[Ερώτηση] Πως προκύπτουν τα κλάσματα της κάθε κλίμακας

Ανοίγω αυτό το καινούργιο θέμα δια τους πλέον αδαείς σχετικά με τα διαστήματα που δίδονται με κλασματικούς λόγους. Το ξέρω ότι για ορισμένους είναι αστεία αυτά.
Έχω διαβάσει αρκετά εδώ στο φόρουμ γι' αυτό το θέμα αλλά και σε άλλες σελίδες του διαδικτύου όπως αυτή του κ. Παπαδημητρίου http://music.analogion.net/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html
Κι όμως δυσκολεύομαι να καταλάβω πως και γιατί το 12 του τόνου σε κλάσμα είναι 9/8 ή γιατί ο τελευταίος φθόγγος κάθε οκτάβας είναι 1/2 (το πάνω Νη στην προκειμένη περίπτωηση). Το ίδιο ισχύει και για τα άλλα διαστήματα με δύο και τρία ψηφία σε αριθμητή ή παρανομαστή. Ενώ στους ακεραίους τα πράγματα είναι απλά αφού το 12 το χωρίζουμε σε όσα μέρη θέλουμε στα κλάσματα δείχνουν αρκετά πολύπλοκα. Πως το 9/8 θα το χωρίσω σε 12 μέρη και γιατί;
Σίγουρα το θέμα πρόκειται να ασχοληθεί περισσότερο με τα μαθηματικά παρά με οτιδήποτε άλλο. Σε αυτή τη σελίδα http://www.byzantine-musics.com/mathematics_and_music.htm κάτι αναφέρει σχετικά, αλλά ζητώ όποιο μέλος έχει διάθεση να κάνει περαιτέρω ανάλυση. Γιατί για παράδειγμα το διάστημα 10 (ΠΑ - ΒΟΥ της διατονικής )γράφεται ως 100/81; Γράφει στην ανωτέρω σελίδα πως από τη φυσική γνωρίζουμε ότι η συχνότητα ενός ήχου είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους χορδής. Αλλά πως προήλθε το 81/100;
Σκοπός μου είναι να μάθω τα διαστήματα της βυζαντινής μουσικής και πως προέκυψαν αυτά μέσα από τους κλασματικούς λόγους οι οποίοι όπως όλοι λένε είναι πιο ακριβείς σε σχέση με τους ακεραίους (12,10,8, κ.ο.κ.).

Μετατροπή από λόγους σε μόρια επί κλίμακος, όσο κι αν σου φανεί παράξενο, ούτε κι εγώ ξέρω να κάνω χειροκίνητα, παρά τα όσα έχω γράψει κατά καιρούς περί διαστημάτων. Μην λες λοιπόν ότι είναι αστεία αυτά τα πράγματα, κι εγώ την ίδια απορία με σένα είχα όταν πρωτοασχολήθηκα. Μέχρι που είδα τη σελίδα αυτή και κατάλαβα ότι η μετατροπή γίνεται με βάση έναν ορισμένο μαθηματικό τύπο. Το γιατί και πώς δεν με ενδιαφέρει, δεν είμαι μαθηματικός εξάλλου. Το θέμα στην μετατροπή είναι πως πρώτα ορίζεις τα τμήματα, στα οποία θέλεις να χωρίσεις ισομερώς την κλίμακα και μετά βρίσκεις τις αντιστοιχήσεις. Για κλίμακα λοιπόν 1200 τμημάτων, η σελίδα που σε παρέπεμψα έχει τον τύπο:
Αντίστοιχα, για κλίμακα 72 τμημάτων ο τύπος θα είναι:
Στο κάτω μέρος της σελίδας έχει μάλιστα μια εφαρμογή. Αν βάλεις κάποιο λόγο, θα σου δώσει την αντιστοίχησή του σε κλίμακα 1200 τμημάτων, δηλ. σε cents (και πάλι όχι ακριβώς, αλλά στρογγυλοποιημένα σε ακέραιο). Επομένως, αν βάλεις στο excel ή στο open office calc τον τύπο αυτό σε ένα κελί και σε άλλα δύο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος, έχεις αμέσως την αντιστοίχηση. Αν μάλιστα βάλεις σε πολλά κελιά τον τύπο, αλλάζοντας κάθε φορά τα μόρια της κλίμακας που θες, μπορείς να έχεις πολλαπλές αντιστοιχήσεις. Κι άμα ενδιαφέρεσαι για την ακρίβεια (όπως εγώ), καλό θα είναι τις αντιστοιχήσεις να τις έχεις με δύο τουλάχιστον δεκαδικά ψηφία και σε χωριστή στήλη τη στρογγυλοποίηση (ευτυχώς πάλι αυτόματα γίνεται, με τη συνάρτηση ROUND, τη βρήκα ψάχνοντας).

Κι επειδή όλ' αυτά είναι θεωρητικά και ήδη... βαρέθηκες, έκανα εγώ τη δουλειά για σένα και για όποιον ενδιαφέρεται. Βασικά την έχω κάνει από καιρό και είναι μέρος της μελέτης μου για τα διαστήματα, που την επεξεργάζομαι ακόμα και γι' αυτό δεν την έχω δημοσιεύσει, αλλά αυτό δεν επιδέχεται αλλαγή, αφού είναι στάνταρ πράγματα, οπότε το προσφέρω. Απλώς κατεβάστε το συνημμένο zip. Αποσυμπιέστε το και ανοίξτε το αρχείο xls που περιέχει. Θα δείτε τον εξής πίνακα:
Όπως θα καταλάβατε, απλώς στη στήλες Α και C βάζετε τον αριθμητή και παρονομαστή αντίστοιχα του λόγου που σας ενδιαφέρει (δηλ. στα τετραγωνάκια που έχω κοκκινίσει, στον αριθμητή πάντα το μεγαλύτερο νούμερο), πατάτε Enter και, ω του θαύματος, σας βγάζει τη διαίρεση του λόγου, τα τμήματα που αντιστοιχούν στις κλιμακες που έχω περάσει εγώ, καθώς και τη στρογγυλοποίησή τους. Κάνοντας κλικ σε κάθε τετραγωνάκι φαίνεται και ο τύπος από τον οποίο αυτά προέρχονται. Έβαλα εγώ για παράδειγμα το λόγο του μείζονος τόνου 9/8, για να πάρετε μια ιδέα. Τα DIV και οι διέσεις εμφανίζονται γιατί δεν υπάρχουν δεδομένα και γιατί έχω σύρει το ποντίκι για 30 θέσεις κάτω από κάθε στήλη, ώστε να μην απαιτείται εκ μέρους σας καμία άλλη ενέργεια εκτός από το να ορίσετε αριθμητή και παρονομαστή και να πατήσετε Enter.

Με στοιχειώδης γνώσεις excel μπορείτε να δημιουργήσετε καινούργιες στήλες για ό,τι κλίμακα θέλετε, να κάνετε copy-paste το λογαριθμικό τύπο και απλώς να αλλάξετε σ' αυτόν τα μόρια της κλίμακας.

DiamantopoylosT said:

Κι όμως δυσκολεύομαι να καταλάβω πως και γιατί το 12 του τόνου σε κλάσμα είναι 9/8 ή γιατί ο τελευταίος φθόγγος κάθε οκτάβας είναι 1/2 (το πάνω Νη στην προκειμένη περίπτωηση). Το ίδιο ισχύει και για τα άλλα διαστήματα με δύο και τρία ψηφία σε αριθμητή ή παρανομαστή. Ενώ στους ακεραίους τα πράγματα είναι απλά αφού το 12 το χωρίζουμε σε όσα μέρη θέλουμε στα κλάσματα δείχνουν αρκετά πολύπλοκα. Πως το 9/8 θα το χωρίσω σε 12 μέρη και γιατί;

Click to expand...

DiamantopoylosT said:

Γιατί για παράδειγμα το διάστημα 10 (ΠΑ - ΒΟΥ της διατονικής )γράφεται ως 100/81; Γράφει στην ανωτέρω σελίδα πως από τη φυσική γνωρίζουμε ότι η συχνότητα ενός ήχου είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους χορδής. Αλλά πως προήλθε το 81/100;

Click to expand...

Λογικές οι απορίες σου, για να τα κατανοήσεις αυτά θα πρέπει να μπεις βήμα - βήμα στο νόημα του συγκερασμού. Τις έχω καλύψει όλες στο Α' μέρος της μελέτης μου για τα διαστήματα. Αν και επιδέχεται αλλαγές, αφού όμως ρωτάς θα το δημοσιεύσω σε επόμενο μήνυμα. Για τη δεύτερη μόνο θέλω να πω ότι 100/81 είναι όχι το ΠΑ-ΒΟΥ της Επιτροπής, αλλά το ΝΗ-ΒΟΥ (διά τριών μείζων συμφωνία, δηλ. ένας μείζων τόνος + ένας ελάσσων της Επιτροπής: 9/8 x 800/729 = 7200/5832 = 100/81 -απλοποίηση διά 72-. Όταν "προσθέτουμε" λόγους κάνουμε πολλαπλασιασμό και όταν "αφαιρούμε" διαίρεση.) Αυτό γενικώς θα πρέπει να το προσέχουμε στις θεωρητικές πραγματείες: άλλοτε οι λόγοι εκφράζουν την απόσταση από τον προηγούμενο φθόγγο (όπως ο ελάσσων 800/729 που εκφράζει την απόσταση του ΒΟΥ από τον ΠΑ στο πόνημα της Επιτροπής του 1883) και άλλοτε την απόσταση από τη βάση της κλίμακας (όπως το 100/81 στο ίδιο πόνημα, που είναι η απόσταση του ΒΟΥ από το ΝΗ). Αν βάλετε ό,τι λόγο συναντάτε στο excel που σας έδωσα, θα έχετε στο τέλος έναν πολύ καλό πίνακα και κάθε φορά που βλέπετε ένα λόγο θα ανατρέχετε εκεί και θα ξέρετε αυτομάτως τι σημαίνει. Με τον καιρό, αν ασχοληθείτε, θα μάθετε την αντιστοίχηση κάποιων βασικών λόγων απ' έξω.

Υ.Γ. Το "επόμενο μήνυμα" είναι τα 4 υπό στοιχεία α-δ επόμενα, που αποτελούν το Α' μέρος της μελέτης μου για τα διαστήματα (επιδέχονται αλλαγές, όπως είπα). Διαβάστε τα όσοι ενδιαφέρεστε κι αν έχετε απορίες με ρωτάτε εδώ.

Από την αρχαιότητα ήδη, τα διαστήματα ανάμεσα στους μουσικούς φθόγγους εκφράζονταν με μαθηματικούς λόγους, δηλ. με κλάσματα. Αυτός είναι και ο πιο φυσικός τρόπος έκφρασης των διαστημάτων και έχει να κάνει με τον τρόπο που αντιλαμβάνεται τα διαστήματα ο ανθρώπινος νους: όταν λέμε ότι το τάδε μουσικό διάστημα είναι τόνος, ημιτόνιο κλπ., στην ουσία συγκρίνουμε έναν φθόγγο με κάποιον άλλον. Έχουμε επομένως κατά νου μία μεν απόσταση, αλλά δύο φθόγγους. Οι δύο φθόγγοι είναι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος, που εκφράζουν τους δύο ήχους που βγαίνουν από μια παλλόμενη χορδή, εάν την πάλουμε κατά δύο διαφορετικούς τρόπους (επομένως το κλάσμα εκφράζει δύο παλμούς) και το διάστημα είναι η μεταξύ τους απόσταση. Γι' αυτό και στη φυσική το διάστημα εκφράζεται ως ο λόγος δύο συχνοτήτων.

Ο τρόπος αυτός ανάγεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος, σύμφωνα με το Γαυδέντιο[*1], περνώντας έξω από το “χαλκείον” παρατήρησε ότι, άλλα από τα χτυπήματα που έκαναν στο σίδερο οι τεχνίτες είχαν μεταξύ τους κάποια σχέση και προξενούσαν ευχάριστο αίσθημα στην ακοή, ενώ άλλα όχι. Έτσι, βρήκε πειραματικά ότι, αν χτυπούσε με το σφυρί ένα βάρος και μετά το μισό, ο ήχος που ακουγόταν τη δεύτερη φορά ήταν η αντιφωνία της πρώτης, η οποία επομένως έχει λόγο σε ηχητικούς παλμούς 2/1 (το μισό δηλ. του πρώτου βάρους). Αν αυτό το μεταφέρουμε πρακτικά σε μια χορδή (μονόχορδο των αρχαίων), σημαίνει πως αν χτυπήσουμε αρχικά ολόκληρη τη χορδή και μετά τη χωρίσουμε στη μέση και χτυπήσουμε το ένα μέρος (δηλ. το μισό), τότε ο ήχος που θα παραχθεί θα είναι η αντιφωνία του πρώτου (π.χ. ΝΗ-ΝΗ') και θα έχει λόγο σε μήκος χορδής 1/2. Με όποια μορφή επομένως κι αν βάλουμε το κλάσμα, μουσικά αναφερόμαστε στο ίδιο μέγεθος. Απλώς η πρώτη μορφή με μεγαλύτερο τον αριθμητή (2/1) αναφέρεται σε παλμούς ή συχνότητες, ενώ η δεύτερη με μικρότερο τον αριθμητή (1/2) σε μήκος χορδής, το αποτέλεσμα της οποίας μάλιστα μπορεί να υπολογιστεί (π.χ. για το 1/2 είναι 0.5). Έτσι ο Πυθαγόρας, χτυπώντας αρχικά ολόκληρη τη χορδή και μετά το 1/2, τα 2/3 και τα 3/4 της χορδής, υπολόγισε:
-το μέγεθος της διά οκτώ συμφωνίας (διαπασών) 2/1
το οποίο περιλαμβάνει:
-το μέγεθος της διά τεσσάρων συμφωνίας (τετράχορδο ή “συλλαβή”) 4/3 και
-το μέγεθος της διά πέντε συμφωνίας (πεντάχορδο ή “διοξεία”) 3/2
η διαφορά[*2] των οποίων είναι:
-το μέγεθος της διά δύο συμφωνίας (μείζων τόνος) 9/8

Όπως παρατηρούμε, οι βασικές συμφωνίες της μουσικής διά πασών, διά πέντε και διά τεσσάρων εκφράζονται με τους αριθμούς 1, 2, 3 και 4 (σε μήκος χορδής 1:2, 2:3, 3:4) , οι οποίοι αποτελούν και την περίφημη “τετρακτύ”, που, κατά τους πυθαγόρειους, δεν είναι μόνο η βάση των μουσικών συμφωνιών, αλλά εφαρμόζεται γενικώς στη φύση. Οι λόγοι αυτοί, με διαφορά μιας μονάδας μεταξύ αριθμητή και παρονομαστή, ονομάζονται επιμόριοι (9/8=επόγδοος, 4/3=επίτριτος κλπ., όμως 3/2=ημιόλιος, δηλ. το όλο=2 συν το μισό του=2+1) ενώ οι υπόλοιποι επιμερείς (ο αριθμητής αποτελείται από τον παρονομαστή + ένα μέρος του μεγαλύτερο της μονάδας). Ευρεία χρήση των επιμορίων λόγων έκανε ο Πτολεμαίος, γι' αυτό και ονομάζονται και πτολεμαϊκοί, ενώ αυτοί είναι και οι λόγοι που, κατά την επιστήμη της φυσικής, δεν δημιουργούν διακροτήματα και αποτελούν και τα σύμφωνα διαστήματα (τετράχορδο, πεντάχορδο, διαπασών) της αρχαίας ελληνικής μουσικής (4/3, 3/2, 2/1).

Στη συνέχεια ο Πυθαγόρας βρήκε ότι η κλίμακα (η έκταση δηλ. της διαπασών συμφωνίας 2/1) αποτελείται από 5 μείζονες τόνους και δύο “λείμματα”. Η πιο παραστατική εικόνα που έχουμε γι' αυτό είναι το πιάνο: οι τόνοι είναι οι ΝΤΟ-ΡΕ, ΡΕ-ΜΙ, ΦΑ-ΣΟΛ, ΣΟΛ-ΛΑ και ΛΑ-ΣΙ και τα λείμματα ΜΙ-ΦΑ και ΣΙ-ΝΤΟ. Λέμε λείμματα και όχι ημιτόνια, γιατί αν θέσουμε ημιτόνια, με την έννοια του μισού των τμημάτων που εκλαμβάνουμε ως μείζονα τόνο, η κλίμακα επιστημονικά δεν αντιφωνεί. Άλλωστε ο τόνος 9/8 δεν διαιρείται στη μέση, γιατί δεν υπάρχει ρητός αριθμός που αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο να μας δίνει 9/8, να είναι δηλ. τετραγωνική ρίζα του. Τα δύο λοιπόν διαστήματα που υπολείπονταν για να αντιφωνήσει η κλίμακα (ΜΙ-ΦΑ και ΣΙ-ΝΤΟ) ονομάστηκαν λείμματα και έχουν λόγο 256/243. Ο δε μείζων τόνος (204 cents στη διεθνή μουσικολογική κλίμακα των 1200 τμημάτων) αποτελείται:
- όχι από 2 ημιτόνια, αφού δεν χωρίζεται στη μέση, ενώ το διάστημα κοντά στα 102 cents του ημιτονίου δεν αποτελεί διάστημα της κλίμακας, γιατί αν τεθεί σ' αυτήν, η κλίμακα θα πλεονάζει σε τμήματα[*3],
- ούτε από 2 λείμματα, αφού αυτά ισούνται με 90 cents έκαστο και είναι μικρότερα του ημιτονίου,
- αλλά από ένα λείμμα και το υπολειπόμενο διάστημα έως τον τόνο, το οποίο ονομάζεται αποτομή και προκύπτει αν αφαιρέσουμε το λείμμα από τον τόνο, δηλ. αν διαιρέσουμε τους αντίστοιχους λόγους.

Επομένως η αποτομή έχει λόγο 9/8 : 256/243 = 2187/2048 (ή 204 – 90 = 114 cents), ενώ η διαφορά λείμματος – αποτομής 256/243 : 2187/2048 μας δίνει το πυθαγόρειο κόμμα, που ισούται με 23 cents ή με 1.4 τμήματα της κλίμακας των 72 τμήματων, που χρησιμοποιούμε σήμερα.

[*1]Γαυδεντίου. Αρμονική Εισαγωγή, 11 στο Musici Scriptores Graeci (Λειψία 1895)
[*2]Όταν κάνουμε λόγο για “διαφορά” διαστημάτων εννοούμε διαίρεση λόγων και όταν κάνουμε λόγο για “πρόσθεση” διαστημάτων εννοούμε πολλαπλασιασμό λόγων. Επομένως 3/2 : 4/3 = 9/8.
[*3]5 τόνοι + 2 λείμματα = 1200 cents, εάν όμως εκλάβουμε το λείμμα ως ημιτόνιο των 102 cents, (5 x 204) + (2 x 102) = 1224 cents, ενώ η κλίμακα περιέχει 1200 cents. Το ημιτόνιο μπορεί να εκληφθεί στη μέση όχι του πυθαγόρειου τόνου (που είναι και ο σωστός τονικά στα 204 cents) αλλά του δυτικού συγκερασμένου τόνου των 200 cents, οπότε (5 x 200) + (2 x 100) = 1200 cents. Με τη σύμβαση αυτή (να πάρουμε δηλ. ως τόνο όχι τον πρωτότυπο αλλά τον συγκερασμένο) καθίσταται δυνατή η εναρμόνιση της μουσικής κατά το δυτικό σύστημα, κάτι τέτοιο όμως είναι αδόκιμο για φωνητική μουσική, όπως η βυζαντινή, που εκφράζεται με τα διαστήματα από νόμους της φυσικής, έτσι όπως τους ανακάλυψε αρχικά ο Πυθαγόρας. Χρησιμοποιείται όμως η σύμβαση αυτή στην έκφραση των φυσικών διαστημάτων με μόρια επί κλίμακος, καθώς οι διαφορές από την ασυγκέραστη κλίμακα είναι επουσιώδεις, όπως παρατήρησε και η Πατριαρχική Επιτροπή του 1883 (βλ. και παρακάτω).

Όπως είπαμε, τα μουσικά διαστήματα είναι στην ουσία η σύγκριση ενός φθόγγου με κάποιον άλλο, ο λόγος δηλ. του ενός προς τον άλλο. Το ανθρώπινο αυτί μπορεί μεν ν' ακούει με μαθηματικούς λόγους, αντιλαμβάνεται όμως την απόσταση μεταξύ των φθόγγων με γεωμετρικά μεγέθη. Αν πούμε π.χ. σε κάποιον ότι ο μείζων τόνος είναι 9/8, δεν θα καταλάβει και πολλά πράγματα. Αν όμως πούμε ότι είναι 12 μόρια από τα 72 της κλίμακας, αμέσως θα αντιληφθεί περί τίνος πρόκειται. Έτσι, από ένα σημείο και έπειτα κρίθηκε σκόπιμο να μην εκφράζονται τα μουσικά διαστήματα μόνο με λόγους, αλλά και με τμήματα (μόρια) μιας ορισμένης κλίμακας. Η ακρίβεια όμως της αντιστοίχησης λόγου/μορίων εξαρτάται από τα τμήματα που θα ορίσουμε για την κλίμακά μας. Παλαιότερα δοκιμάζονταν διάφορες μέθοδοι για την αντιστοίχηση, με τις οποίες αρχικώς δεν θ' ασχοληθούμε. Κι αυτό γιατί σήμερα, μετά την εισαγωγή των λογαρίθμων στα μαθηματικά, υπάρχει συγκεκριμένος μαθηματικός τύπος γι' αυτό, ο οποίος εφαρμόζει το συγκερασμό με ακρίβεια στα τμήματα της κλίμακας που θα ορίσουμε. Έτσι, αν απλώς περάσουμε τον τύπο αυτό ως συνάρτηση σε ένα λογιστικό φύλλο εργασίας στον υπολογιστή (excel, open office calc, gnumeric κ.ά.), ορίζοντας και τα τμήματα της κλίμακας που επιθυμούμε, και τον εφαρμόσουμε σε κάποιο λόγο (κλάσμα), το πρόγραμμα θα μας μετατρέψει αυτομάτως το λόγο σε μόρια επί κλίμακος. Ο τύπος αυτός είναι:

(μόρια κλίμακας) x LOG(λόγος) με βάση το 2​

Ο λόγος του μείζονος τόνου 9/8 λ.χ., εάν τον εφαρμόσουμε σε κλίμακες με 72, 68, 53 και 1200 τμήματα, μας δίνει αντιστοίχως:
Έτσι λέμε ότι ο λόγος 9/8 ισούται περίπου με:

Βλέπουμε λοιπόν ότι τα τμήματα αυτά (π.χ. 12 μόρια για τον τόνο που γνωρίζουμε σήμερα) δεν ισούνται ακριβώς με το λόγο από τον οποίο προήλθαν, αλλά περίπου. Αυτό σημαίνει ότι:
- η απολύτως ακριβής θεωρητική αποτύπωση των διαστημάτων απαιτεί την έκφρασή τους μόνο με κλασματικούς ΛΟΓΟΥΣ (διαστήματα ασυγκέραστα). Όμως
- προκειμένου τα διαστήματα να γίνουν καλύτερα αντιληπτά από τους μουσικούς έχει προκριθεί η κατά προσέγγιση θεωρητική αποτύπωση, που γίνεται σε ΜΟΡΙΑ επί κλίμακος (διαστήματα συγκερασμένα). Ωστόσο μπορεί κανείς να συνδυάσει τις δύο αυτές μεθόδους και έτσι
- η σχετικά ακριβής θεωρητική αποτύπωση των διαστημάτων γίνεται με ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ αριθμούς μορίων επί κλίμακος, όπου αυτό απαιτείται. Οι δεκαδικοί αριθμοί μπορεί να δίνονται είτε στην κανονική τους μορφή (οπότε όσο περισσότερα τα δεδαδικά ψηφία τόσο περισσότερη και η ακρίβεια) είτε -θυσιάζοντας λίγο την ακρίβεια, κερδίζοντας όμως σε χρηστικότητα- με υποδιαίρεση του ακεραίου στο μισό του μορίου (.50) ή, το πολύ, σε τέταρτα (.25 ή .75), επομένως με χρήση μέχρι δύο δεκαδικών ψηφίων.

Η τρίτη αυτή μέθοδος αποτύπωσης είναι ευνόητο ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιείται συστηματικά, αλλά σε περιορισμένες περιπτώσεις:
α) είτε ως βοηθητικό μέγεθος αποτύπωσης, παράλληλα με την πρωτεύουσα κατά προσέγγιση αποτύπωση σε ακεραίους αριθμούς, για να διευκρινήσει καλύτερα, όπου αυτό απαιτείται, τα ούτως ή άλλως λανθάνοντα συγκερασμένα διαστήματα. Για παράδειγμα, μπορούμε να πούμε, για λόγους σχετικής ακρίβειας, ότι ο μείζων τόνος λ.χ. δεν είναι 12/72 αλλά περίπου 12.25/72 ή ότι το λείμμα είναι 5.5/72, πέφτοντας έξω ελάχιστα από τα πραγματικά μεγέθη 12.23/72 και 5.4/72 αντίστοιχα
β) είτε ως βασικό μέγεθος αποτύπωσης σε εξαιρετικές περιπτώσεις, όπου τουλάχιστον δύο διαστήματα του τετραχόρδου βρίσκονται κοντά στο μισό του ακεραίου, με αποτέλεσμα να υπάρχουν πολλαπλές και συγκρουόμενες επιλογές στην έκφραση με ακέραιους αριθμούς, που απαγορεύουν τη χρήση τους. Για παράδειγμα, ορίζοντας ο Αριστόξενος τα μικρά διαστήματα του λεγόμενου ημιόλιου χρωματικού γένους στα 3/8 του τόνου, είμαστε υποχρεωμένοι να τα συμβολίσουμε με τον αριθμό 4.5 (με τόνο στα 12 μόρια, αφού 12 : 8 = 1.5 και 1.5 x 3 = 4.5) και όχι στα 4 ούτε στα 5, γιατί αν, από τη μια, τα συγκεράσουμε στον αριθμό 4 πέφτουμε στην περίπτωση του μαλακού χρωματικού γένους, που έχει διαστήματα στο 1/3 του τόνου ακριβώς (δηλ. 4), ενώ αν τα συγκεράσουμε στα 5, το τετράχορδο θα πλεονάζει (βλ. και παρακάτω, στα διαστήματα του Αριστόξενου).

Επομένως, όταν μιλάμε για κατά προσέγγιση αποτύπωση των λόγων σε τμήματα επί κλίμακος, κάνουμε λόγο για ακέραιους αριθμούς και όχι δεκαδικούς. Για το λόγο αυτό συμβολίζουμε τον τόνο με 12 μόρια και όχι με το ακριβέστερο 12.23. Οι δεκαδικοί αριθμοί δεν εξυπηρετούν το σκοπό του συγκερασμού, δηλ. την καλύτερη αντίληψη των διαστημάτων από τους μουσικούς: ο μουσικός έχει κατά νου αρχικά τα τμήματα της κλίμακας στην οποία δουλεύει (53, 68, 72 κλπ.) και πάνω σ' αυτά αντιλαμβάνεται τα μεγέθη των διαστημάτων με ακέραιους πάντα αριθμούς (λέει π.χ. ότι ο μείζων τόνος είναι 12/72 ή 12/68 ή 9/53, ότι ο ελάσσων τόνος είναι 10/72 ή 9/68 ή 7/53 ή ότι ο ελάχιστος τόνος είναι 8/72 ή 7/68 ή 6/53). Η έκφραση συγκερασμού με δεκαδικούς αριθμούς, και μάλιστα σε συνδυασμό με κοντινούς ακεραίους (π.χ. 6/72 και 6.5/72, 7.5/72 και 8/72 κλπ.) απαιτεί από το μουσικό μια επιπλέον κλασματική υποδιαίρεση των τμημάτων της κλίμακας, εκτός από την ακέραια, η οποία όμως δεν είναι δυνατή στην πράξη, αφού και το πλέον εξασκημένο αυτί δεν αντιλαμβάνεται κατά την εκτέλεση του μέλους τη διαφορά των δεκαδικών μεγεθών με τα κοντινότερα ακέραια, που του είναι οικεία, ενώ έτσι δεν εξυπηρετείται και ο σκοπός του συγκερασμού, που είναι η κατά προσέγγιση αποτύπωση των διαστημάτων προκειμένου αυτά να γίνουν καλύτερα αντιληπτά από τους μουσικούς. Αν φύγουμε από το σκοπό αυτό, θα πάμε στην ακριβή αποτύπωση, η οποία όμως είναι δυνατή μόνο με λόγους, όπως είπαμε και η οποία δεν έχει το πλεονέκτημα της εύκολης αντίληψης των διαστημάτων από τους μουσικούς εκτελεστές.

Η δεκαδική αποτύπωση μορίων ωστόσο εξυπηρετεί, όπως είδαμε, την ανάγκη ακριβέστερου προσδιορισμού με τμήματα επί κλίμακος των λόγων ενός διαστήματος και αυτό δεν αποκλείεται να γίνει σε κάποιες περιπτώσεις, συνήθως παράλληλα με την πρωτεύουσα κατά προσέγγιση ακέραια αποτύπωση, για λόγους έρευνας ή διευκρίνησης διαστημάτων, όπου κάτι τέτοιο επιβάλλεται και μάλιστα με χρήση τουλάχιστον δύο δεκαδικών ψηφίων, για μεγαλύτερη ακρίβεια (έγινε και στην παρούσα μελέτη). Η συστηματική όμως χρήση δεκαδικών αριθμών ως βασικών (και όχι κατ' εξαίρεση ή διευκρινιστικών) διαστημάτων στη μουσική πράξη, απλώς ομολογεί το ανεπαρκές των μορίων της κλίμακας, προκειμένου να εκφράσει κάποιο διαστηματικό μέγεθος με ακέραιο αριθμό, αντιληπτό από όλους. Αν όμως η κλίμακα είναι ανεπαρκής, απλώς επιλέγουμε κάποια άλλη, που το εκφράζει καλύτερα. Προκύπτει λοιπόν αναγκαίως το θέμα της σύγκρισης των συγκερασμένων κλιμάκων:

Από την εφαρμογή του λογαριθμικού τύπου μπορούν να εξαχθούν πολύτιμα συμπεράσματα, τόσο για το κατά πόσο ήταν σωστός ο συγκερασμός των λόγων που έκαναν οι θεωρητικοί προηγουμένων αιώνων, χωρίς τη χρήση λογαρίθμων, όσο και για το βαθμό επιτυχίας που έχει η χρήση μιας συγκεκριμένης κλίμακα στο συγκερασμό. Μιλώντας δηλ. για 12 τμήματα επί κλίμακος 72, πέφτουμε έξω κατά 0.23, όπως φαίνεται πιο πάνω (αφού η εφαρμογή του λογαριθμικού τύπου στο λόγο 9/8, για την κλίμακα των 72 τμημάτων, μάς δίνει μείζονα τόνο 12.23, ο οποίος στρογγυλοποιείται στο 12 με σφάλμα 0.23). Αντίστοιχα τα ποσοστά σφάλματος είναι 0.55 για την κλίμακα των 68 τμημάτων, 0.01 για την κλίμακα των 53 και 0.91 για την κλίμακα των 1200 Προσοχή: τα ποσοστά σφάλματος είναι επί των μορίων της κλίμακος που χρησιμοποιείται. Και επειδή, αν τα ποσοστά τα ανάγουμε σε απόλυτους αριθμούς, προκύπτουν τα εξής:
εύκολα συνάγεται το συμπέρασμα ότι ο καλύτερος συγκερασμός του μείζονος τόνος πετυχαίνεται με χρήση κλίμακας 53 τμημάτων, που πέφτει έξω στη διατύπωση του επογδόου τόνου 9/8 μόλις κατά 0.0002. Είναι γεγονός ότι η κλίμακα αυτή είναι ιδιαίτερα επιτυχής, καθώς καταφέρνει και να περιέχει λίγα τμήματα, οπότε να γίνεται εύκολα αντιληπτή από τους μουσικούς, αλλά και να έχει τα μικρότερα ποσοστά σφάλματος από τις υπόλοιπες μικρές κλίμακες που καταγράψαμε (66, 68 και 72 τμημάτων), επιτυγχάνοντας μάλιστα μέχρι και 100% ακρίβεια σε ορισμένα διαστήματα (χωρίς δηλ. καθόλου σφάλμα), ενώ εκφράζει και το ανέφικτο της διαίρεσης του τόνου 9/8 σε δύο ίσα μέρη, μια και εκφράζει το μείζονα τόνο σε 9 τμήματα με 4 το λείμμα και 5 την αποτομή. Όμως έχει επικρατήσει παγκοσμίως η χρήση της κλίμακας των 1200 τμημάτων (cents) για την περιγραφή των διαστημάτων της μουσικής κάθε λαού, η οποία μπορεί μεν να μην προσφέρεται για εφαρμογή πάνω σε έγχορδο όργανο, μια και είναι πρακτικώς αδύνατο να χωρίσουμε σε 1200 τμήματα ένα μπράτσο οργάνου, όμως, λόγω των υπερβολικά πολλών τμημάτων, λογικά έχει το μικρότερο μέγεθος σφάλματος στη στρογγυλοποίηση ενός τμήματος κι έτσι η περιγραφή των διαστημάτων γίνεται με μεγάλη ακρίβεια, αφού:
Έτσι, αν π.χ. πούμε 203 αντί 204 cents, η διαφορά είναι απειροελάχιστη. Όμως αν πούμε 11 αντί 12 μόρια στην κλίμακα των 68 ή των 72, ή 8 αντί 9 μόρια στην κλίμακα των 53, η διαφορά είναι πολύ μεγαλύτερη. Ενώ λοιπόν δεν μας ενδιαφέρει και πολύ αν πέσουμε 1 cent έξω, μας ενδιαφέρει όμως αν πέσουμε 1 μόριο, το οποίο στην κλίμακα των 72 ισούται με 17 cents.

Με τη χρήση επίσης της κλίμακας των cents γίνεται καλύτερα αντιληπτή και η έννοια του λείμματος: αφού ο τόνος 9/8 είναι 204 cents, τότε 5 τόνοι = 1020 cents και, προκειμένου να αντιφωνήσει η κλίμακα στα 1200 απομένουν 1200 – 1020 = 180 cents, που χωρίζονται σε δύο λείμματα των 90 και όχι σε ημιτόνια (δηλ. 204:2 = 102, κι αυτό στο περίπου, γιατί, όπως είπαμε, ο λόγος 9/8 είναι ΠΕΡΙΠΟΥ 204 cents και το κλάσμα αυτό δεν διαιρείται ακριβώς στα δύο). Κι αυτό γιατί με τη χρήση ημιτονίων των 102 περίπου cents θα υπάρχει πλεονασμός, δηλ. πρακτικά η κλίμακα θα είναι φάλτσα, αφού θα βγαίνει πάνω από 1200 cents. Στο πιάνο, για λόγους πρακτικούς, ο τόνος έχει στρογγυλοποιηθεί στα 200 cents και το λείμμα έχει γίνει πλέον ακριβώς ημιτόνιο στα 100 cents. Αυτή η σύμβαση όμως δεν οδηγεί σε μαθηματικώς σωστά διαστήματα, αφού ο τόνος δεν είναι ο φυσικός 9/8, ομοίως ούτε το δίτονο (81/64, δηλ. 9/8 x 2), ενώ οι θεμελιώδεις συμφωνίες διά τεσσάρων και διά πέντε (ΝΗ-ΓΑ/ΠΑ-ΔΙ, ΝΗ-ΔΙ/ΠΑ-ΚΕ κλπ.) ούτε κι αυτές είναι στη φυσική τους θέση, με αποτέλεσμα η κλίμακα να είναι επιστημονικώς “φάλτσα”, αφού κατά την εφαρμογή των συμφωνιών παράγονται διακροτήματα, σύμφωνα με τη φυσική επιστήμη. Όμως τελικά οι διαφορές από τη σωστή φυσική κλίμακα είναι ακουστικώς αμελητέες για τη δυτική μουσική, που δεν έχει διαστήματα μικρότερα του ημιτονίου ούτε διαστήματα μεταξύ τόνου και ημιτονίου, ενώ, παράλληλα, με τη σύμβαση αυτή είναι εύκολο να παιχθεί οποιαδήποτε μελωδία από οποιαδήποτε βάση. Στη φωνή όμως (άρα και στη βυζαντινή μουσική, που είναι καθαρώς φωνητική), καθώς και στα άταστα έγχορδα όργανα, δεν υπάρχει λόγος να γίνει τέτοια σύμβαση και ως φυσικός τόνος νοείται πάντα ο επόγδοος πυθαγόρειος τόνος (9/8).

Από τα παραπάνω καθίσταται προφανές ότι:

α) Τα μόρια που χρησιμοποιούμε σήμερα για την περιγραφή των διαστημάτων είναι στρογγυλοποίηση των λόγων σε ακέραιους αριθμούς (συγκερασμός), που εκφράζουν τμήματα επί κλίμακος. Επομένως τα συγκερασμένα τμήματα που γνωρίζουμε σήμερα μπορεί να αποτελούν στρογγυλοποίηση περισσοτέρων του ενός λόγων: λ.χ. ο γνωστός μας ελάσσων τόνος 10/72 μπορεί να είναι συγκερασμός/στρογγυλοποίηση των λόγων 800/729 (9.65), 11/10 (9.90), 208/189 (9.95), 54/49 (10.09), 21/19 (10.40) αλλά και άλλων. Αν λοιπόν ενδιαφερόμαστε για ακριβέστερη έκφραση των λόγων, αυτή θα πρέπει να γίνει σε ασυγκέραστα μεγέθη, δηλ. με αριθμούς τουλάχιστον δύο δεκαδικών ψηφίων.

β) Ο συγκερασμός άλλοτε είναι επιτυχής και άλλοτε όχι. Αυτό εξαρτάται από το ποσοστό σφάλματος του συγκερασμού, το οποίο με τη σειρά του έχει να κάνει με την κλίμακα που θα επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε για το συγκερασμό:
- όσο περισσότερο ο λόγος του διαστήματος στρογγυλοποιείται κοντά σε ακέραιο αριθμό (π.χ. 9.01/53), τόσο επιτυχέστερος είναι ο συγκερασμός, αφού τα τμήματα επί κλίμακος εκφράζονται πάντα με καθαρό ακέραιο, προκειμένου να γίνουν κατανοητά και η επιλογή του ακεραίου (π.χ. 9/53) σημαίνει μικρό σφάλμα.
- όσο περισσότερο ο λόγος του διαστήματος απέχει από τον κοντινότερο ακέραιο, όσο δηλ. πιο κοντά είναι στο + 0.5 του αριθμού (π.χ. 11.55/68), τόσο πιο προβληματικός είναι ο συγκερασμός, αφού η επιλογή του ακεραίου (π.χ. 12/68) σημαίνει μεγαλύτερο σφάλμα.
Άρα όσο περισσότερα ασυγκέραστα μεγέθη βλέπουμε κοντά στο μισό του ακεραίου, τόσο πιο ακατάλληλη είναι η κλίμακα. Και αντίστροφα: όσο περισσότερα ασυγκέραστα μεγέθη βλέπουμε κοντά σε ακέραιο, τόσο καταλληλότερη είναι η κλίμακα, καθώς εκφράζει τους λόγους με μεγαλύτερη ακρίβεια.

γ) Κλίμακα με περισσότερα τμήματα δεν σημαίνει αναγκαστικά και καλύτερος συγκερασμός, αφού η επιλογή των ακεραίων αριθμών, προκειμένου να εκφραστούν οι αντίστοιχοι λόγοι, μπορεί να έχει μεγαλύτερο ποσοστό σφάλματος απ' ότι στην κλίμακα με λιγότερα τμήματα (όπως λ.χ. ο τόνος 12/72, που έχει μεγαλύτερο σφάλμα από τον τόνο 9/53).

δ) Κλίμακα με υπερβολικά πολλά τμήματα (όπως αυτή των 1200 cents) έχει το πλεονέκτημα ότι δεν μας ενδιαφέρει το προβληματικό του συγκερασμού στον πλησιέστερο ακέραιο, λόγω της απειροελάχιστης διαφοράς των δύο γειτονικών ακεραίων (π.χ. 203 ή 204 cents είναι μηδαμινή διαφορά, ενώ 11 ή 12 μόρια επί κλίμακος 68 ή 72 είναι αρκετά μεγάλη διαφορά).

Τώρα τι να πω;

Τέλος πάντων, ευχαριστούμε....

Νικόλα επισυνάπτω το αρχείο χωρίς τα ενοχλητικά DIV και τις διέσεις.
Σε ευχαριστούμε πολύ για την εμπεριστατωμένοι παράθεση μέρους της μελέτης σου για τα διαστήματα. Αυτά που λέγαμε όρθιοι τα μελετάω και καθήμενος. Δεν έχω συναντήσει και εγώ σε κάποιο θεωρητικό της μουσικής μας ανάλυση για το πως παράγονται τα μόρια στις κλίμακες.

Σε υπέρ ευχαριστώ που κάθισες και έγραψες όλα αυτά. Δεν έχω καθίσει να τα διαβάσω ακόμα γιατί δεν είχα χρόνο. Το κάνω τώρα. Σε ευχαριστώ

DiamantopoylosT said:

Σε υπέρ ευχαριστώ που κάθισες και έγραψες όλα αυτά. Δεν έχω καθίσει να τα διαβάσω ακόμα γιατί δεν είχα χρόνο. Το κάνω τώρα. Σε ευχαριστώ

Click to expand...

Να 'σαι καλά φίλε μου, τα είχα γράψει από καιρό όμως, απλό copy-paste έκανα. Αν θες να μπεις στο νόημα θα πρέπει να τα διαβάσεις όλα (α-δ) προσεχτικά. Αν παραλείψεις κάτι, θα σου δημιουργηθεί απορία στη συνέχεια και δεν θα είναι καλό. Σιγά-σιγά λοιπόν, δε βιαζόμαστε! Τα έχω γράψει όσο πιο απλά γίνεται (και ίσως τα κάνω ακόμα απλούστερα στο μέλλον, έχω κάποιες ιδέες). Στόχος μου είναι να τα αναρτήσω στο μέλλον σε μια σελίδα στο διαδίκτυο, ώστε ο καθένας να κάνει τις παρεμβάσεις του ("συμμετοχική δημοκρατία" που λέμε! Ή, ακόμα καλύτερα, open source...) και να βελτιώνονται. Όπως, καληώρα, ο φίλος και καλλίφωνος ψάλτης Νίκος Δεσπότης, που έφτιαξε το excel χωρίς τα DIV (αν και δεν κατάλαβα πώς το έκανε, αλλά δεν έχει σημασία...)

Εντάξει τα διάβασα όλα και κατάλαβα κάποια πράγματα.

Όμως συγνώμη Νίκο μα ακόμα έχω απορίες σχετικα με το πως προέκυψε ο ελλάσων ο ελάχιστος και τέλος πάντων τα υπόλοιπα διαστήματα εκτός του τόνου και του ημιτονίου. Έχουν και αυτά μια μαθηματική ανάλογη εξήγηση φαντάζομαι έτσι δεν είναι; Μήπως μπορείς εσύ ή κάποιος άλλος να βοηθήσει ακόμα λίγο; Για πιο λόγο χωρίσανε τον τόνο 9/8; Ποιοι το έκαναν και πως τους προέκυψαν τα κλάσματα με τον ελάσσων τον ελάχιστο αλλά και τα υπόλοιπα;

Πάντως τα δύο δηλαδή το 9/8 και το 256/243 τα έμαθα απ' έξω πιστεύω.
Εδώ γράφω αυτά που κατάλαβα με δικά μου λόγια:

-----------------

Λοιπόν μια φορά ήταν ένας άνθρωπος ονομαζόμενος Πυθαγόρας. Μια μέρα λοιπόν ο Πυθαγόρας καθώς περπατούσε αμέριμνος απ' έξω από ένα σιδηρουργείο άκουσε τους ήχους που έκαναν τα σφυριά που χτυπούσαν οι εργάτες φτιάχνοντας τα σίδερα. Πρόσεξε τότε πως κάποιοι ήχοι είχαν άκουσμα που ευφραίνει τον άνθρωπο και άλλοι όχι. Αναρωτήθηκε για πιο λόγο να συμβαίνει αυτό;
Πάει λοιπόν σπίτι του. Παίρνει τη χορδή ( πιθανό την προμηθεύτηκε από το σιδηρουργείο; ) την οποία την δένει και από τις δύο πλευρές ώστε να είναι τεντωμένη και να παράγει ήχο. Την χτυπά και καταγράφει (ακουστικά) τον ήχο. Μετά χρησιμοποιεί ακριβώς τη μισή χορδή την ξανά χτυπά και προσέχει πως ο ήχος είναι ο ίδιος αλλά μια οκτάβα ψηλότερα. (Έτσι λοιπόν αμέσως δημιουργείται ο πρώτος κλασματικός λόγος με την μισή χορδή, που στα μαθηματικά υποδηλώνεται ως 1/2). Μετά χρησιμοποιεί τα 2/3 της χορδής (άλλος ένας κλασματικός λόγος), και τέλος τα 3/4 της χορδής (επίσης κλασματικός λόγος) και καταγράφεις τους ήχους αυτούς ακουστικώς.
Σειρά έχει πλέον η επιστήμη των μαθηματικών.
Τα δεδομένα που έχουμε είναι:
1 . Το διάστημα ογδόης είναι σε κλασματικό λόγο 2/1 επειδή η συχνότητα του ήχου είναι αντιστρόφως ανάλογη με το μήκος της χορδής του (1/2 στην προκειμένη περίπτωση).
2. Το διάστημα πέμπτης είναι 3/2 και
3. Το διάστημα τετάρτης είναι 4/3.
Τα δεδομένα αυτά είναι αρκετά για να βρούμε όλα τα διαστήματα μιας κλίμακας. Προς το παρόν θα χρειαστούμε μόνο το διάστημα πέμπτης 3/2 και το διάστημα ογδόης 2/1 για να βρούμε τα διαστήματα κάθε φθόγγου από τη βάση της κλίμακας.
Ας δημιουργήσουμε μία δική μας κλίμακα όπου το Α είναι η βάση της και το Α' η κορυφή της.
Δηλαδή Α - Β - Γ - Δ - Ε - Ζ - Η - Α'

Το Α είναι ο πρώτος φθόγγος της κλίμακας μας γι΄ αυτό γνωρίζουμε πως
1. Η απόσταση του Α από το Α' είναι σε κλασματικό λόγο 2/1. Διάστημα ογδόης
2. Η απόσταση του Α από το Ε = 3/2. Διάστημα πέμπτης και
3. Του Α από το Δ = 4/3 Διάστημα τετάρτης.
Μας λείπουν τα διαστήματα εβδόμης, έκτης, τρίτης και δευτέρας.
Για να βρούμε τα υπόλοιπα διαστήματα, ξεκινάμε από το διάστημα μεταξύ του Α με το Β (διάστημα δευτέρας). Το Β είναι μια πέμπτη πάνω από το Ε (Ε-Ζ-Η-Α'-Β'). Ξέρουμε ήδη πως το διάστημα μιας πέμπτης είναι 3/2. Για να προσθέσουμε άλλη μια πέμπτη, πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα (αριθμητή με αριθμητή και παρανομαστή με παρανομαστή) 3/2 * 3/2 = 9/4. Όμως αυτό το Β' είναι έξω από την κλίμακά μας που τελειώνει στον Α'. Για να πάρουμε λοιπόν το κάτω Β διαιρούμε το 9/4 με το 2/1 (τη μισή απόσταση 1/2 όπως είδαμε παραπάνω). Έτσι η απόσταση Α με Β είναι 9/4 : 2/1 = 9/8 (Διαίρεση δύο κλασμάτων γίνεται με τον πολλαπλασιασμό του αριθμητή του ενός με τον παρανομαστή του άλλου) .
Διάστημα δευτέρας = 9/8
Αφού γνωρίζουμε το διάστημα της δευτέρας μπορούμε να βρούμε και το διάστημα της έκτης εάν προσθέσουμε σε αυτό άλλη μια πέμπτη. Προσθέτουμε διαστήματα με τη μορφή λόγων με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Έτσι το διάστημα από το Α μέχρι το Ζ είναι: 9/8 * 3/2 = 27/16.
Διάστημα έκτης = 27/16
Κατόπιν βρίσκουμε το διάστημα τρίτης από το Α δηλαδή μέχρι το Γ προσθέτοντας μια πέμπτη στο διάστημα έκτης που μόλις βρήκαμε παραπάνω. 27/16 * 3/2 = 81/32. Επειδή το Γ' αυτό όπως και πριν ξεφεύγει από την κλίμακά μας το διαιρούμε με το 2/1 για να πάρουμε το κάτω Γ = 81/32 : 2/1 = 81/64
Διάστημα τρίτης = 81/64
Τέλος για να βρούμε το διάστημα της εβδόμης, από το Α μέχρι το Η προσθέτουμε στο διάστημα τρίτης που μόλις βρήκαμε ένα διάστημα πέμπτης. Έτσι έχουμε 81/64 * 3/2 = 243/128.
Διάστημα εβδόμης = 243/128
Τώρα αφού βρήκαμε πόσο απέχει κάθε φθόγγος από το Α στην κλίμακά μας (Α - Β - Γ - Δ - Ε - Ζ - Η - Α') είναι εύκολο να βρούμε και την απόσταση κάθε φθόγγων μεταξύ τους, αφαιρώντας το ένα διάστημα από το άλλο.
Έτσι από την κορυφή προς τη βάση έχουμε :
Α΄- Η = 2/1 : 243/128 = 256/243
Η - Ζ = 243/128 : 27/16 = 3888/3456 το οποίο αν το διαιρέσουμε με το μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) που είναι το 432 μας δίνει αποτέλεσμα = 9/8
Ζ - Ε = 27/16 : 3/2 = 54/48 : (ΜΚΔ) 6 = 9/8
Ε - Δ = 3/2 : 4/3 = 9/8
Δ - Γ = 4/3 : 81/64 = 256/243
Γ - Β = 81/64 : 9/8 = 648/576 : (ΜΚΔ) 72 = 9/8
Β - Α = 9/8 (Το διάστημα δευτέρας που ήδη βρήκαμε παραπάνω δηλαδή).
Έτσι η κλίμακά μας είναι ως εξής:
Α - Β (9/8), Β - Γ (9/8), Γ - Δ (256/243), Δ - Ε (9/8), Ε - Ζ (9/8), Ζ -Η (9/8), Η - Α' (256/243)
Βλέπουμε πως όλα τα διαστήματα εκτός από δύο έχουν ίδια απόσταση μεταξύ τους (9/8). Τα δύο διαστήματα Γ - Δ και Η - Α' αν τα προσθέσουμε θα μας δώσουν:
256/243 * 256/243 = 65536/59049 Αυτό το άθροισμα αν το αφαιρέσουμε από το 9/8 μας δίνει:
9/8 : 65536/59049 = 531441/524288 = 1.01364 Δηλαδή αν διαιρέσουμε το 9/8 με το άθροισμα των δύο διαστημάτων Γ - Δ και Η - Α έχουμε αποτέλεσμα σχεδόν 1 που είναι περίπου το ίδιο αν διαιρούσαμε το 9/8 με τον εαυτό του.
Συμπέρασμα: τα δύο διαστήματα Γ - Δ και Η - Α' με κλασματικό λόγο (256/243) το καθένα, έχουν σχεδόν μισό διάστημα από τα υπόλοιπα (9/8). Έτσι τα 9/8 ονομάστηκαν τόνοι και τα 256/243 ημί - (μισοί) τόνοι, ημιτόνια. Είναι προφανές πως η κλίμακά μας απαρτίζεται πλέον από 5 τόνους και δύο ημιτόνια και μέχρι εδώ ξέρουμε πολύ καλά για πιο λόγο ο τόνος είναι 9/8 και το ημιτόνιο 256/243.

----------------

Μπορεί να γράψει κάποιος τη συνέχεια; Γιατί δημιουργήθηκαν και άλλες κλίμακες, πως δημιουργήθηκαν από ποιους και πως μαθηματικά εξηγούντε τα διαστήματα τους κ.τ.λ.

Ρε μεγάλε, ακόμα δεν πρόλαβες να μπεις στα νερά και έκανες και κατατομή κανόνος!! Προχωρημένο σε βρίσκω... Ο τρόπος που γράφεις ότι κατάλαβες τα πράγματα αντανακλά αν όχι ακριβώς, τουλάχιστον πάνω-κάτω την πραγματικότητα. Οι λόγοι της κλίμακας πράγματι βρέθηκαν με τη λογική του τρόπου που περιγράφεις, ο οποίος εξηγήθηκε πλήρως από τον Ευκλείδη στο έργο του "Κατατομή Κανόνος". Το έχει εκδώσει ο κ. Σπυρίδης. Επίσης, ο τρόπος του Ευκλείδη περιγράφεται πολύ ωραία και στο εξαιρετικό βιβλίο του Μαυροειδή "Οι μουσικοί τρόποι στην Ανατολική Μεσόγειο", το οποίο σου συνιστώ να προμηθευτείς οπωσδήποτε! Εκεί θα βρεις και τις απαντήσεις στις υπόλοιπες απορίες σου.

Μου έδωσες όμως ιδέα να αναφερθώ και στη μαλακή διατονική κλίμακα και όχι μόνο στη σκληρή (αυτό ουσιαστικά θέλεις και είναι λογικό, αφού αυτή η κλίμακα είναι η βασική κλίμακα της βυζαντινής μουσικής). Λοιπόν, το πράγμα έχει ως εξής (συγγνώμη για την προχειρότητα, τα γράφω επιτόπου, μια και δεν τα έχω περιλάβει στη μελέτη μου, θα τα περιλάβω όμως και σ' ευχαριστώ για την επισήμανση):

Μετά τον Πυθαγόρα, που έζησε τον 6ο π.Χ. αι., ακολούθησαν κι άλλοι θεωρητικοί που διατύπωσαν διαστήματα. Η διαφορά ήταν ότι ο Πυθαγόρας ήταν μαθηματικός, αρκέστηκε στους βασικούς λόγους της οκτάβας, της τετάρτης, της πέμπτης και στους εξ αυτών παραγόμενους του τόνου και του λείμματος (και όχι ημιτονίου όπως γράφεις, νομίζω το εξηγήσαμε) και με βάση αυτούς εξέφρασε τα διαστήματα της κλίμακας. Το θέμα όμως είναι ότι τα ενδιάμεσα του τετραχόρδου διαστήματα (οι κινούμενοι φθόγγοι δηλ.) στη μουσική πράξη δεν ήταν τόσο στάνταρ όσο τους εξέφρασε ο Πυθαγόρας, παρά εκτελούνταν όχι μόνο με τον τρόπο του Πυθαγόρα, αλλά και σε αποστάσεις διάφορες του τόνου (στο διάτονο) ή του τόνου+λείμματος (στο χρώμα). Έτσι όλοι οι υπόλοιποι θεωρητικοί, πολλοί από τους οποίους ήταν όχι μόνο μαθηματικοί, αλλά και μουσικοί, συνειδητοποίησαν αμέσως την ανάγκη να εκφράσουν θεωρητικά και πιο "μαλακά", ας πούμε, διαστήματα. Δεν απέρριψαν ποτέ τα πυθαγόρεια, απλώς είδαν ότι δεν ήταν αρκετά για να εκφράσουν το σύνολο της μουσικής πράξης.

Αποκορύφωμα της τάσης αυτής ήταν ο Αριστόξενος (4ος π.Χ. αι.), ο οποίος ήταν μουσικός και είδε το θέμα καθόλου μαθηματικά αλλά μουσικά και μόνο, εκφράζοντας μάλιστα τα διαστήματα όχι με λόγους, αλλά με αναλογίες του τόνου, ορίζοντας:
- το σκληρό διάτονο σε 1/2, 1/1 και 1/1 του τόνου (6, 12, 12)
- το μαλακό διάτονο σε 1/2, 3/4 και 5/4 του τόνου (6, 9, 15)
Από τότε οι μουσικοί στην αρχαία Ελλάδα χωρίστηκαν σε Πυθαγορείους και Αριστοξενικούς, με τους πρώτους να δίνουν έμφαση στη μαθηματική ακρίβεια και τους δεύτερους στη μουσική πρακτική και να κάνουν λόγο για διαιρέσεις σε τρίτα και τέταρτα του τόνου και διαίρεση του τόνου σε "δωδεκατημόρια" (εξ ου και τα 72 τμήματα της αριστοξένειας κλίμακας, αν ο τόνος είναι 12 και το ημιτόνιο 6).

Στα Ελληνιστικά μεταχριστιανικά χρόνια εμφανίστηκε ο Δίδυμος, ο οποίος έκανε την εξής σκέψη (την αναφέρει και αυτήν πολύ ωραία ο Μαυροειδής): θέλοντας να εκφράσει τα πιο μαλακά διατονικά διαστήματα της μουσικής πράξης, είδε ότι αν αντικαταστήσει στο σκληρό πυθαγόρειο τετράχορδο 9/8 - 9/8 - 256/243 το λείμμα 256/243 (=5.4/72) με την αποτομή 2187/2048 (=6.8/72), που είναι το υπόλοιπο έως τον τόνο διάστημα (υπενθυμίζω ότι ο τόνος 9/8 είναι όχι 12 αλλά 12.2/72) προκύπτει το εξής τετράχορδο:
9/8, 65536/59049, 2187/2048 (12.2 - 10.8 - 6.8)
Αυτό το 65536/59049 είναι, ας πούμε, ο ελάσσων πυθαγόρειος τόνος, που προκύπτει, σε σύγκριση με τον μείζονα, αν του αφαιρέσουμε ένα πυθαγόρειο κόμμα (=διαφορά λείμματος και αποτομής)

Το θέμα όμως ήταν ότι οι αριθμοί αυτοί ήταν πολύ μεγάλοι, προκειμένου να γίνουν αντιληπτοί και να εφαρμοστούν σε όργανο. Έτσι ο Δίδυμος βρήκε τους μικρότερους δυνατούς λόγους που εκφράζουν στο περίπου τους αριθμούς αυτούς και οι οποίοι δεν είναι άλλοι από τους γνωστούς στην επιστήμη της μουσικολογίας:
9/8, 10/9, 16/15 (12.2 - 10.9 - 6.7)
Στην ουσία δηλ. παρήγαγε στον "ελάσσονα" τόνο αφαιρώντας όχι ένα πυθαγόρειο, αλλά ένα διδύμειο κόμμα (=διαφορά 9/8 και 10/9 = 81/80). Το τεράστιο συγγραφικό έργο του Διδύμου έχει χαθεί, όμως μας διασώζει αρκετά στοιχεία απ' αυτό ο Πτολεμαίος (2ος μ.Χ. αι.), ο οποίος και έκανε ευρεία χρήση των επιμορίων λόγων, όπως ξαναείπαμε (αυτών δηλ. με διαφορά ενός αριθμού μεταξύ αριθμητή και παρονομαστή), ο οποίοι ονομάστηκαν έκτοτε και πτολεμαϊκοί.

Αργότερα η φυσική επιστήμη και η επιστήμη της ακουστικής απεφάνθη ότι με τη χρήση των λόγων αυτών τα διαστήματα ακούγονται πολύ σωστά και δεν ευνοούνται τα λεγόμενα διακροτήματα (για περισσότερα ρωτήστε το Δημήτρη τον Ανδριώτη...). Έτσι η κλίμακα που χρησιμοποιούσε τους λόγους του Διδύμου και διαστήματα 12-11-7 (συγκερασμένα στο ακέραιο στην κλίμακα των 72) ονομάστηκε "φυσική κλίμακα" (ίδιος συγκερασμός φυσικά προκύπτει και στα διαστήματα της μαλακής πυθαγόρειας κλίμακας, με τη χρήση της αποτομής, αφού διαφέρουν ελάχιστα και σε βαθμό που δεν γίνεται αντιληπτός ακουστικά "ούτε με σφαίρες"...). Η κλίμακα αυτή, με μια μικρή τροποποίησή της, χρησιμοποιήθηκε στην ευρωπαϊκή μουσική από τον Zarlino, που την καθιέρωσε τον 16ο αι., μέχρι τον Μπαχ, που εισήγαγε ως συνθέτης στη δυτική μουσική τη σημερινή σκληρή διατονική κλίμακα τον 17ο αι. (μετά τη μαθηματική θεμελίωση από τον Βερκμάιστερ).

Τώρα, πώς προέκυψε η κλίμακα της βυζαντινής μουσικής; Ως εξής: όσο κι αν φαίνεται περίεργο, μέχρι το Χρύσανθο δεν είχαμε στην ουσία ορισμό διαστημάτων βυζαντινής μουσικής, καθώς στις λίγες περιπτώσεις που αυτός έγινε, ήταν αντιγραφή των διαστημάτων του Πτολεμαίου. Υπόψιν ότι όλους αυτούς τους αιώνες, οι λαοί της Ανατολής και κυρίως οι Άραβες έκαναν πολύ δουλειά πάνω στα διαστήματα, ενώ η μουσική μας επηρεάστηκε σαφώς από τη λόγια ανατολική μουσική, με την οποία και ομοιάζει περισσότερο, παρά με την αρχαία ελληνική, από την οποία όμως οι βασικές έννοιες (τετράχορδα, τρόποι κλπ.) μεταλαμπαδεύτηκαν εν τω μεταξύ στην Ανατολή, δεδομένου ότι οι Άραβες ήταν γενικώς εμβριθείς μελετητές των Αρχαίων Ελλήνων. Μέσα σ' αυτή την πραγματικότητα λοιπόν, στην ενιαία λεκάνη της Ανατολής, που όλοι έπαιζαν την πανδουρίδα, το νέυ και τέτοια πράγματα, έρχεται ο Χρύσανθος και πρώτος δίνει τα διαστήματα της βυζαντινής κλίμακας όχι με λόγους αντιγραμμένους από αρχαίους Έλληνες θεωρητικούς, αλλά προσπαθώντας να εκφράσει τη βυζαντινή μουσική αυτή καθαυτή και όχι την αρχαία, όπως ο Στεφανίδης, ούτε την ανατολική, όπως ο Κώνστας (σύγχρονοί του θεωρητικοί, εκ των οποίων ο πρώτος εκφράζεται με αρχαιοελληνικές ορολογίες και ο δεύτερος με ορολογίες ανατολικών μακαμιών!)

Οι λόγοι λοιπόν που δίνει ο Χρύσανθος για το μαλακό διατονικό τετράχορδο είναι (Θεωρητικό του 1832):
9/8, 12/11, 88/81 (12.2 - 9 - 8.6), δηλ. με συγκερασμό στο ακέραιο 12-9-9/72. Ίδιοι ακριβώς λόγοι με αυτούς που είχαν δώσει, αρκετούς αιώνες πριν, μεγάλοι άραβες θεωρητικοί και ίδιοι επίσης με αυτούς που γίνονται σήμερα δεκτοί στο διατονικό γένος της αραβικής μουσικής.
Το μεγάλο και πολυσυζητημένο θέμα είναι ότι ο Χρύσανθος έκανε λάθος στο συγκερασμό και εξέφρασε τους λόγους αυτούς με τμήματα 12-9-7, μεταχειριζόμενος κλίμακα 68 τμημάτων. Έτσι, ενώ με τους λόγους ο ελάσσων και ο ελάχιστος τόνος εμφανίζουν διαφορά ούτε μισού μορίου, με τα τμήματα εμφανίζονται να απέχουν δύο ολόκληρα μόρια! Το ακόμα μεγαλύτερο όμως θέμα κατ' εμέ είναι ότι οι μεταγενέστεροι του Χρυσάνθου συνέχιζαν να εκφράζονται όχι με τους λόγους του Χρυσάνθου, αλλά με τα τμήματα, η λογική των οποίων επομένως πιστεύω εγώ ότι εξέφραζε την πράξη της μουσικής μας: δηλ.
- ο ελάσσων και ο ελάχιστος τόνος δεν είναι σχεδόν όμοιοι, όπως στους λόγους, αλλά διαφοροποιούνται (9 και 7)
- ο ελάσσων απέχει περισσότερο από το μείζονα απ' ότι ο ελάχιστος από τον ελάσσονα (12-9 σε σύγκριση 9-7)

Είναι ευνόητο ότι δεν μπορούσε να διαιωνίζεται αυτό το λάθος του Χρυσάνθου και η ασυνέπεια μεταξύ λόγων και τμημάτων κλίμακας κι έτσι η Πατριαρχική Επιτροπή ήρθε το 1883 και έκανε τα εξής:
- Άλλαξε την για πολλούς λόγους ελαττωματική κλίμακα του Χρυσάνθου των 68 τμημάτων και εισήγαγε αυτή των 72, που δίνει πολύ σωστότερες αναλογίες κατά το συγκερασμό
- Απεφάνθη ότι τα διαστήματα πρέπει να τα βρούμε όχι βασιζόμενοι σε κάποιες λογικές-μαθηματικές σκέψεις (βασικά τα επίμαχα διαστήματα του ελάσσονος/ελαχίστου τόνου και του χρωματικού γένους, αφού τα πυθαγόρεια της οκτάβας, τετραχόρδου και πενταχόρδου είναι στάνταρ), αλλά καθαρώς ακουστικά (=Αριστόξενος), στη συνέχεια όμως να οριστούν με λόγους μαθηματικώς (=Πυθαγόρας).
- Αν και κατηγορεί το Χρύσανθο για την ελαττωματική κλίμακά του και την ασυνέπεια λόγων και μορίων κλίμακας (και δικαίως), εν τούτοις διατήρησε τη λογική του όπως την περιέγραψα παραπάνω, ορίζοντας μη όμοιους ελάσσονα και ελάχιστο τόνο (800/729 και 27/25, δηλ. 10 και 8/72 αντίστοιχα) οι οποίοι μάλιστα, αν τους δείτε ασυγκέραστους, δεν απέχουν ομοίως, όπως φαίνεται, αλλά σχεδόν ακριβώς όπως και τα τμήματα του Χρυσάνθου, τα οποία, σε αναλογία στην κλίμακα των 72, είναι στην ουσία ίδια με αυτά της Πατριαρχικής Επιτροπής, όπως έδειξα αναλυτικά εδώ (αφού ο ελάσσων της Πατριαρχικής είναι 9.65/72 και ο ελάσσων των τμημάτων του Χρυσάνθου 9.53/72).
- Επεσήμανε τη διαφορά της βυζαντινής κλίμακας από τη φυσική κλίμακα του Διδύμου/Zarlino, κάτι που το έκανε και ο Χρύσανθος στο Θεωρητικό του, καθιστώντας έτσι σαφές ότι στη βυζαντινή μουσική ο ελάσσων τόνος είναι μικρότερος από τον ελάσσονα της φυσικής κλίμακας, ο οποίος θεωρείται ευρωπαϊκής φύσεως (9.65 ο ελάσσων της Επιτροπής / 10.94 ο ελάσσων του Διδύμου) και μάλιστα συγκεκριμενοποίησε και τον τρόπο: ο ελάσσων της φυσικής κλίμακας προκύπτει με την αφαίρεση ενός διδύμειου κόμματος (81/80) από τον μείζονα τόνο, ενώ ο ελάσσων της βυζαντινής προκύπτει με την αφαίρεση δύο διδύμειων κομμάτων.

Έτσι λοιπόν προέκυψε η κλίμακα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Μετά τα παραπάνω, νομίζω ο καθένας είναι σε θέση να καταλάβει γιατί εξανίσταμαι εδώ, όταν βλέπω στον 21ο μ.Χ. αι., με υπολογιστές, λογαρίθμους και δε συμμαζεύεται, οι περισσότεροι θεωρητικοί της μουσικής μας να δέχονται τα τμήματα της Επιτροπής 12-10-8, να λένε όμως ότι αυτά προέρχονται όχι από τους λόγους της Επιτροπής, αλλά από αυτούς του... Διδύμου, οι οποίοι όμως, όπως είδαμε, βγάζουν 12-11-7!! Αν απλώς γράψετε τους λόγους στο excel που ανεβάσαμε σε προηγούμενο μήνυμα, θα δείτε το λάθος. Το γράψαμε κι αλλού, αν μας πάρει είδηση κανας σοβαρός επιστήμονας από τη γείτονα χώρα, θα μας κυνηγήσει, δεν τη γλιτώνουμε...

Νίκο αν σου πω ότι δεν είχα ακούσει τον όρο ή δεν τον είχα προσέξει ποτέ κατανομή κανόνα; Δεν ξέρω αν αφορά προχωρημένους ή όχι ο λόγος όμως που ασχολήθηκα με αυτό είναι για να μπορέσω να καταλάβω και να μάθω τα διαστήματα της βυζαντινής μουσικής. Μέχρι τώρα πίστευα πως το 12-10-8 κ.τ.λ. ήταν. Όμως τώρα μέσα από το πρόγραμμα scala εσύ μας είπες πως πρέπει να βάζουμε καλύτερα λόγους και όχι συγκερασμούς των 72. Γι' αυτό προσπαθώ να μάθω, να κατανοήσω πως δουλεύουν οι κλασματικοί λόγοι στη μουσική μας. Έτσι πιστεύω πως η κατανομή κανόνα στην εποχή μας με την άνθιση αυτή της τεχνολογίας είναι μάλλον από τα πρώτα μαθήματα που πρέπει να διδαχθεί κάποιος σπουδαστής της βυζαντινής μουσικής.
Επίσης βρίσκω αδιανόητο το γεγονός πως ενώ μπορεί να παραχθεί ήχος με κλασματικό λόγο μέσα από προγράμματα γιατί ακόμα κυκλοφορούν νέα θεωρητικά με τον παραδοσιακό τρόπο που γράφουν ακόμα τα συγκερασμένα τμήματα της κλίμακας των 72; Γιατί εσύ Νίκο αυτά που μας λες εδώ δεν τα κυκλοφορείς; Ή αν δεν μπορείς μόνος σου, μήπως μαζί με τον δάσκαλό σου τον κ. Ηλιόπουλο να κυκλοφορήσετε επιτέλους κάτι ολοκληρωμένο όπου να ξέρει ο ενδιαφερόμενος ποια τελικά είναι τα διαστήματα. Γιατί τώρα άλλα λέει ό ένας άλλα ο άλλος άλλα η επιτροπή άλλα ο Χρύσανθος με αποτέλεσμα να υπάρχει δυσκολία. Γι 'αυτό οι κλασματικοί λόγοι με την συνοδία ανάλογου προγράμματος μπορούν ίσως να λύσουν οριστικά αυτό το πρόβλημα πιστεύω.

Στο δια ταύτα τώρα. Κοίταξα ένα αρκετά ενδιαφέρον άρθρο - εργασία του κ. Μακράκη με τίτλο αρμονικό εγχειρίδιο.

Από αυτά που μου έγραψες και από εκεί κατάλαβα αρκετά, και έτσι τα παρουσιάζω εδώ για να κριθούν αν όντως είναι έτσι.


Λοιπόν πριν συνεχίσω ως παρένθεση μόνο αναφέρεται πως αυτή η κλίμακα που δημιουργήσαμε με τόνους( 9/8) και τα δύο περίπου ημιτόνια (256/243) είναι αυτή που χρησιμοποιούν οι Δυτικοί. Το 9/8 το έκαναν 12 το 256/243 6 και έτσι δεν ασχολούνται πλέον άλλο με διαστήματα. Για παράδειγμα τα μαύρα πλήκτρα του πιάνου είναι ημιτόνια (μέση απόσταση ανάμεσα σε δύο τόνους και εκεί στα δύο σημεία που δεν υπάρχει ανάμεσα μαύρο πλήκτρο είναι επίσης ημιτόνια.
Συνεχίζουμε τώρα τη δημιουργία των διαστημάτων μας της κλίμακάς μας.
Αν ξαναπροσέξουμε την κλίμακα που ήδη δημιουργήσαμε νωρίτερα,
Α - Β (9/8), Β - Γ (9/8), Γ - Δ (256/243), Δ - Ε (9/8), Ε - Ζ (9/8), Ζ -Η (9/8), Η - Α' (256/243), θα δούμε πως απαρτίζεται από δύο ίδια τμήματα τα οποία χωρίζονται στη μέση με ένα τόνο. Το διάστημα από το Α - Ε είναι ίδιο με το διάστημα από το Ζ - Α'. Αυτό είναι ένα δομικό στοιχείο της βυζαντινής μουσικής. Κάθε κλίμακα δηλαδή απαρτίζεται από δύο ίδια μέρη τα οποία ονομάζονται τετράχορδα συν έναν ακόμα μείζωνα τόνο. Με βάση αυτό και διάφορες μαθηματικές πράξεις θα βρούμε τώρα τα επόμενα διαστήματα.
Πριν κάνουμε τις οποιεσδήποτε πράξεις μεταξύ των διαστημάτων μπορούμε μόνο να δουλέψουμε λίγο με τον μείζωνα τόνο. Έτσι έχουμε το 1/4 του μείζωνα τόνου για το οποίο ο Αριστόξενος μας λέει πως είναι η μικρότερη δυνατή διαίρεση. Από κει και πέρα ο άνθρωπος δεν μπορεί να συλλάβει διαφορά σε ήχο. Αυτό βρίσκεται εύκολα σε μια προσωπική αριθμομηχανή ή και από το google αν γράψουμε: 4th root of (9/8) και πατάμε search. Μας δίνει αποτέλεσμα 1.02988357
Το κρατάμε αυτό το νούμερο και συνεχίζουμε. (το 1/4 του 9/8 επειδή μιλάμε για διαστήματα δεν είναι πολλαπλασιασμός 9/8 * 1/4 αλλά η τέταρτη ρίζα του 9/8 ή 9/8^1/4 γι' αυτό και 1.02988357^4 = 1.125 και 9:8 = 1.125).

Μέχρι τώρα λοιπόν έχουμε βρει τον τόνο 9/8 που ονομάζεται μείζων τόνος και το σχεδόν μισό του τόνου όπως είπαμε 256/243. Αν αφαιρέσουμε από το 9/8 το 256/243 τότε προκύπτει ένας νέος κλασματικός λόγος :
9/8 : 256/243 = 2187/2048. Έτσι μάθαμε τώρα πως ο τόνος (9/8) χωρίζεται σε δύο μέρη που δεν είναι ακριβώς ίσα μεταξύ τους. Το ένα 256/243 λέγεται λείμα (υπόλοιπο) και αυτό που βρήκαμε τώρα 2187/2048 αποτομή (αποκόλληση) η οποία είναι κατά τι μεγαλύτερη από το λείμα.
Λείμα = 256/243
Αποτομή = 2187/2048
Αν αφαιρέσουμε την αποτομή από το λείμα, δηλαδή 2187/2048 : 256/243 προκύπτει ένας νέος κλασματικός λόγος 531441/524288. Αυτό ονομάζεται πυθαγόρειο κόμμα.
Δύο τέτοια πυθαγόρεια κόμματα 531441/524288* 531441/524288 μας δίνουν ακόμα ένα νέο λόγο. Το 282429536481/274877906944. Αυτό αν το διαιρέσουμε μας δίνει αποτέλεσμα: 1.0274726682146138045936822891235. Αυτό είναι σχεδόν το ίδιο με το 1/4 του 9/8 που βρήκαμε παραπάνω από google (1.02988357). Έτσι λοιπόν το 531441/524288 είναι η μικρότερη δυνατή διαίρεση του τόνου και ονομάστηκε εναρμόνια δίεση (ονομάστηκε έτσι επειδή δύο εναρμόνιες διέσεις είναι πολύ κοντά στο λείμα (3.5 cents/1200 διαφορά που δε μπορεί να την ψάλλει κάποιος χρησιμοποιείται στην εναρμόνια κλίμακα ως ημίτονο
Εναρμόνια δίεση = 282429536481/274877906944
Είδαμε νωρίτερα πως αν προσθέσουμε δύο λείματα δεν μας δίνουν άθροισμα 9/8 αλλά 65536/59049. Εάν από το άθροισμα αυτό των δύο λειμάτων αφαιρέσουμε μια αποτομή τότε: 65536/59049 : 2187/2048 = 134217728/ 129140163 .
Αυτό εάν το διαιρέσουμε μας δίνει το 134 217 728 / 129 140 163 = 1.03931825. Αυτόν τον αριθμό αν τον ανεβάσουμε στην τρίτη 1.03931825^3 μας δίνει το 1.122653307406289147140625 δηλαδή σχεδόν τον μείζωνα τόνο (9:8=1.125).

Επομένως το άθροισμα δύο λειμάτων μείον την αποτομή δίνει το 1/3 του μείζωνα τόνου. Αυτό ονομάζεται χρωματική δίεση (δύο χρωματικές διέσεις μας δίνουν τον ελάχιστο τόνο των χρωματικών κλιμάκων αφού και εδώ η διαφορά με τον ελάχιστο είναι μόλις 3.5 cents/1200

Χρωματική δίεση = 134 217 728 / 129 140 163

Αν αφαιρέσουμε τώρα το1/3 του τόνου από τον μείζωνα τόνο θα πάρουμε τα 2/3 του τόνου όπου είναι και ο ελάχιστος τόνος. Έτσι 9/8 : 134 217 728 / 129 140 163 = 1162261467/1073741824.

Ελάχιστος τόνος = 1162261467/1073741824

Τώρα για να βρούμε τον ελάσσωνα προσθέτουμε τον μείζωνα και τον ελάχιστο και μετά αφαιρούμε από το τετράχορδο (4/3) το άθροισμά τους.
Έτσι 9/8 * 1162261467/1073741824 = 10460353203/8589934592
και 4/3 : 10460353203/8589934592 = 34359738368/31381059609

Ελάσσων τόνος = 34359738368/31381059609

Κάτι ακόμα που χρειαζόμαστε για τις κλίμακες είναι η ο λόγος του τριημίτονου που τον βρίσκουμε αν από ένα τετράχορδο αφαιρέσουμε έναν μείζονα τόνο. Δηλαδή 4/3 : 9/8 = 32/27

Τριημίτονο = 32/27

Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε όλες τις κλίμακες τοποθετώντας τους κλασματικούς λόγους στο πρόγραμμα scala;

Μέχρι εδώ έχω φτάσει, τώρα θέλω να συνεχίσω στην πράξη με το πρόγραμμα τοποθετώντας τους κλασματικούς λόγους. Όταν βρω χρόνο και αφού διαβάσω και το βιβλίο του κ. Μαυροειδή που το περιμένω μέχρι τέλος εβδομάδας

θα επανέλθω πρώτα ο Θεός στο θέμα μας.

Ρε μεγάλε, εσύ παραπήρες φόρα... Δεν ξέρω τι σχέση έχεις με μαθηματικά, πάντως εγώ δεν είμαι μαθηματικός και κάπου χάθηκα με τις πράξεις σου, οπότε θα σχολιάσω το διά ταύτα συν κάποια άλλα στοιχεία σποραδικά. Ας αρχίσουμε απ' αυτό:

DiamantopoylosT said:

Επίσης βρίσκω αδιανόητο το γεγονός πως ενώ μπορεί να παραχθεί ήχος με κλασματικό λόγο μέσα από προγράμματα γιατί ακόμα κυκλοφορούν νέα θεωρητικά με τον παραδοσιακό τρόπο που γράφουν ακόμα τα συγκερασμένα τμήματα της κλίμακας των 72; Γιατί εσύ Νίκο αυτά που μας λες εδώ δεν τα κυκλοφορείς; Ή αν δεν μπορείς μόνος σου, μήπως μαζί με τον δάσκαλό σου τον κ. Ηλιόπουλο να κυκλοφορήσετε επιτέλους κάτι ολοκληρωμένο όπου να ξέρει ο ενδιαφερόμενος ποια τελικά είναι τα διαστήματα. Γιατί τώρα άλλα λέει ό ένας άλλα ο άλλος άλλα η επιτροπή άλλα ο Χρύσανθος με αποτέλεσμα να υπάρχει δυσκολία. Γι 'αυτό οι κλασματικοί λόγοι με την συνοδία ανάλογου προγράμματος μπορούν ίσως να λύσουν οριστικά αυτό το πρόβλημα πιστεύω.

Click to expand...

Ποιο πρόβλημα;; Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα!! Το θέμα της βυζαντινής κλίμακας λύθηκε άπαξ διά παντός με την Πατριαρχική Επιτροπή του 1883, η οποία παρήγαγε τον βυζαντινό ελάσσονα τόνο με αφαίρεση δύο διδύμειων κομμάτων, τελεία και παύλα (η δε υποστήριξη από μερικούς της αφαίρεσης 2 πυθαγορείων και όχι διδύμειων κομμάτων, παράγει σχεδόν ίδια αποτελέσματα, σε ό,τι αφορά τους λόγους, οπότε το θεωρώ ελάσσονος σημασίας ζήτημα). Τώρα, αν οι σημερινοί θεωρητικοί δεν έχουν διαβάσει τις 10 πρώτες σελίδες του πονήματος της Πατριαρχικής, που έχει ανέβει εδώ στο forum και υπολογίζει κάθε δυνατό διάστημα με το νι και με το σίγμα, αλλά αντ' αυτού αντιγράφουν ένα λάθος του Ψάχου και το διαιωνίζουν, είναι δικό τους πρόβλημα... Δεν υπάρχει καμία ανάγκη να βγει κανένα βιβλίο, αυτά που γράφω είναι πράγματα γνωστά εδώ και πάνω από έναν αιώνα, δεν τα ανακάλυψα εγώ, προς Θεού...

Πάμε στα υπόλοιπα:
Γενικώς λοιπόν να σου πω ότι δεν υπάρχει ένας ελάσσων και ένας ελάχιστος τόνος αλλά περισσότεροι: εσύ κάνεις τους υπολογισμούς σου με βάση πυθαγόρεια μεγέθη. Δεν είναι λάθος, υπάρχουν όμως κι άλλα, ενώ άλλοι αφαιρούν ένα και άλλοι δύο κόμματα από τον μείζονα τόνο: έτσι,
- άλλος ο βυζαντινός ελάσσων πυθαγόρειος (μείον 2 πυθαγόρεια τμήματα από τον μείζονα = 9.42/72)
- άλλος ο βυζαντινός ελάσσων διδύμειος (μείον 2 διδύμεια κόμματα από τον μείζονα = 9.65/72)
- άλλος ο ελάσσων της τουρκικής κλίμακας (μείον 1 πυθαγόρειο κόμμα = 10.83/72)
- άλλος ο ελάσσων της φυσικής κλίμακας (μείον 1 διδύμειο κόμμα = 10.94/72)
- άλλος ο ελάσσων 12/11 των Αράβων και των λόγων του Χρυσάνθου (= 9.04/72) κι ας μην πούμε άλλους προς το παρόν.
Αυτός που βγάζεις εσύ ως ελάσσονα (34359738368/31381059609) δίνει πηλίκο 1.095 και είναι ο βυζαντινός ελάσσων πυθαγόρειος τόνος (=9.42 τμ.). Βγαίνει απλούστερα και αν αφαιρέσεις από τον μείζονα τόνο δύο πυθαγόρεια κόμματα, δηλ.:
9/8 : (531441/524288)^2 = 9/8 : 282429536481/274877906944 = 2473901162496/2259436291848, το οποίο σε απλοποίηση βγάζει τον αριθμό που έγραψες. Αν βγάλεις τώρα ένα και όχι δύο πυθαγόρεια κόμματα, προκύπτει ο ελάσσων τόνος του Φιλολάου και της τουρκικής μουσικής 65536/59049 (=10.83 τμ.).

Όπως γράφει κι ο Μαυροειδής, η χρήση πυθαγορείων αριθμών βγάζει πολύ μεγάλα κλάσματα, γι' αυτά προτιμάται η χρήση διδύμειων/πτολεμαϊκών λόγων, ενώ η διαφορά με τα πυθαγόρεια είναι ακουστικώς αμελητέα. Αν λοιπόν αφαιρέσουμε 2 διδύμεια κόμματα από τον μείζονα τόνο, δηλ. 9/8 : (81/80 * 81/80) προκύπτει ο ελάσσων της Επιτροπής 800/729. Τόσο απλά! Επίσης, το τριημιτόνιο που γράφεις (32/27 = 17.65 τμ.) είναι το πυθαγόρειο. Υπάρχει και το διδύμειο 6/5 = 18.94 τμ., ενώ της Επιτροπής είναι ακόμα μεγαλύτερο: 243/200 = 20.23 τμ.

DiamantopoylosT said:

Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε όλες τις κλίμακες τοποθετώντας τους κλασματικούς λόγους στο πρόγραμμα scala;

Click to expand...

Μα αυτό είναι πολύ απλό να γίνει: πάρε έτοιμους τους λόγους από την Πατριαρχική Επιτροπή σε όλα τα γένη, βάλτους και άκουσέ τους. Θα δεις ότι είναι πολύ οικείο το άκουσμα. Βάλε μετά της κλίμακας των Τούρκων και της φυσικής (δηλ. με αφαίρεση ενός πυθαγόρειου και ενός διδύμειου κόμματος αντίστοιχα). Θα τα δεις αμφότερα πιο κοντά στη σκληρή διατονική του πιάνου. Πάρε μετά το τετράχορδο με τον ελάσσονα των Αράβων και των λόγων του Χρυσάνθου 12/11. Θα διαπιστώσεις πιο αφηρημένο άκουσμα, οικείο σε αυτό της σημερινής αραβικής μουσικής.

Τα πράγματα είναι απλά λοιπόν. Το μόνο που χρειάζεται σήμερα είναι μια... επανάληψη στους λόγους έτσι όπως τους καθόρισε η Επιτροπή και αποτύπωσή τους με τον υπολογιστή, για τους δύσπιστους. Το έργο της Επιτροπής μπορεί να έχει ελλείψεις, όπως παραδέχεται κι η ίδια. Λέει όμως κάπου (με δική μου παράφραση, δεν το θυμάμαι απ' έξω τώρα) ότι "Εμείς παιδιά τουλάχιστον ορίσαμε τα διαστήματα. Από εκεί ξεκινάνε όλα. Πάρτε εσείς τα υπόλοιπα και φτιάξτε κάτι καλύτερο". Ε, 100 και πλέον χρόνια περιμένουμε αυτό το καλύτερο... Αφού δεν γίνεται, τουλάχιστον ας συνειδητοποιήσουμε τι ακριβώς έκαναν οι άνθρωποι, ας συμφωνήσουμε ότι αυτοί είναι οι κλασματικοί λόγοι που αποδίδουν το μέσο όρο διαστημάτων της διατονικής κλίμακας της μουσικής μας, ας διορθώσουμε και κανέναν π.χ. στο χρωματικό γένος ΑΝ χρειάζεται (δεν είμαι αρνητικός, αλλά τεκμηριωμένα) κι ας προχωρήσουμε μετά και παραπέρα. Αλλά εδώ πέρα βλέπεις ότι δεν έχει γίνει κατανοητό από τους θεωρητικούς ούτε από ποιους λόγους προήλθαν τα διαστήματα. Καταλαβαίνεις λοιπόν πού βρισκόμαστε... (Εν τω μεταξύ, αν δεις κάτι μελέτες για τα διαστήματα που κάνουν οι Τούρκοι, θα σου φύγει το τσερβέλο, ήδη δημοσίευσα μία...)

Y.Γ.

DiamantopoylosT said:

Όταν βρω χρόνο και αφού διαβάσω και το βιβλίο του κ. Μαυροειδή που το περιμένω μέχρι τέλος εβδομάδας

Click to expand...

Κοίταξε, διάβασέ το, θα καταλάβεις πολλά πράγματα, αλλά μην το αντιμετωπίσεις ως αυθεντία: ο Μαυροειδής είναι μαθητής του Σίμωνα Καρά και στο χρωματικό γένος υποστηρίζει σε λόγους τα διαστήματα του δασκάλου του (ευτυχώς όχι στο διατονικό, όπου προφανώς είχε καταλάβει τα λάθη και τις αντινομίες του Καρά που έχω δημοσιεύσει εδώ, άλλωστε ήταν από τους σοβαρότερους, αν όχι ο σοβαρότερος επιστήμονας της βυζαντινής μουσικής των τελευταίων ετών). Προσωπικά διαφωνώ με κάποια σκεπτικά του, όπως με τα διαστήματα ΒΟΥ-ΓΑ και ΖΩ-ΝΗ του δευτέρου (κι αυτός άλλωστε σχεδόν... διαφωνεί με τον εαυτό του, λέγοντας ότι αυτά δεν απαντώνται στην πράξη), με τον τρόπο χρήσης της "πραγματικής" κλίμακας των 71 τμημάτων (έχω μιλήσει αλλού γι' αυτό) ή με το σκεπτικό του για τον ορισμό των λόγων του διατονικού γένους: λέει δηλ. (πάνω-κάτω) ότι ο ελάσσων τόνος της βυζαντινής είναι 10 τμ., άρα θα πρέπει να ισούται με το λόγο που είναι πιο κοντά στα 10 τμ., και μάλιστα πτολεμαϊκό, ώστε να είναι απλούστερα τα μεγέθη. Άρα, κατ' αυτόν, ο ελάσσων της βυζαντινής είναι ο 11/10 = 9.90 τμ. Χωρίς να λέω ότι ένας τέτοιος ορισμός του ελάσσονος τόνου είναι άσχημος (έχει ήδη γίνει από τους Άραβες πολλές εκατοντάδες χρόνια πριν), όμως το σκεπτικό παραγωγής του δεν είναι μαθηματικό (αφαιρώντας δηλ. κάποια κόμματα από την κλίμακα ή βρίσκοντας την αρμονική αναλογία κάποιων λόγων κλπ.), αλλά τελείως πρακτικό και, κατ' εμέ, πάσχει: το 10/72 δεν είναι ο πραγματικός ελάσσων, αλλά ο συγκερασμένος, που έχει προκύψει από το λόγο 800/729. Ο πραγματικός ασυγκέραστος είναι 9.65/72, που δίνει το κλάσμα αυτό. Με ποια λογική λοιπόν θεωρούμε εγκυρότερο το συγκερασμένο μέγεθος των τμημάτων από το ασυγκέραστο των λόγων και με βάση αυτό... βρίσκουμε τον πιο κοντινό λόγο;; Είναι λίγο κουφό...

Πως προκύπτουν τα κλάσματα της κάθε κλίμακας;

Η ερώτηση αυτή απαντάται πλήρως μέσα από το βιβλίο του αείμνηστου Μάριου Μαυροειδή (1950 - 1997) που έλαβα τελικά σήμερα το πρωί! Σίγουρα το βιβλίο κοστίζει από 25 έως 28 ευρώ ανάλογα το βιβλιοπωλείο. Καλό θα ήταν να υπήρχε κάποια περαιτέρω απάντηση στο ερώτημα και να μην αναγκάζεται κάποιος να καταφύγει στην αγορά βιβλίου. Είναι όμως πολλά για να γραφτούν εδώ ή γενικότερα σε post οποιουδήποτε forum. Είναι επίσης δύσκολο για μένα που μόλις τώρα έχω διαβάσει τις πρώτες 50 σελίδες του βιβλίου να μεταφέρω αυτά που γράφει το βιβλίο καθώς υπάρχουν τα δικαιώματα του κάθε εκδότη κ.τ.λ. Όμως από αυτά που έχουν γραφτεί από τον κ. Θεοτοκάτο μπορεί κάποιος να καταλάβει αρκετά. Τα πλέον βασικά οπωσδήποτε.

Έτσι αφού πήρα απάντηση στην ερώτησή μου δεν υπάρχει κανένας λόγος να συνεχίσω άλλο να γράφω σε αυτό το post.

Θέλω όμως να ευχαριστήσω τον κ. Νικόλαο Θεοτοκάτο ο οποίος μου σύστησε αυτό το βιβλίο. Αλλά και να τον ευχαριστήσω που κάθισε και μου εξήγησε πολλές λεπτομέρειες με υπομονή και με απλά λόγια. Θέλω ακόμα να ζητήσω συγνώμη από τον ίδιο, που παρότι δεν τον γνωρίζω του μιλούσα σαν να ήταν φίλος μου και δεν είναι πάντα καλό αυτό, γιατί χρειάζεται και ένας σεβασμός ακόμα και στον τρόπο που μιλάμε και γράφουμε σε κάποιον μερικές φορές. Θέλω να του ζητήσω συγνώμη γιατί στο προηγούμενο μήνυμά μου κατά κάποιο τρόπο απαίτησα περαιτέρω κινήσεις από αυτόν αλλά και γενικότερα το ύφος των πρώτων γραμμών του προηγούμενου μηνύματός μου δεν ήταν κι ότι καλύτερο. Εμμέσως κατηγόρησα όσους εκδίδουν θεωρητικά ή μίλησα με υποτιμητικό ύφος και μίλησα για πρόβλημα που σωστά μας είπε δεν υπάρχει αφού η Επιτροπή το έχει λύση. Σίγουρα η όποια παράξενη συμπεριφορά μου δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια δευτερογενής αντίδραση που η αιτία της βρίσκεται στα προβλήματα της καθημερινότητας.

Υ.Γ. Σχετικά με την σχέση του Μαυροειδή με το Καρά που αναφέρεις το διαπίστωσα αμέσως διότι το γράφει στο εξώφυλλο (στην αρχή σπούδασε μουσική με τον Περιστέρη μετά με τον Αγγελόπουλο στο ωδείο Ν.Σκαλκώτα και για μια δεκαετία '79 '89 μαθήτευσε δίπλα στον Σ. Καρά).

Νίκο σε ευχαρισώ για όλα.

DiamantopoylosT said:

Καλό θα ήταν να υπήρχε κάποια περαιτέρω απάντηση στο ερώτημα και να μην αναγκάζεται κάποιος να καταφύγει στην αγορά βιβλίου. Είναι όμως πολλά για να γραφτούν εδώ ή γενικότερα σε post οποιουδήποτε forum.

Click to expand...

Ακριβώς: όσο απλή είναι η ερώτηση, άλλο τόσο περίπλοκη είναι η απάντηση, ειδικά αν θες να καλύψεις όλες τις δυνατές απορίες. Εκ των πραγμάτων λοιπόν δεν μπορεί να υπάρξει μια σύντομη και τελεσίδικη απάντηση σ' αυτό. Εγώ έγραψα τελείως ακροθιγώς, φυσικά υπάρχουν και άλλα εκατοντάδες πράγματα που θα πρέπει να αναφέρει κανείς και άλλα ακόμη που εγώ δεν γνωρίζω. Η μελέτη μου πάνω στα διαστήματα είναι ήδη στις 30 σελίδες και προχωράει, ενώ κάθε μέρα διαπιστώνω ότι θα πρέπει να βάλω κι άλλα πράγματα... Πρόσφατα λ.χ. διάβασα μια μελέτη ενός Τούρκου για τα διαστήματα του Άραβα Safi Al-Din, που τα βρίσκουμε και στην Τουρκική και στη Βυζαντινή μουσική και στον οποίο είχα αναφερθεί κι εγώ, και είδα ότι θα πρέπει να συμπληρώσω κι άλλα πράγματα. Δεν τελειώνουν λοιπόν αυτά...
Α, ψάξε και στη σελίδα αυτή το όνομα Dimitrios Lekkas και άκουσε όλη την ομιλία του! (Και οι άλλες φυσικά είναι ενδιαφέρουσες, μην παρεξηγηθούμε, απλώς αυτή έχει σχέση με το θέμα μας). Ακόμα, εδώ έχω δημοσιεύσει links που έχουν σχέση με κλίμακες, μαθηματικά, αρχ. ελληνική μουσική και τέτοια.

DiamantopoylosT said:

Θέλω ακόμα να ζητήσω συγνώμη από τον ίδιο, που παρότι δεν τον γνωρίζω του μιλούσα σαν να ήταν φίλος μου και δεν είναι πάντα καλό αυτό, γιατί χρειάζεται και ένας σεβασμός ακόμα και στον τρόπο που μιλάμε και γράφουμε σε κάποιον μερικές φορές.

Click to expand...

Κοίτα, κι εγώ σου έγραψα "ρε μεγάλε" και τέτοια, και δεν ξέρω καν τι ηλικία έχεις... (ας ελπίσουμε ότι είσαι κάτω από 40...) Δεν αντιλήφθηκα κάπου αυτό που λες φίλε Τ(άσο. Έχω ξαναγράψει ότι το στυλ του φόρουμ αυτό είναι κάπως "παρεϊστικο" και γράφουμε κάπως πιο ελεύθερα, οπότε νομίζω ότι δικαιολογούνται τέτοια πράγματα. Άμα διαβάσεις άλλες συζητήσεις και δεις τι έχουμε ακούσει κατά καιρούς, θα καταλάβεις ότι εσύ είσαι... όσιος μπροστά σε άλλους!

DiamantopoylosT said:

Θέλω να του ζητήσω συγνώμη γιατί στο προηγούμενο μήνυμά μου κατά κάποιο τρόπο απαίτησα περαιτέρω κινήσεις από αυτόν αλλά και γενικότερα το ύφος των πρώτων γραμμών του προηγούμενου μηνύματός μου δεν ήταν κι ότι καλύτερο.

Click to expand...

Δεν νομίζω ότι έχει τίποτα το προηγούμενο μήνυμά σου, στ' αλήθεια δεν αντιλήφθηκα εγώ κάτι τέτοιο. Άλλωστε, το να με ρωτάει κάποιος γι' αυτά τα πράγματα είναι το... ψωμί μου, όπως κατάλαβες!

DiamantopoylosT said:

Εμμέσως κατηγόρησα όσους εκδίδουν θεωρητικά ή μίλησα με υποτιμητικό ύφος και μίλησα για πρόβλημα που σωστά μας είπε δεν υπάρχει αφού η Επιτροπή το έχει λύση. Σίγουρα η όποια παράξενη συμπεριφορά μου δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια δευτερογενής αντίδραση που η αιτία της βρίσκεται στα προβλήματα της καθημερινότητας

Click to expand...

Το αν ισχύει κάτι τέτοιο το ξέρεις μόνο εσύ. Εγώ αυτό που ξέρω είναι ότι, όταν πρωτοανακαλύπτουμε κάτι, πολλές φορές μας πιάνει μια μανία να κατηγορήσουμε κάποια πράγματα που έως τώρα φάνταζαν "αυθεντίες" κι εμείς δεν μπορούσαμε λόγω άγνοιας να σταθούμε απέναντί τους. Έχω όμως να σου πω σαν συμβουλή πότε να μην είσαι σίγουρος ότι τα διάβασες και τα ανακάλυψες όλα. Πολλές φορές στο μέλλον θα δεις πράγματα καινούργια που ίσως ανατρέψουν αυτά που πρωτοανακάλυψες!!

Παράδειγμα: όλοι μιλάμε για το μονόχορδο του Πυθαγόρα και τα σκληρά διατονικά διαστήματα ως "αρχή" της μουσικής. Αν όμως ακούσεις την ομιλία του Λέκκα που σου είπα και διαβάσεις και κείμενά του (πρόσφατα προμηθεύτηκα) θα τον δεις να λέει ότι τα πρώτα όργανα ήταν οι αυλοί και όχι τα έγχορδα και οι πρώτες "σπονδειακές" κλίμακες, (πεντάτονες και επτάτονες) που παίζονταν δεν είχαν στις τρύπες του αυλού τα σκληρά διαστήματα του Πυθαγόρα, αλλά πιο μαλακά! Έχω κι εγώ βέβαια κάποιες σκέψεις πάνω σ' αυτά τα πράγματα, οι οποίες δεν είναι του παρόντος, απλώς ήθελα να δείξω ότι στην έρευνα τίποτα δεν είναι δεδομένο και θα πρέπει πάντα να κρατάμε μια επιφύλαξη στις κρίσεις μας, εφόσον κάτι δεν μας είναι γνωστό 100%. Ας λέμε τουλάχιστον ότι μιλάμε με βάση αυτά τα στοιχεία.

Τέλος, να διευκρινίσω ότι εκεί που, κατ' εμέ, δεν υπάρχει πρόβλημα είναι στον καθορισμό της βασικής κλίμακας της μουσικής μας και των συμφωνιών που προκύπτουν, ο οποίος έγινε επιτυχώς από την Επιτροπή. Αυτά θα πρέπει απλώς να γραφούν κάπως πιο παραστατικά και εκλαϊκευμένα στα σύγχρονα θεωρητικά, τίποτε άλλο. Κι από το γεγονός ότι όχι μόνο δεν έχει γραφεί τίποτα, αλλά γράφονται και λανθασμένα πράγματα (παίρνουν δηλ. τη φυσική κλίμακα, που έχει διαστήματα 12-11-7, και λένε ότι αυτή δίνει τα διαστήματα της βυζαντινής 12-10-8!! ), λάθη τα οποία μπορεί να διαπιστώσει ένα μαθητής Γυμνασίου (για να μην πω Δημοτικού...), αν βάλει έναν απλό τύπο στο excel, γι' αυτό θα έλεγα να μη νιώθεις τύψεις που τους κατηγόρησες... Βέβαια ο καθένας από τους ανθρώπους αυτούς έχει προσφέρει στη μουσική μας και πάντα τους σεβόμαστε. Όμως τα σύκα σύκα και η σκάφη σκάφη...

Αν τώρα φύγουμε από το θέμα αυτό της βασικής κλίμακας, επί μέρους προβλήματα στο έργο της Επιτροπής σίγουρα υπάρχουν (το παραδέχεται άλλωστε και η ίδια): θα πρέπει π.χ. να καταστεί σαφής με κάποιους τρόπους η σχετικοποίηση των διαστημάτων των ήχων (ίσως με υιοθέτηση πολλαπλών κλιμάκων π.χ. ανάβασης και κατάβασης ή αναφορές με περισσότερο περιγραφικούς και μη αριθμητικούς όρους, όπως "όμοια διφωνία", "σκληρή και μαλακή ύφεση" κλπ., είχαμε πρόσφατα μια συζήτηση με τον π. Νικόλαο Μέζη εδώ), να οριστούν καλύτερα, ίσως και αριθμητικά, οι ποικιλότροπες εκφάνσεις του χρωματικού γένους (όπως το μαλάκωμα του σκληρού και η σκλήρυνση του μαλακού), να ξεκαθαριστεί πότε οι γενικόλογες έλξεις της Επιτροπής αναφέρονται σε άμεση και πότε σε σταδιακή μετάβαση από τον κινούμενο στο δεσπόζοντα φθόγγο, να αναφερθούν περιπτώσεις αλλοιώσεων που παραλήφθηκαν (όπως του χαμηλωμένου ΒΟΥ στις καταλήξεις του α' ήχου) κ.ά.

Βλέπε εδώ, την Ά εισήγηση και μετά εδώ.

Το τελευταίο link είναι για τον ακούραστο φίλο μου Νικόλαο Θεοτοκάτο.

priggos said:

Το τελευταίο link είναι για τον ακούραστο φίλο μου Νικόλαο Θεοτοκάτο.

Click to expand...

Για πάνε στο link να δεις τι σε περιμένει...

''Ο τρόπος αυτός ανάγεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος, σύμφωνα με το Γαυδέντιο[*1], περνώντας έξω από το “χαλκείον” παρατήρησε ότι, άλλα από τα χτυπήματα που έκαναν στο σίδερο οι τεχνίτες είχαν μεταξύ τους κάποια σχέση και προξενούσαν ευχάριστο αίσθημα στην ακοή, ενώ άλλα όχι. Έτσι, βρήκε πειραματικά ότι, αν χτυπούσε με το σφυρί ένα βάρος και μετά το μισό, ο ήχος που ακουγόταν τη δεύτερη φορά ήταν η αντιφωνία της πρώτης, η οποία επομένως έχει λόγο σε ηχητικούς παλμούς 2/1 (το μισό δηλ. του πρώτου βάρους).''

Αγαπητέ Νίκο!

Το πείραμα με βάρους o Arpad Szabo και o Farrington απορρίπτει σαν παραπλάνηση, λόγω σφάλματος. Δυστυχώς δεν έχω ακόμα εξοικειωθεί
παρόμοιους υπολογισμούς. Καλό θα ήταν αν μας εξήγησες , όπως με τα κλάσματα . Ο Szabo δε σταματάει με το διαπίστωση το σκάνδαλο. Αποκαλύπτει τι κρύβεται πίσω.

Zambelis Spyros said:

Αγαπητέ Νίκο!

Το πείραμα με βάρους o Arpad Szabo και o Farrington απορρίπτει σαν παραπλάνηση, λόγω σφάλματος. Δυστυχώς δεν έχω ακόμα εξοικειωθεί
παρόμοιους υπολογισμούς. Καλό θα ήταν αν μας εξήγησες , όπως με τα κλάσματα . Ο Szabo δεν σταματάει με το διαπίστωση το ''σκάνδαλο''. Αποκαλύπτει τι κρύβεται πίσω.

Click to expand...

Το γνωρίζω, το διάβασα κι εγώ μετά σε Έλληνα συγγραφέα, χωρίς να το εξηγεί κι αυτός αναλυτικά. Γι' αυτό και έγραψα "σύμφωνα με το Γαυδέντιο", ο οποίος όντως το αναφέρει και είναι γνωστή εκ παραδόσεως ιστορία. Φυσικά και δεν μπορώ να εξηγήσω το πείραμα αυτό, ούτε και γνωρίζω το θέμα, απλώς ιστορικά το έγραψα. Ευχαριστώ για την παρατήρηση, θα το επισημάνω σε υποσημείωση στην εργασία μου. Αν μας βρεις και κάποιες παραπομπές των Szabo/Farrington για το θέμα να τις περιλάβω κι αυτές, καλό θα ήταν. Επειδή βέβαια πάντα ο μύθος "κρύπτει νουν αληθείας" (κι οι ιστορίες του Μαρσύα για τον αυλό μυθικές είναι, αλλά φανερώνουν τη φρυγική προέλευσή του -αν και εδώ δεν πρόκειται ακριβώς για "μύθο", αλλά για ενδεχομένως ανεξακρίβωτο ή αναληθές περιστατικό-), ας κρατήσουμε ότι ο Πυθαγόρας, με κάποια μέθοδο, βρήκε αυτά που βρήκε κι έτσι άρχισε να επιστημονικοποιείται η μουσική!

Χαίρομαι που -ΕΠΙΤΕΛΟΥΣ!!!- υπάρχει και μέσα στο Ψαλτολόγιο μια θετική επιστημονική συμβολή στα πράγματα αυτά!