
Ni -t(1)- Pa -t(2)- Bou -t(3)- Ga -t(1)- Di -t(1)- Ke -t(2)- Zo' -t(3)- Ni'.
where 3t(1)+2t(2)+2t(3) = N.
Now the problem is how to approximate:
l -> 2.^(t/N)
I suggest this to be done with methods of data modelling. I take as example "least squares fitting".
So in this method, I'll do an exhaustive search for t (let's say t is a vector of integers), so that the following Phi sum is minimized:
Phi = sum( a.* ( l - 2.^(t/N) ).^2 )
where a = [3,2,2]' (because we have 3 t(1)'s, 2 t(2)'s, 2 t(2)'s in the diatonic scale.
So we search for the t's that minimize Phi for a given N, and this vector t gives the "sigkerasmeni" scale for the specific N.
If we want to find the best N, then we let N, e.g. 7<=N<=x (for some integer x), and we repeat the above process (for each N), and then sort the results accross the N's with the lower Phi.
So Table 2, page 9, gives the best "sigkerasmos" for Committee 1881 for 7<=N<=100.
Table 5, page 13, gives the best "sigkerasmos" for Didymos for 7<=N<=100.
Table 6, page 14, gives the best "sigkerasmos" for Didymos for 7<=N<=300.
Table 8, page 15, gives the best "sigkerasmos" for Chrisanthos for 7<=N<=100.
------------------
το δε ηλεκτρονικό γράμμα της παρουσίασης της μεθόδου μου, είχε ως εξής:
-----Original Message-----
From: byzantinechant@yahoogroups.com [mailto:byzantinechant@yahoogroups.com] On Behalf Of analogion.net
Sent: Wednesday, June 22, 2005 12:27 AM
To: byzantinechant@yahoogroups.com
Subject: [byzantinechant] Method "Sigkerasmou" of scales
Greetings in Christ to all.
I finished a draft version of my article on the "sigkerasmos" of scales.
http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
I would be grateful for any comments, related works, since I'm new in
this ...science.
I hope in the final version, to have an english abstract.
Thanks,
Panayiotis
----------------
απλά προς ενημέρωση.
Παναγιώτης
Αναρτώ εδώ μια πρωτότυπη δουλειά που είχα κάνει το 2005 στον ελεύθερο χρόνο μου. Χρησιμοποιούσα τότε "data fitting" (μέθοδοι μοντελοποίησης) στην δουλειά μου και με αφορμή αυτό τα εφάρμοσα και στις κλίμακες. Είχε πρωτοδημοσιευθεί στο byzantinechant@yahoogroups.com στις 22/6/2005 (β' πρόχειρη έκδοση 29/6/2005--από τότε δεν την επέκτεινα), και έκτοτε
δημοσιοποιήθηκε στην ελληνική ακαδημαϊκή και μη μουσικολογική κοινότητα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου (αναφορές δίνονται αν μου ζητηθεί), και φυσικά η μέθοδος ήταν διαθέσιμη από την ιστοσελίδα μου.
Σύμφωνα με όλες τις τότε αναφορές και απαντήσεις που είχα πάρει τότε, η μέθοδος αυτή πρωτοεφαρμόστηκε στις κλίμακες και πρωτοδημοσιεύτηκε από την ελαχιστότητά μου.
Αν γνωρίζετε ότι έχει δημοσιευθεί κάπου αυτή η μέθοδος με εφαρμογή στις κλίμακες, πριν το 22/6/2005 παρακαλώ να με ενημερώσετε, με αναφορές και με αντίγραφο της δημοσίευσης.
Παρόντες, κατά την πρώτη παρουσίαση της μεθόδου μου στο byzantinechant ήσαν πολλοί εκ των μελών του ψαλτολογίου.
Η μέθοδος με ηχητικά αρχεία βρίσκεται εδώ:
http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
Παραθέτω ολόκληρο το pdf της Μεθόδου και παρακάτω τις παραγράφους 3 και 4 του άρθρου που την εξηγούν.
------------
3. Μέθοδος συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων.
Ἐπειδὴ δὲν ἔχουμε δεῖ στὰ θεωρητικὰ βιβλία κάποια μέθοδο συγκερασμοῦ τῶν κλιμάκων σὲ ἀκέραια κόμματα (ἐκτὸς ἀπὸ τὸν Ἀλυγιζάκη, σ. 152, ὁ ὁποίος σκιαγραφεῖ σὲ λίγες γραμμὲς μιὰ μέθοδο χωρὶς ὅμως λεπτομέρειες), θὰ ἀναλύσουμε σὲ αὐτὴν τὴν ἑνότητα μιὰ ἐπιστημονικὴ μέθοδο.
Ἂς ὑποθέσουμε ὅτι ἔχουμε ἕνα (ζ+1)-χορδο (τὸ ζ εἶναι ἀκέραιος), τοῦ ὁποῖου οἱ ἄκρες χορδές (π.χ. Ρ, Α), ἔχουν λόγο συχνοτήτων m>1,
Α - λ(1) - B - λ(2) - Γ - λ(3) - ..... - λ(ζ) - Ρ
καὶ τὸ ὁποῖο μᾶς δίνεται μὲ τοὺς λόγους λ(1), ..., λ(ζ), ποὺ περικλείονται στὸ παρακάτω διάνυσμα,
λ = [λ(1), λ(2), ..., λ(ζ)]'.
Αὐτὸ τὸ (ζ+1)-χορδο, θέλουμε ἐμεῖς νὰ τὸ συγκεράσουμε, δηλ. νὰ τὸ διαιρέσουμε σὲ Ν ἴσα ἀκουστικὰ τμήματα, καὶ νὰ πάρουμε τ(1), ..., τ(ζ),
τ = [τ(1), τ(2), ..., τ(ζ)]' , ἄθροισμα[τ] = N,
ἔτσι ὥστε τὸ (ζ+1)-χορδο νὰ δίνεται κατὰ προσέγγιση ὡς
Α - τ(1) - B - τ(2) - Γ - τ(3) - ..... - τ(ζ) - Ρ.
Οἱ ἀριθμοὶ τ μπορεῖ νὰ εἶναι ἀκέραιοι, ἀλλὰ καὶ νὰ ἔχουν παραπάνω ἀκρίβεια, π.χ. 0.5, 0.25, κ.ο.κ., ἀνάλογα μὲ τὴν προσέγγιση ποὺ θέλουμε νὰ κάνουμε.
Τὸ πρόβλημα τώρα εἶναι, πῶς θὰ προσεγγίσουμε (συγκεράσουμε) τὸ (ζ+1)-χορδο. Ἡ προσέγγιση μπορεῖ νὰ γίνει γιὰ εὐκολία, εἴτε ὡς
m.^(τ/N) -> λ (α)
εἴτε παίρνοντας τοὺς λογάριθμους, π.χ. μὲ βάση r (γιὰ κάποιο r), στὴν ἀνωτέρω σχέση ὡς
logr[m.^(τ/N)] -> logr[λ] (β).
Γιὰ τὴν προσέγγιση θὰ ἀκολουθήσουμε μεθόδους μοντελοποίησης (modelling of data). Φυσικά, ἂν δὲν περιορίσουμε τὰ τ νὰ εἶναι ἀκέραιοι ἀριθμοί, ἀλλὰ πραγματικοί (τὸ ὁποῖο κατὰ τὴν γνώμη μας δὲν ἔχει μεγάλη "πρακτικὴ" ἀξία, καθότι οἱ πραγματικοὶ ἀριθμοὶ δὲν συγκρατοῦνται εὔκολα ἀπὸ τὴν μνήμη, ὅπως οἱ ἀκέραιοι), τότε ὁ ὑπολογισμός τους βγαίνει αὐτόματα ἀπὸ τὴν παραπάνω σχέση (β), ἐξισώνοντας τὰ δύο μέρη:
logr[m.^(τ/N)] = logr[λ] <=> τ = Ν * logm[λ].
Ι. Ἐλάχιστα τετράγωνα (least-squares fit)
Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων θέλουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ, ὥστε νὰ ἐλαχιστοποιεῖται τὸ ἄθροισμα [Numerical Recipes in C, 2nd ed., σ. 657]:
Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων)
Ἐπίσης θὰ μπορούσαμε νὰ χρησιμοποιήσουμε (ἀνάμεσα σὲ ἄλλες παραλλαγές) τὴν μέθοδο ἐλαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζοντας τὸν λογάριθμο τῶν λόγων:
Φ = ἄθροισμα[ ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων).
Συνεπῶς ψάχνουμε γιὰ ὅλα τὰ διανύσματα τ (μὲ τὴν βοήθεια Η/Υ) ποὺ νὰ ἱκανοποιοῦν τοὺς παραπάνω περιορισμούς, καὶ ἐπιλέγουμε αὐτὸ τὸ διάνυσμα ποὺ ἐλαχιστοποιεῖ τὸ παραπάνω ἄθροισμα Φ (ὡς συνάρτηση τοῦ Ν).
Παράδειγμα (προσέγγιση τῆς διατονικῆς κλίμακας)
Ἔστω ὅτι θέλουμε νὰ ὑπολογίσουμε τὰ τμήματα τῆς διατονικῆς κλίμακας (m=2):
Νη - τ(1) - Πα - τ(2) - Βου - τ(3) - Γα - τ(1) - Δι - τ(1) - Κε - τ(2) - Ζω - τ(3) - Νη'.
Γιὰ νὰ μειώσουμε τὴν πολυπλοκότητα τοῦ προβλήματος, θέτουμε ὅτι:
τ(1) >= τ(2) >= τ(3)
ἐπειδὴ ξέρουμε ὅτι τὸ ἕνα διάστημα εἶναι μεγαλύτερο τοῦ ἄλλου (τὴν ἰσότητα τὴν θέλουμε σὲ περίπτωση ποὺ τὸ Ν εἶναι μικρό). Ἀκόμη, ἐξ ὁρισμοῦ ἔχουμε (ἀπὸ τὴν παραπάνω διατονικὴ κλίμακα),
Ν = 3*τ(1) + 2*τ(2) + 2*τ(3).
Ἔστω λ = [λ(1), λ(2), λ(3)]', τὸ διάνυσμα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στοὺς κλασματικοὺς λόγους τῆς κλίμακας· π.χ. γιὰ τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Διδύμου (1ης στήλης τοῦ Πίνακα 1): λ(1)=9/8, λ(2)=10/9, λ(3)=16/15. Τότε σύμφωνα μὲ τὴν παραπάνω μεθοδολογία, ψάχνουμε νὰ βροῦμε τὸ διάνυσμα τ ὥστε νὰ μειώνεται τὸ παρακάτω ἄθροισμα Φ (α' ἢ β' μεθόδου):
Φ = ἄθροισμα[ a .* ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ια')
Φ = ἄθροισμα[ a .* ( logr[λ] - logr[m.^(τ/N)] ).^2 ] (β' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων - Ιβ').
ὅπου τὸ a χρησιμοποιεῖται, ἐπειδὴ ὁ μείζων τόνος τ(1) ἀπαντᾶται 3 φορές, ὁ ἐλάσσων τόνος τ(2) 2 φορές, καὶ τὸ μείζον ἡμιτόνιο τ(3) 2 φορές: a = [a(1), a(2), a(3)]' = [3, 2, 2]'.
ΙΙ. Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης
Ἄλλες μέθοδοι μοντελοποίησης μποροῦν ἐπίσης νὰ χρησιμοποιηθοῦν (Κεφ. 15ο τοῦ "Numerical Recipes"), ἀλλὰ δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε γιατὶ δὲν τὸ κρίνουμε σκόπιμο, ἀλλὰ μᾶλλον χρονοβόρο.
------------
Τότε μου είχε ζητηθεί να γράψω και μια αγγλική μετάφραση, κάτι που το αμέλησα μέχρι σήμερα. Είχα στείλει όμως ένα email στα αγγλικά σε έναν φίλο Αυστραλό καθηγητή τότε του Πανεπιστημίου της Αδελαϊδος (και αυτός νυν μέλος του Ψαλτολογίου), το οποίο και το παραθέτω για τυχόν αγγλόγλωσσους -ως επί το πλείστον- φίλους (συγχωρήστε τα αγγλικά μου, αλλά δεν κατέχω την αγγλική μουσική ορολογία ως επί το πλείστον).
The paper deals how to divide a scale (which is given by chords' fractions, say vector l) into commas (say vector t), and moreover how to choose how many (say N) commas the octave will have for the specific scale.
I'll go through an example [page 8]:
Suppose I want to divide the diatonic scale:
Ni -l(1)- Pa -l(2)- Bou -l(3)- Ga -l(1)- Di -l(1)- Ke -l(2)- Zo' -l(3)- Ni'.
where e.g. for Didymos: l(1)=9/8, l(2)=10/9, l(3)=16/15,
to the following "sigkerasmeni" scale
Ni -t(1)- Pa -t(2)- Bou -t(3)- Ga -t(1)- Di -t(1)- Ke -t(2)- Zo' -t(3)- Ni'.
where 3t(1)+2t(2)+2t(3) = N.
Now the problem is how to approximate:
l -> 2.^(t/N)
I suggest this to be done with methods of data modelling. I take as example "least squares fitting".
So in this method, I'll do an exhaustive search for t (let's say t is a vector of integers), so that the following Phi sum is minimized:
Phi = sum( a.* ( l - 2.^(t/N) ).^2 )
where a = [3,2,2]' (because we have 3 t(1)'s, 2 t(2)'s, 2 t(2)'s in the diatonic scale.
So we search for the t's that minimize Phi for a given N, and this vector t gives the "sigkerasmeni" scale for the specific N.
If we want to find the best N, then we let N, e.g. 7<=N<=x (for some integer x), and we repeat the above process (for each N), and then sort the results accross the N's with the lower Phi.
So Table 2, page 9, gives the best "sigkerasmos" for Committee 1881 for 7<=N<=100.
Table 5, page 13, gives the best "sigkerasmos" for Didymos for 7<=N<=100.
Table 6, page 14, gives the best "sigkerasmos" for Didymos for 7<=N<=300.
Table 8, page 15, gives the best "sigkerasmos" for Chrisanthos for 7<=N<=100.
------------------
το δε ηλεκτρονικό γράμμα της παρουσίασης της μεθόδου μου, είχε ως εξής:
-----Original Message-----
From: byzantinechant@yahoogroups.com [mailto:byzantinechant@yahoogroups.com] On Behalf Of analogion.net
Sent: Wednesday, June 22, 2005 12:27 AM
To: byzantinechant@yahoogroups.com
Subject: [byzantinechant] Method "Sigkerasmou" of scales
Greetings in Christ to all.
I finished a draft version of my article on the "sigkerasmos" of scales.
http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
I would be grateful for any comments, related works, since I'm new in
this ...science.
I hope in the final version, to have an english abstract.
Thanks,
Panayiotis
----------------
απλά προς ενημέρωση.
Παναγιώτης
Attachments
Last edited: