Η Εναρμόνια Κλίμακα κατά τον Χρύσανθο

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#1
Ἡ Ἐναρμόνιος Κλίμακα κατά τόν Χρύσανθο (το άρθρο μπορείτε να το δείτε επίσης επισυναπτόμενο).

Αντίθετα:
Παράθεση:
ΓΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ 68:
τετράχορδο 4/3 = 28 μόρια
επόγδοος τόνος 9/8 = 12 μόρια
λείμμα 256/243 = 5 μόρια
πλήρης μορφή τετραχόρδου: 12 -12 - 4

Οι συγκερασμοί της 9/8 - 9/8 - 256/243 δίνουν για Ν=68 τον συγκερασμό 12-12-4 [7].

Στο άρθρο μας, Πως προκύπτουν όλες οι Κλίμακες της Βυζαντινής Μουσικής από τον Μείζονα Τόνο 9/8 [5], δώσαμε πως προκύπτει η (ασυγκέραστος) εναρμόνιος κλίμακα σύμφωνα με την μέθοδο δημιουργίας κλιμάκων

δ. Ἑναρμόνιος

Σύμφωνα μὲ τὴν Μέθοδο [1], ἠ ἑναρμόνια κλίμακα (Νη-Βου’) κατὰ τριφωνίαν ὁμοία ἔχει ὡς ἐξῆς:

d2/(d1/d3)
d1
d1
d2/(d1/d3)
d1
d1
d2/(d1/d3)
d1
d1


Γιὰ τὴν Ἐπιτροπή:

d2/(d1/d3) = 256/243

Γιὰ τὸν Χρύσανθο:

d2/(d1/d3) = 256/243

Γιὰ τὸν Δίδυμο (παρατίθεται γιὰ σύγκριση):

d2/(d1/d3) = 256/243

Στὴν ἐναρμόνια κλίμακα παρατηροῦμε πλήρη συμφωνία, διότι ὁ ὅρος d2/(d1/d3) ἐξαρτᾶται μόνο ἀπὸ τὸν μείζονα τόνο (καὶ τό t=4/3):

d2/(d1/d3) = t/ d1^2
.

Οἱ συγκερασμοὶ τῆς ἐναρμόνιας κλίμακας δίνονται στό [7].
Ἐναρμόνια Κλίμακα κατὰ τὸν Χρύσανθο (ίδια με της Επιτροπής ως δείξαμε ανωτέρω), [5]:


Νη– 9/8 -Πα– 9/8 -Βου– 256/243 -Γα- 9/8 - Δι– 9/8 –Κε– 256/243 – Ζω’– 9/8 - Νη' (1)



9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 256/243 9/8

καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:

Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω' Νη'
1 8/9 64/81 3/4 2/3 16/27 9/16 1/2


Ὁ συγκερασμὸς τῆς κλίμακας αὐτῆς σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο συγκερασμοῦ [3], [7] δίνει:

1. Συγκερασμός 68 μορίων:

12 - 12 - 4 - 12 - 12 - 4 - 12 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ Φ= 4.1322e-004)


Ἡ ὁμοιότητα μὲ τὴν κλίμακα τῆς εἰκόνας 1 εἶναι προφανής. Ἡ κλίμακα αὐτὴ (12-12-4) ἀπέχει μέχρι 1 μόριο ἀνὰ ἕκαστο ἀπὸ τὰ τμήματα τοῦ Χρυσάνθου (δες επισυναπτόμενη εικόνα της κλίμακας του Χρυσάνθου σε τμήματα από το μικρό θεωρητικό του).


2. Συγκερασμός 72 μορίων (ἴδια φυσικὰ μὲ τῆς Ἐπιτροπῆς):

12 - 12 - 6 - 12 - 12 - 6 - 12 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.0337e-004)

3. Συγκερασμός 1200 μορίων:

204 - 204 - 90 - 204 - 204 - 90 - 204 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 5.4589e-008)

Καὶ χάριν πληρότητας οἱ συγκερασμοὶ γιά 66 καί 53 μόρια ἔχουν ὡς ἐξῆς:

Συγκερασμός 66 μορίων:

12 - 12 - 3 - 12 - 12 - 3 - 12 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 0.0014)

Συγκερασμός 53 μορίων:

9 - 9 - 4 - 9 - 9 - 4 - 9 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.2544e-007)

Θεωροῦμε, ὅτι ἡ ἀσυγκέραστη κλίμακα (1) καὶ ἡ συγκερασμένη κλίμακα στά 68 (12 12 4 12 12 4 12), ἀντιπροσωπεύουν κατ’ ἀκρίβεια τὴν ἐναρμόνια κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου (πρβλ. κλίμακα εἰκόνας 1).

Φυσικά, αυτό που παίζει ρόλο δεν είναι η συγκερασμένη, αλλά η ασυγκέραστη κλίμακα του Χρυσάνθου ως την δώσαμε ανωτέρω. Τον συγκερασμό στα 68 τον δίνουμε για τον Χρύσανθο για λόγους ιστορικούς

Τέλος καὶ τῷ Θεῷ δόξα.


Βιβλιογραφία

[1] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων, ἀνέκδοτη· ὑπὸ συγγραφή (2014).
[2] Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, Εἰσαγωγὴ εἰς τὸ Θεωρητικόν καί Πρακτικόν τῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς, Ἐν Παρισίοις, 1821 (ἀνατύπωσις ἐκδ. Κουλτούρα).
[3] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων - οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους, draft v.1, 22/6/2005 and draft v.2, 29/6/2005, http://byzantine-music.gr/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html .
[4] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Ἡ διατονικὴ Κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου 12-9-7, http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/004-xrusan0os-diatonikh-papadimitriou.pdf.
[5] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Πῶς προκύπτουν ὅλες οἱ κλίμακες τῆς Βυζαντινῆς Μουςικῆς ἀπὸ τὸν Μείζονα Τόνο, http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/ http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/016e-klimakes-meizwn-papadimitriou.pdf.
[6] Μουσικὴ Ἐπιτροπὴ τοῦ Οἰκ. Πατρ. (1881), Στοιχειώδης διδασκαλία τῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς - ἐκπονηθεῖσα ἐπὶ τῇ βάσει τοῦ ψαλτηρίου, Κωνσταντινούπολις 1888 (ἀνατύπ. ἐκδ. Κουλτούρα).
[7] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Ἐναρμονίων Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 22/11/2005, http://psaltiki.gr/articles/papadim...all_enarmoniosSigkerasmoi_upto1200_112205.pdf .
 

Attachments

Last edited:
#2
1. Συγκερασμός 68 μορίων:

12 - 12 - 4 - 12 - 12 - 4 - 12 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ Φ= 4.1322e-004)

2. Συγκερασμός 72 μορίων (ἴδια φυσικὰ μὲ τῆς Ἐπιτροπῆς):

12 - 12 - 6 - 12 - 12 - 6 - 12 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.0337e-004)

3. Συγκερασμός 1200 μορίων:

204 - 204 - 90 - 204 - 204 - 90 - 204 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 5.4589e-008)
Η αναγωγή σε cents έγινε με βάση την συγκερασμένη κλίμακα της Επιτροπής.
Μήπως θα μπορούσατε να υπολογίσετε και τα cents με βάση την συγκερασμένη κλίμακα του Χρυσάνθου;;

Ευχαριστώ! :)
 
#3
Ερώτηση-Πρόταση: μήπως θα ήταν πιο ακριβές αν, αντί να γράφατε "με ακρίβεια συγκερασμού", γράφατε κάτι σαν "στατιστική απομάκρυνση απ'την κλασματική κλίμακα αναφοράς" ή κάτι παρόμοιο, γιατί το Φ ουσιαστικά αυτό δηλώνει, μιας και "δημιουργείτε" συγκερασμένες κλίμακες και τις συγκρίνετε με τις κλασματικές-ασυγκέραστες;;

Επίσης, χρήσιμο θεωρώ ότι θα ήταν, αν, χάριν πληρότητας, αντικαθιστούσατε την 66αρα κλίμακα με την 64αρα κλίμακα ή αν απλώς προσθέτατε ΚΑΙ την 64αρα.

Ευχαριστώ! :)
 
Last edited:

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#4
Η αναγωγή σε cents έγινε με βάση την συγκερασμένη κλίμακα της Επιτροπής.
Όχι.

Στην αναφορά [7] στό άρθρο μου (δες παραπάνω) έχω όλους τους συγκερασμούς της εναρμόνιας (ασυγκέραστης) κλίμακας της επιτροπής μέχρι και 1200 μόρια.

Όλοι αυτοί οι συγκερασμοί δεν έχουν γίνει με αναγωγή ή αυθαίρετες στρογγυλοποιήσεις κτλ..

Όλοι οι οι συγκερασμοί που παραθέτω προέρχονται κατευθείαν από τις αντίστοιχες ασυγκέραστες κλίμακες, σύμφωνα με την μέθοδο συγκερασμού:

http://byzantine-music.gr/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/002_Methodos_Sugkerasmou-Papadimitriou-062905.pdf

Ενημερωτικά όλοι οι συγκερασμοί των γνωστώτερων κλιμάκων της Βυζαντινής Μουσικής μέχρι και σε 1200 μόρια δίνονται στα παρακάτω αρχεία από το 2005:

Συγκερασμοί Διατονικών κλιμάκων
Συγκερασμοί Νεανές κλιμάκων
Συγκερασμοί Νεχεανές κλιμάκων
Συγκερασμοί Εναρμονίων κλιμάκων

Μήπως θα μπορούσατε να υπολογίσετε και τα cents με βάση την συγκερασμένη κλίμακα του Χρυσάνθου;;

Ευχαριστώ! :)
Αυτό δεν έχει νόημα να το κάνει κανείς, ως εξήγησα με το παράδειγμα, στην απάντησή μου στο μήνυμά σας με το pdf στο θέμα της κλίμακας του β' ήχου κατά τον Χρύσανθο.

Δηλ. από συγκερασμένη κλίμακα σε Ν μόρια, δεν έχει νόημα να βγάλουμε συγκερασμένη κλίμακα για Ν2 > Ν μόρια, π.χ. με την μέθοδο των τριών, γιατί τα αποτελέσματα (ο συγκερασμός δηλαδή) κατά πάσα πιθανότητα είναι λάθος.

Για αυτό παλεύω να βγάλω τις ασυγκέραστες του Χρυσάνθου (δείτε μηνύματα/άρθρα που έχω δημοσιεύσει τις τελευταίες μέρες), γιατί μόνο από ασυγκέραστες κλίμακες πρέπει να προκύπτουν όλοι οι συγκερασμοί κατ' ακρίβειαν.

Ερώτηση-Πρόταση: μήπως θα ήταν πιο ακριβές αν, αντί να γράφατε "με ακρίβεια συγκερασμού", γράφατε κάτι σαν "στατιστική απομάκρυνση απ'την κλασματική κλίμακα αναφοράς" ή κάτι παρόμοιο, γιατί το Φ ουσιαστικά αυτό δηλώνει, μιας και "δημιουργείτε" συγκερασμένες κλίμακες και τις συγκρίνετε με τις κλασματικές-ασυγκέραστες;;
Εγώ την ονόμασα εκλαϊκευμένα εξ αρχής. Ίσως «σφάλμα συγκερασμού» να είναι καλύτερη εκλαϊκευμένη έκφραση (σας ευχαριστώ). Όπως θέλετε πείτε την.

Το πιο μαθηματικά ακριβές είναι να δούμε τον ορισμό του Φ σύμφωνα με την μέθοδο του συγκερασμού (χρησιμοποιώ στους παρόντες συγκερασμούς μου την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων):

Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων)

Άρα ο ακριβής ορισμός του Φ (στην συγκεκριμένη περίπτωση) είναι sum of squared errors (άθροισμα τετραγωνισμένων σφαλμάτων) (θα μπορούσε να'ταν και mean squared error με αλλαγή του αθροίσματος σε μέση τιμή κτλ.)

Επίσης, χρήσιμο θεωρώ ότι θα ήταν, αν, χάριν πληρότητας, αντικαθιστούσατε την 66αρα κλίμακα με την 64αρα κλίμακα ή αν απλώς προσθέτατε ΚΑΙ την 64αρα.

Ευχαριστώ! :)
Αυτή η κλίμακα δίνεται στην αναφορά [7] του άρθρου. Δείτε την γραμμή με Ν=64

65. N = 64, t = [ 10 7 ], Φ = 1.8396e-003

δηλ. η κλίμακα κατά τριφωνίαν είναι

Νη 10-10-7 10-10-7 10 Νη'

Λόγω του μεγάλου Φ, ~10^-3, o συγκερασμός σε Ν=64 δεν είναι τόσο ακριβής.

φιλικά,
Παναγιώτης
 
Last edited:
#5
Όχι.

Στην αναφορά [7] στό άρθρο μου (δες παραπάνω) έχω όλους τους συγκερασμούς της εναρμόνιας (ασυγκέραστης) κλίμακας της επιτροπής μέχρι και 1200 μόρια.

Όλοι αυτοί οι συγκερασμοί δεν έχουν γίνει με αναγωγή ή αυθαίρετες στρογγυλοποιήσεις κτλ..

Όλοι οι οι συγκερασμοί που παραθέτω προέρχονται κατευθείαν από τις αντίστοιχες ασυγκέραστες κλίμακες, σύμφωνα με την μέθοδο συγκερασμού:

http://byzantine-music.gr/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/002_Methodos_Sugkerasmou-Papadimitriou-062905.pdf

Ενημερωτικά όλοι οι συγκερασμοί των γνωστώτερων κλιμάκων της Βυζαντινής Μουσικής μέχρι και σε 1200 μόρια δίνονται στα παρακάτω αρχεία από το 2005:

Συγκερασμοί Διατονικών κλιμάκων
Συγκερασμοί Νεανές κλιμάκων
Συγκερασμοί Νεχεανές κλιμάκων
Συγκερασμοί Εναρμονίων κλιμάκων



Αυτό δεν έχει νόημα να το κάνει κανείς, ως εξήγησα με το παράδειγμα, στην απάντησή μου στο μήνυμά σας με το pdf στο θέμα της κλίμακας του β' ήχου κατά τον Χρύσανθο.

Δηλ. από συγκερασμένη κλίμακα σε Ν μόρια, δεν έχει νόημα να βγάλουμε συγκερασμένη κλίμακα για Ν2 > Ν μόρια, π.χ. με την μέθοδο των τριών, γιατί τα αποτελέσματα (ο συγκερασμός δηλαδή) κατά πάσα πιθανότητα είναι λάθος.

Για αυτό παλεύω να βγάλω τις ασυγκέραστες του Χρυσάνθου (δείτε μηνύματα/άρθρα που έχω δημοσιεύσει τις τελευταίες μέρες), γιατί μόνο από ασυγκέραστες κλίμακες πρέπει να προκύπτουν όλοι οι συγκερασμοί κατ' ακρίβειαν.



Εγώ την ονόμασα εκλαϊκευμένα εξ αρχής. Ίσως «σφάλμα συγκερασμού» να είναι καλύτερη εκλαϊκευμένη έκφραση (σας ευχαριστώ). Όπως θέλετε πείτε την.

Το πιο μαθηματικά ακριβές είναι να δούμε τον ορισμό του Φ σύμφωνα με την μέθοδο του συγκερασμού (χρησιμοποιώ στους παρόντες συγκερασμούς μου την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων):

Φ = ἄθροισμα[ ( λ - m.^(τ/N) ).^2 ] (α' μέθοδος ἐλαχίστων τετραγώνων)

Άρα ο ακριβής ορισμός του Φ (στην συγκεκριμένη περίπτωση) είναι sum of squared errors (άθροισμα τετραγωνισμένων σφαλμάτων) (θα μπορούσε να'ταν και mean squared error με αλλαγή του αθροίσματος σε μέση τιμή κτλ.)



Αυτή η κλίμακα δίνεται στην αναφορά [7] του άρθρου. Δείτε την γραμμή με Ν=64

65. N = 64, t = [ 10 7 ], Φ = 1.8396e-003

δηλ. η κλίμακα κατά τριφωνίαν είναι

Νη 10-10-7 10-10-7 10 Νη'

Λόγω του μεγάλου Φ, ~10^-3, o συγκερασμός σε Ν=64 δεν είναι τόσο ακριβής.

φιλικά,
Παναγιώτης
Ευχαριστώ! :)
 
Top