Greek theorists ~ Arabo-Persian musical system

Zambelis Spyros

Παλαιό Μέλος
AVICENNA ix. Music

AVICENNA

ix. Music

Islamic writings on music are often theoretical treatises concerned with the analysis of pitch and duration, the constituent elements of melody. They are conceived less as descriptive accounts of contemporary practice than as systematizations of possible structures, utilizing, in the case of pitch, mathematical formulations derived from the Greek legacy. Among the most impressive examples of such writings are the relevant chapters in Avicenna’s Ketāb al-najāt, Dāneš-nāma-ye ʿalāʾī, and Ketāb al-Šefāʾ, where music is considered as one of the mathematical sciences (the medieval guadrivium).

Not unexpectedly, matters of incidental relevance occur in other works also. Thus the Resāla fi’l-nafs contains a passage on the perception of sound (ZDMG, 1875, pp. 355-56); the first chapter of the Resāla fī maḵārej al-ḥorūf concerns itself with the physics of sound production; and the Qānūn fi’l-ṭebb discusses the pulse by analogy with musical proportion conceived, interestingly, not only in terms of rhythm but also of intervallic relationships (ed. Cairo, 1294/1877, I, pp. 125-26; see also the parallel passage in Ragšenāsī, ed. M. Meškāt, Tehran, 1370/1951, pp. 31-36). There is, further, a brief definition of the scope of the science (ʿelm) of music in Fī bayān aqsām al-ʿolūm al-ḥekmīya wa’l-ʿaqlīya (BM. MS. Add. 7528, fol. 44v).

Nevertheless, any assessment of Avicenna as a theorist of music must concern itself essentially with the chapters on music in the Najāt, Dāneš-nāma, and Šefāʾ, and for our purposes they may be considered together, as representing more or less extensive versions of the same analysis. The expositions in the Dāneš-nāma and in the Najāt (which also occurs separately, with a few minor omissions, as the Resāla fi’l-musīqī) may be regarded as Persian and Arabic versions of the same text, and they contain virtually nothing that is not examined in greater depth in the Šefāʾ. The nature and quality of Avicenna’s treatment of the subject may thus best be demonstrated by specific reference to this work, presenting as it does the most detailed theoretical analysis to appear between the Ketāb al-musīqī al-kabīr of Fārābī (d. 339/950) and the treatises of Ṣafī-al-dīn Ormavī (d. 693/1294).

Avicenna’s general approach in the Šefāʾ is, not unexpectedly, similar to that of Fārābī (The scope is undeniably narrower, but his formulations are sometimes more succinct and his organization of material more rigorously logical.) Noteworthy among the introductory remarks are peremptory dismissal of the doctrine of ethos (prominent in Kendī [d. ca. 260/874] and central to the Eḵwān al-Ṣafāʾ [second half of the fourth/tenth century]), and an interesting discussion of the nature of sound viewed first functionally (as a signaling device aiding, ultimately, the survival of the species) and then as a means of expression with, in its more strictly musical form, a particular esthetic potential. The main body of the chapter then falls into two parts in accordance with the initial definition of the subject as a science concerned with notes (naḡam) and the times separating them (al-azmena al-motaḵallela baynahā), its ultimate goal being knowledge of compositional procedures (kayf yoʾallaf al-laḥn).

The first part, dealing with notes, begins with a discussion of the physical causes of differences in pitch, and provides definitions of the basic concepts of note, interval (boʿd), genus (jens), and group (jamāʿa), the last three of which are then amplified in subsequent sections. Intervals are handled in terms of the mathematical ratios by which they may be represented, and are ranked according to their relative degrees of consonance. Two categories are recognized. The first is divided into large (octave), medium (fifth and fourth), and small (the series of superpartial intervals from the major third down to an approximate quartertone), with the small being subject to a further threefold division. The second consists of combinations of the above (e.g., octave plus fourth). The mathematical emphasis is equally apparent in two further sections dealing respectively with the addition and subtraction of intervals and their doubling and halving, and culminates in the extensive survey of the genera or tetrachord types. An initial discussion of the esthetics of different interval sizes considered in relation to melodic function gives pride of place to the class of small intervals, and these are then variously combined into 16 tetrachords (yielding a possible 48 permutations in all) grouped according to the usual categories of strong (qawī), chromatic, and enharmonic. Here, oddly, Avicenna reverses the normal terminology, calling the chromatic rāsem and the enharmonic molawwan. The first part ends with an outline of the notion of group, essentially the various combinations of tetrachords and whole-tones within the Greek two-octave Greater Perfect System, and with a brief schematic survey of elementary types of melodic movement.

The material elaborated in the course of this analysis should not be thought of as constituting a description of the modal structure of the contemporary Arabo-Persian musical system. It is explicitly stated, for example, that the chromatic and enharmonic tetrachord species portrayed in such detail were not in normal use. We are thus presented here not with the results of empirical observation, but with a sophisticated adaptation and development of material derived from the Greek theorists. In the less technical areas there are, predictably, Aristotelian echoes, and Avicenna himself refers to Euclid and to the more important figure, in musical theory, of Ptolemy. While problems remain with regard to the way in which the material was transmitted, there are fewer difficulties in identifying the ultimate sources, and a comprehensive survey of these may be consulted in the appendix to D’Erlanger’s translation of the music chapter in the Šefāʾ (La musique arabe II, pp. 258-306).

Seemingly less remote from contemporary practice, even if just as schematic, is the second major part, on rhythm (īqāʿ). Nevertheless, it is only at the end that some indication is given of which particular cycles were in current use: The main body of this section, for which Fārābī is again the model, presents a set of possible structures in terms of which rhythms could be formulated. Greek influence recedes, and the main analytical tools are derived rather from the Arab science of prosody, so that there is nothing unexpected in finding certain sequences discussed in terms of their varying suitability for verbal as against instrumental articulation, or the inclusion (specifically in the Šefāʾ) of a section devoted to prosody. The theoretical introduction begins with the notion of a basic recurring pulse to which can be related the concept of a minimum (indivisible) time unit, defined in articulatory (prosodic) terms as CV (ḥarf motaḥarrek) and symbolized as ta, and alternatively in relation to the circular physical movement of a player’s hand between one percussion and the next. Discussion of the maximum possible number of time units between two precussions involves psychological considerations, the definition being that it must not be so great as to undermine the subjectively perceived relation between them. With regard to the structure of the rhythmic cycles, an immediate distinction is drawn between conjunct (mowaṣṣal) and disjunct (mofaṣṣal). The former, generically termed hazaj, are speedily dismissed, being equated with the basic recurring pulse (in different tempi), and attention is focused on the more flexible and complex patterns of the latter. Each cycle is analyzed as a set (dawr) of primary percussions separated from the next set by a disjunction (fāṣela). The number of primary percussions ranges from two to six, distributed over two to ten time units (sets with more time units are mentioned, only to be rejected as too long). Alterations to which the set may be subject involve the elimination of percussions (with or without deletion of the related time unit) and adding secondary percussions to otherwise unmarked time units, this latter feature being associated particularly with the slower rhythms. It should be noted, too, that the disjunction is also a variable. A given rhythmic type could thus comprise a number of cycles differing not only in the internal patterning of percussions but also in the total number of time units.

It is in the briefer final section that attention is turned more specifically to aspects of contemporary practice. The opening passage on the process of composition is an essentially abstract formulation, but includes nevertheless references to such techniques as trills and glissandi, and was to have ended with a specimen melody in hazaj rhythm, the notation for which, if it ever existed, has unfortunately failed to survive. There follows a short survey of instruments in which chrodophones figure prominently, being divided organologically according to both the way of mounting the strings (thus contrasting, e.g., harps and zithers) and the way of playing them: stopped or free, plucked or bowed. Aerophones are differentiated by whether the air stream passes through a hole, across a free beating reed, or is produced by means of an air reservoir. Only one (hammered) percussion instrument is mentioned, those of unturned pitch being ignored. Avicenna gives finally a fretting for the lute, called both ʿūd and barbaṭ (details in Farmer, Lute scale, and Manik, Tonsystem, pp. 47-52), and then (in the Šefāʾ only) defines, largely in terms of that fretting, the intervallic structure of the more common melodic modes of his time. These show an interesting transitional phase between the early diatonic system and that described by Ṣafī-al-dīn; thus alongside purely diatonic modes are found others utilizing, in addition or exclusively, genera containing three quarter-tone intervals (associated with the wosṭā zalzal fret) and including, Arabized as mostaqīm, the earliest recorded version of the mode rāst.

Bibliography : Texts: Z. Yūsof, ed., al-Šefāʾ, al-rīāżīyāt, 3, Jawāmeʿ ʿelm al-musīqī, Cairo, 1376/1956; tr. R. D’Erlanger, La musique arabe II, Paris, 1935, pp. 103-245. Dāneš-nāma-ye ʿalāʾī: tr. M. Achena and H. Massé, Le livre de science II, Paris, 1958, pp. 217-39. Ketāb al-najāt, chap. on music, ed. M. El-Hefny (see below). Resāla fi’l-musīqī, in Majmūʿ rasāʾel . . . Ebn Sīnā, Hyderabad, 1353/1934. For further details see A. Shiloah, The Theory of Music in Arabic Writings (c. 900-1900), Munich, 1979, pp. 137-43.

Studies: H. G. Farmer, “The Lute Scale of Avicenna,” JRAS, 1937, pp. 245-57. M. El-Hefny, Ibn Sīnās Musiklehre, Berlin, 1931. M. Cruz Hernández, “La teoría musical de Ibn Sīnā en el Kitāb al-šifāʾ,” Milenario de Avicenna II, Madrid, 1981, pp. 27-36. H. Husmann, Grundlagen der antiken und orientalischen Musikkultur, Berlin, 1961, pp. 88-134. L. Manik, Das arabische Tonsystem im Mittelalter, Leiden, 1969, pp. 47-52. A. Shiloah, “"En-Kol"—commentaire hébraique de Šem Tov Ibn Šaprût sur le Canon d’Avicenne,” Yuval 3, 1974, pp. 267-87.

(O. Wright)

http://www.iranica.com/articles/avicenna-ix
 

Zambelis Spyros

Παλαιό Μέλος
Λέξεις κλειδιά

Avicenna
perception of sound (ZDMG, 1875, pp. 355-56)
physics of sound
analogy
rhythm
intervallic relationships
Fārābī
doctrine of ethos
note
interval
genus
mathematical ratios
consonance.
octave
fifth
fourth
quartertone
octave plus fourth
tetrachords
chromatic
enharmonic
Greek two-octave Greater Perfect System
Greek theorists
Aristotelian echoes,
Euclid
Ptolemy
D’Erlanger’s (La musique arabe II, pp. 258-306).
diatonic system
diatonic modes
 

nikosthe

Νίκος Θεοτοκάτος
Ευχαριστούμε Σπύρο! Να θυμίσουμε ότι ο επονομαζόμενος στην Ευρώπη Avicenna ήταν από τους πλέον επιφανείς Άραβες θεωρητικούς που έδρασε το 10ο-11ο αι., σύγχρονος του Al Farabi για κάποια περίοδο και γνωστός για τις πολλές χρόες που διατύπωσε για το χρωματικό γένος (και για το διατονικό φυσικά, όπως ο Al Farabi). Η φιλοσοφία του φαίνεται ότι ήταν (μεταξύ άλλων) να συνδυάζει συνεχόμενους πτολεμαϊκούς επιμόριους λόγους για τα δύο άκρα του τετραχόρδου (12/11, 13/12, 14/13, 15/14). To ενδιαφέρον είναι (αν το έχω επισημάνει σωστά) ότι τετράχορδα με μικρά διαστήματα μέχρι τον επιδωδέκατο τόνο (8.3 μόρια ακριβώς), δηλ. διάταξη περίπου 8.5-8.5-13, θεωρεί διατονικά, ενώ από τον επιτρισκαιδέκατο και πέρα (7.7 μόρια ακριβώς), δηλ. διάταξη 8-8-14, θεωρεί χρωματικά. Είναι πολύ ενδιαφέρων συλλογισμός για το πότε αρχίζει το διάτονο να μετατρέπεται σε χρώμα, κάτι μάλλον σύμφωνο και με τη θεώρηση της Πατριαρχικής Επιτροπής.
 
To ενδιαφέρον είναι (αν το έχω επισημάνει σωστά) ότι τετράχορδα με μικρά διαστήματα μέχρι τον επιδωδέκατο τόνο (8.3 μόρια ακριβώς), δηλ. διάταξη περίπου 8.5-8.5-13, θεωρεί διατονικά,

κάντε την καλωσύνη να πείτε το κλάσμα που αντιστοιχεί στα 13 μόρια
 

nikosthe

Νίκος Θεοτοκάτος
Ορίστε τα διαστήματα στα τετράχορδα του Avicenna που έχω συγκεντρώσει μέχρι στιγμής, για το συνάδελφο Παναγιώτη Κουμπέτσο, που μας εκπλήσσει ευχάριστα το ενδιαφέρον του για την αρχαία ελληνική μουσική και τα διαστηματικά! (Γενικώς είναι πολλά τα κλάσματα από τα οποία μπορεί να προκύπτει το 13 ή οποιοσδήποτε συγκερασμός. Εδώ είναι το 192/169, που δίνει στο συγκερασμό 72άρας κλίμακας 13.25 και το οποίο προκύπτει ως υπόλοιπο τετραχόρδου από δύο επιδωδέκατους τόνους. Για το πώς προκύπτουν διαστήματα κλίμακας από λόγους, βλ. εδώ)

ΓΕΝΟΣ || ΛΟΓΟΙ || ΣΥΓΚΕΡΑΣΜΟΣ ΣΕ 72 || ΣΥΓΚΕΡΑΣΜΟΣ ΣΕ 1200 (CENTS)

εναρμόνιο || 40/39, 26/25, 5/4 || 3, 4, 23 || 44, 68, 386
διατονικό || 9/8, 12/11, 88/81 || 12, 9, 9 || 204, 151, 143
διατονικό || 13/12, 9/8, 128/117 || 8.5, 12, 9.5 || 139, 204, 156
διατονικό || 14/13, 9/8, 208/189 || 8, 12, 10 || 128, 204, 166
διατονικό || 10/9, 13/12, 72/65 || 11, 8, 11 || 182, 139, 177
διατονικό || 12/11, 12/11, 121/108 || 9, 9, 12 || 151, 151, 197
διατονικό || 13/12, 13/12, 192/169 || 8.5, 8.5, 13 || 139, 139, 221
χρωματικό || 14/13, 14/13, 169/147 || 8, 8, 14 || 128, 128, 241
χρωματικό || 15/14, 15/14, 784/675 || 7, 7, 16 || 119, 119, 259
χρωματικό || 10/9, 36/35, 7/6 || 11, 3, 16 || 182, 49, 267
χρωματικό || 14/13, 13/12, 8/7 || 8, 8, 14 || 128, 139, 231
χρωματικό || 35/33, 11/10, 8/7 || 6, 10, 14 || 102, 165, 231
χρωματικό || 77/72, 12/11, 8/7 || 7, 9, 14 || 116, 151, 231
 
Last edited:

domesticus

Lupus non curat numerum ovium
Η έφεση σας στα μαθηματικά και ο χειρισμός των αριθμών είναι στοιχεία πολύ ωφέλιμα για το forum.
 

domesticus

Lupus non curat numerum ovium
Διακρίνω κάποιο ίχνος ειρωνίας στα γραφόμενά σας και η συζήτηση δεν ευοδώνεται.
 

Zambelis Spyros

Παλαιό Μέλος
Απορία, Benjamin Farrington, Szabó Árpád

''Ο τρόπος αυτός ανάγεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος, σύμφωνα με το Γαυδέντιο[*1], περνώντας έξω από το “χαλκείον” παρατήρησε ότι, άλλα από τα χτυπήματα που έκαναν στο σίδερο οι τεχνίτες είχαν μεταξύ τους κάποια σχέση και προξενούσαν ευχάριστο αίσθημα στην ακοή, ενώ άλλα όχι. Έτσι, βρήκε πειραματικά ότι, αν χτυπούσε με το σφυρί ένα βάρος και μετά το μισό, ο ήχος που ακουγόταν τη δεύτερη φορά ήταν η αντιφωνία της πρώτης, η οποία επομένως έχει λόγο σε ηχητικούς παλμούς 2/1 (το μισό δηλ. του πρώτου βάρους).''

Αγαπητέ Νίκο!

Το πείραμα με βάρους o Arpad Szabo και o Farrington απορρίπτει σαν παραπλάνηση, λόγω σφάλματος. Δυστυχώς δεν έχω ακόμα εξοικειωθεί
παρόμοιους υπολογισμούς. Καλό θα ήταν αν μας εξήγησες , όπως με τα κλάσματα . Ο Szabo δεν σταματάει με το διαπίστωση το ''σκάνδαλο''. Αποκαλύπτει τι κρύβεται πίσω.
 
Last edited:

nikosthe

Νίκος Θεοτοκάτος
Αγαπητέ Νίκο!

Το πείραμα με βάρους o Arpad Szabo και o Farrington απορρίπτει σαν παραπλάνηση, λόγω σφάλματος. Δυστυχώς δεν έχω ακόμα εξοικειωθεί
παρόμοιους υπολογισμούς. Καλό θα ήταν αν μας εξήγησες , όπως με τα κλάσματα . Ο Szabo δεν σταματάει με το διαπίστωση το ''σκάνδαλο''. Αποκαλύπτει τι κρύβεται πίσω.
βλ. εδώ στο σχετικό θέμα.
 
Last edited:

nikosthe

Νίκος Θεοτοκάτος
Διακρίνω κάποιο ίχνος ειρωνίας στα γραφόμενά σας και η συζήτηση δεν ευοδώνεται.
Έχετε την ταπεινή και εκ βάθους καρδίας ειλικρινή συγγνώμη μου. Μετά απ' αυτό, θα επιθυμούσα σφοδρώς και την εκ μέρους σας συμβολή στην ευόδωση της θαυμάσιας αυτής συζήτησης!
 

Zambelis Spyros

Παλαιό Μέλος
Εδώ το ουγγαρέζικο κείμενο. :)

(Το ελληνικό :
ΑΠΑΡΧΑΙ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (6907Α)
Έτος έκδοσης: 1973
Εκδοτικός οίκος: ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ
Συγγραφέας: SZABO ARPAD
Σελίδa 173.
Szabo 1978 )

Η επιστήμη στην αρχαία Ελλάδα
Farrington, Benjamin
Σειρά: Αρχαία Ελλάδα Έκδοση: 1989

Δεν έχω scanner, σιγά-σιγά θα τα ανεβάσω, η θα το φωτοτυπήσω για σένα.



"Meg zavarbaejtobb volt az, hogy magasabb lett a hang azaltal is, hogy jobban kifeszitettek a hurt. De hiaba igazitottak a hurok kifeszitettseget a konszonanciak aranyszamaihoz, azaz : hiaba terheletek meg pl. ket egyforma hosszu (es lehetoleg egyforma vastagsagu ) hurt 12 es hat egysegnyi sulyokkal. Ha kulonbozott is a ket hur hangja, oktavot megsem adott."

" Amig a kiserletek csak magan a monochordon vagy a kanon fole kifeszitett huron vegeztek, csakugyan eltekinthetek minden mas tenyezotol a hosszusagon kivul; azaz; a hangmagassag valtozasa feltunhetett mint egyetlen tenyezo ( a hur hosszusaga) megvaltoztatasanak a kovetkezmenye. A hur vastagsagat pl. figyelmen kivul hagyhattak, mert ugyanaz a hur szolalt meg minden egyes kiserletnel. Ugyanigy nem valtoztattak, kiserlet kozben, a hur kifeszitettsegen sem.
De persze eszre kellett venniuk, hogy a hangmagassag egyeb tenyezoktol is fugghet, nemcsak a hur hosszusagatol. Kulonbozik ez a hurok vastagsaga szerint is. Vajon nem igazolhatnak-e a konszonanciak hagyomanyos aranyszamait azzal, hogy a hangforras vastagsagat eppen ezeknek az aranyoknak megfeleloen valtoztatjak?
-Mintha eppen erre a kerdesre keresett volna valaszt a metapontumi Hippaszosz, amikor bronzkorongjaival kiserletezett."

"...rajohettek arra, hogy a zenei konszonanciak kifejezhetok aranyszamokkal - anelkul, hogy ugyanakkor fol kellett volna tenniuk a kerdest : mi a hang maga? Ez persze nem azt jelenti, mintha olyan fizikai-akusztikai problemak egyaltalan nem erdekeltek volna oket : hogyan keletkezik es hogyan terjed a hang? Mi okozza a magassagat, es mi az erosseget? Ha igaz az, hogy a hang valamifele mozgas, minek a mozgasa?
Konnyu volna kimutatni, hogy ezek a kerdesek nemcsak folmerultek mar az okorban, hanem a pythagoreusok kozel jutottak olyan valaszokhoz is, amelyeket mai is helyesnek tartunk. Vagy ramutathatnank arra, hogy mas esetekben a reszben helyes valasz hogyan siklott megis felre. Folismertek pl., hogy a hang rezgo mozgas, de mar a "frekvencia" es az "erosseg" fogalmait nem sikerult vilagosan elvalasztaniuk egymastol. Arrol ne is beszeljunk most, hogy olyan fogalmaik, mint "amplitudo", "periodus" vagy "hullamhosszusag", meg egyaltalan nem voltak.
Az erdekes inkabb az, hogy a "rezgesszam" fogalma nelkul siekerult megtalalniuk a konszonanciak aranyszamait mint hurhosszusagok aranyait."

"Nezzuk a legutobbi aranypart: 2:x=x:1. Termeszetesen irhato ez ebben az esetben a formaban is:
x a negyzeten = 2 x 1 - a belso tagok szorzata egyenlo a kulso tagok szorzataval. Vagy akar az x = negyzetgok alatt 2. - A fenti masik esetben, 12 : X = X : 6, ugyanez: X a negyzeten = 12 x 6, X=negyzetgyok alatt 72 = negyzetgyok alatt 36 x 2 = 6 x negyzetgyok alatt 2. - A pythagoreusoknal tehat a geometriai kozep megtalalasanak vagy megszerkesztesenek a muvelete ugyanaz volt, mint a mi szamunkra a negyzetgyokvonas. Amikor mi valamely a szamnak a negyzetgyoket keressuk, a regi gorog aritmetikus elobb folbontotta az adott szamot (a) ket masik szam szorzatara - ha ez maskent nem volt lehetseges, akkor ebben a formaban: a = 1 x a - majd kereste vagy megszerkesztett a ket tenyezo kozott a geometriai kozepet.

Osszefoglalo neven az emlitett muveleteket a kanonon - aranyok osszeadas-szorzasa, kivonas-osztasa, vagy az arany ket tagja kozott a kozep keresese - a "kanon metszesenek" neveztek. Fonn is maradt Eukleidesz neve alatt egy matematikai-zeneelmeleti jellegu munka, melynek latin cime a szakirodalomban: Sectio Canonis."


"De vajon nem oszthato-e az oktav ket olyan reszre, hogy a reszek egymast kozt egyenloek legyenek? - kerdeztek a pythagoreusok. Mas szoval ez azt jelenti : azt a "szamot" kerestek a 12 es a 6 (vagy a 2 es az 1) kozott, amely kielegithetne az aranypart (12 :x = x : 6, illetroleg 2 : x = x : 1). - Minthogy pedig ezt a feladatot - mid az oktav, min pedig tobb mas arany eseteben - csak geometriai szerkesztessel lehet megoldani, ezt neveztek geometriai (mertani) kozepnek."

"Egy masik fajta " kozep" a 12 es a 6 kozott a 8. Ebben az esetben a 12 es a 8 koze esik a hosszabb, a 8 es a 6 koze pedig a rovidebb hurdarab. A hosszabb hurdarab (s egyszersmind a nagyobb szamok, 12 es 8) jelzik egyuttal a nagyobb zenei intervallumot, a kvintet; a rovidebb hurdarab (es kisebb szamok 8 es 6) pedig a kisebb zenei intervallumnak, a kvartnak a jeloloi. - Ezt az utobbit a pythagoreusok "harmonikus kozepnek" neveztek; mint mondtak: a 12 es a 8 kulonbsege (12-8) ugyanannyiszor van meg a 12-ben (12:4=3), mint a 8 es 6 kulonbsege (8-6) a 6-ban (6:2=3)."

"Erdekesek azonban a kanonon vegzett muveletek azert is, mert nyilvan ezek vetettek fel eloszor azt a problemat, amelyet a pythagoreusok a kozep keresesenek neveztek. Egyszeru formaban ez a kerdes igy hangzott: hogyan lehet kisebb egysegekre bontani az oktav intervallumat? Minthogy ezt a kanonon a 12 es a 6 koze eso szakasz szemleltette, mindenekelott kezenfekvonek latszott ezt a szфkaszt gondolatban a 9-es szamnal 'kettevagni'. Mint mondtak: a 9 a szamtani (aritmetikai) kozep a 12 es a 6 kozott, mert 12-9=9-6, vagy 12+6 torve kettovel = 9. A ket resz-intervallum mint hurdarab-hosszusag a 12 es a 9, illetoleg a 9 es a 6 kozott egyenlo ugyan, de mint zenei intervallum az elso (12:9), a kvart a kisebb, a masodik (9:6) a kvint pedig a nagyobb. Mint erdekesseget ki szoktak emelni ezzel kapcsolatban az okoriak azt is, hogy ebben az esetben eppen a nagyobb szmok (12 es 9 jelolik a kisebb intervallumot, mig a kisebb szamok (a 9 es a 6) a nagyobb zenei intervallumnak, a kvintnek a jeloloi."

"...megprobaljuk osszeadni a ket-ket tortet: 12/9+9/6 es 12/8+8/6. Az osszeadas eredmenye ezekben az esetekben semmi esetben sem lehet az oktav aranyszama:12/6. Viszont megkapjuk a kivant eredmenyt, ha osszeadas helyett szorzunk; akar a 12/9-et szorozzuk a 9/6-dal, akar a 12/6-ot a 8/6-dal, az eredmeny csakugyan 12/6. A 'kanonon" tehat az "osszeadas' igazaban szorzas. (Termeszetesen ervenyes ez akkor is, ha a kvart, kvint es az oktav "kisebb" aranyszamaival dolgozunk. Tehat 4/3 x 3/2 = 12/6=2/1)."

"Konnyu volt igazolni ugyanezt az osszefuggest a kanonon is a konszonanciak aranyszamaival. Mert ha mind a 12 egyseg utan elobb ugyannank a hurnak 9 egysege szolalt meg, egy kvartot hallottak (12:9) ha viszont a 9 egyseg utan 6 egyseget penditettek meg, ez mar kvint volt (9:6) A ketto egymas utan es egyutt egy oktavot adott (12;6). - De meg is lehet cserelni a reszintervallumok sorrendjet. Mert ha a 12 utan 8 egyseget szolaltattak meg, akkor elobb hallottak egy kvintet (12;8; a 8 egyseg utan viszont a 6 egyseg megpenditese kvartot adott (8;6).
Eloszor is kiderult, hogy ugyanazon a kanonon ket kulonbozo kvartot es ugyanugy ket kulonbozo kvintet is kaphattak. A 12 es a 9 ugyanugy kvart mind a 12 es 8, mind pedig a 9 es a 6 (12:8 = 9:6). Az elso esetben a ket-ket szampar egyforman ugyanazt az aranyt adja, mint a 4:3, a masodikban pedig, mint a 3:2. A ket kvart ugyanugy hasonlo egymashoz mint a ket kvint.
Meg erdekesebb volt ez a muvelet abbol a szempontbol : hogyan adja meg a kvart es a kvint ( vagy megfordiva : a kivint es a kvart) aranyszamainak az osszekapcsolasa az oktav aranyszamat?
A muvelet a kanonon ugy hatott, mintha egyszeru "osszeadas" lett volna. A 12 es a 9 szamok kozoti intervallumhoz (az elnemulo hurszakaszhoz) hozzakaocsoltak a 9 es a 6 kozotti intervallumot ( a masodik elnemulo hurszakaszt). Vagy akar megforditva: a 12 es a 8 kozotti szakaszhoz hozzafuztek a 8 es a 6 kozotti szakaszt. Mind a ket osszekapcsolas ugyanazt a nagyobb intervallumot, a 12 es a 6 kozotti szakaszt adta. Az aritmetikaban azonban ez az osszekapcsolas nem osszeadas, hanem szorzas volt."

"Emlitettuk mar, hogy a nyocfoku skalan az elso es az utolso hang egyutt az oktav. A ket osszeillesztett tetrachordon ezt a szymphoniat ugy kaptak meg, hogy megpenditettek az elso es az utolso ( a nyolcadik hurt. Az oktav felbontasa ket kisebb intervallumra - a kvartra es a kvintre - viszont ketfelekeppen tortenhetett. Vagy megszolaltattak elobb az elso tetrachord elso es negyedik hurjat - ez volt a kvart, - majd pedig utanna megpenditettek a masodik tetrachord utolso (nyolcadik) hurjat; ez volt a rakovetkezo kvint. - De meg is fordithatak a sorrendet. Megszolalhatott eloszor mind a ket tetrachord elso hurja (azaz szamozas szerint az elso es az otodik hur); ez volt egy kvint majd pedig a masodik tetrachord elso es utolso hurja, azaz az otodik es a nyolcadik; ez volt egy rakovetkezo kvart. - Az egymasra kovetkezo kvart es kvint, vagy kvint es kvart mind a ket esetben egy oktavot adott."

"Konnyu megerteni azt is, miert vezettek be - ugy latszik csak valamivel kesobb, a monochorddal vegzett kiserletek utanni idoben - a 12 reszte osztott kanont. Ez ti. lehetove tette, hogy aranyszamokkal is igazoljanak olyan osszefuggeseket, emelyeket jol ismertek a gyakorlatbol mar korabban."

"A konszonanciaknak ket-ket hangja koze eso intervallum gorog neve "diasztema" : szakasz. Valoban, a kerdeses szamok - a hatarpontok - folfoghatok ugy is, mint az intervallumoknak, a ket osszecsengo hang kozott neman marado hurszakasznak a hatarai.
Egy szempontbol azonban megis megteveszto lehet Gaudentius fontebb ismertetett leirasa. Ennek alapjan ti. az lehet a benyomasunk, mintha a konszonanciak aranyszamait csak olyan kiserletek alapjan allapitottak volna meg, amelyekhez nelkulozhetetlen volt a 12 reszre osztott kanon. Ez az elgondolas mindenesetre teves. A regi gorog szakkifejezesek ugyanis azt mutatjak, hogy regebben a konszonanciak aranyainak a megallapitasahoz nem kellett a 12 reszre osztott merovesszo. Eleg volt ehhez egyetlen kifeszitett hur, az un. monochord is. Minden jel arra mutat, hogy a pythagoreusok a kanont - es ezzel egyutt a konszonanciak "intervallumanak" a fogalmat - csak zeneelmeleti munkassaguknak egy viszonylag kesoi fokan vezettek be.
Ahhoz, hogy a monochordon megkapjak az oktav osszhangjat, eleg volt megpenditeni az egesz kifeszitett hurt es rogton utanna ugyanenek a hurnak a felet. Az oktav aranyszama nemcsak 22:6, hanem 2:1 is ( 12:6 = 2:1) Hasonlokeppen ha negy egyenlo reszre osztottak az egesz hurt, akkor mind a 4 egysegnek, majd utanna 3-nak a konszonanciaja a kvart volt : 4:3= 12:9. A harom egyenlo reszre osztott monochordon viszont az egesznek es ketharmad reszenek a konszonanciaja eppen ugy kvint, mint akanonon a 12 es a 8-e (3:2=12:8)."

"...a harom kiserlet a kivant eredmennyel valoban elvegezheto. Megertjuk ebbol meg a kovetkezoket is:

1. A konszonanciak aranyszamait (12:6, 12:9, 12:8) a gorog terminologia hatarpontoknak ( = "horoi" nevezi. Csakugyan ezek a szamok hatarpontok, mert eppen ezekhez allitjak a kifeszitett hur alatt a kanonon azt a is hidat, amely hatarolja, azaz elvalasztja egymastol a megpendulo es a neman marado hurreszeket."

"...mar az un. Pan-sip osszeallitasa es a fuvoshangszeren a lyukaknak egymastol bizonyos tavolsagra valo elhelyezese abbol a gyakorlati megfigyelesbol indul ki, hogy a valtozo hangmagassagnak valamikeppen ossze kell fuggenie a kulonbozo hosszusagokkal. Ezekben az esetekben azonban a hangmagassag a hosszusagon kivul meg egyeb tenyezoktol is fugg. A sokfele tortenetbol, amelyet forrasaink a konszonanciak aranyszamainak megtalalasarol elmondanak, az lehet a legvaloszinubb, amely nemcsak fizikailag igazolhato, es nemcsak megfelel a konszonanciakra vonatozo gorog szakkifejezesek eredeti ertelmenek, hanem amelyeknek ertelmeben a konszonanciak csakugyan egyetlen tenyezonek, ti. a hangforras hosszusaganak a valtozasatol fuggenek. Egyik kesoi forrasunk Gaudentius az i. e. 4. szazadban igy irja le ezt a kiserletet, amely csakugyan igazolhatta a konszonancioknak azokat az aranyszamait, amelyeket ezt megelozoen a gyakorlat alapjan mar sejthettek.
Pythagorasz kifeszitett egy hurt 12 egyenlo reszre osztot merovesszo, az un. kanon fole. Aztan megpenditette az egesz hurt, majd pedig a felet. Azt tapasztalta, hogy az egesz hurnak (mind a 12 egysegnek) majd utanna a fele reszenek ( 6 egysegnek) a pengese az oktav szymphoniat adja. Ezert az oktav aranyszama 12:6. - Utana megismetelte a kiserletet oly modon, hogy elobb a hurnak mind a 12 egysege, majd utana csak 9 egysegnyi resze penduljon meg. Aigy kapta a kvart konszonanciat: 12:9. - Harmadjara viszont az egesz hur (mind a 12 egyseg pengesehez masodiknak 8 egysegnyi resz hangjat szolaltatta meg: az igy nyert kvint aranyszama 12:8 lett."

"De hat akkor azt jelentene ez talan, hogy a pythagoreus Hippaszosz csakugyan ezen az uton, bronzkorongokkal vegzett kiserletek soran fedezte volna fel a konszonanciak aranyszamait?
-Bizonyos, hogy nem. Azok a gorog szakkifejezesek ti. amelyek a konszonanciak aranyszamait mint 'hatarpontokat" (termini, gorogul: horoi), a ket osszecsengo hang kozotti intervallumot pedig mint hosszusagot (diasztema) irjak korul, egyertelmuen azt mutatjak, hogy a kerdeses szamok eredetileg semmi esetre sem lehettek korongok vastagsaganak aranyszamai. Hippaszosz kiserlete a mi szempontunkbol csak azert erdekes, mert fontos idobeli hatart jelol. Hippaszosznak, amikor korongjaival kiserletezett, mar ismernie kellett a szymphoniak aranyszamait. Az o probalkozasanak a celja csak az lehetett, hogy kimutassa: a kerdeses aranyszamok ezen az uton is igazolhatok.
Valami ehhez hasonlot mondanak el forrasaink a hermionei Laszosz-rol is, aki nagyjabol Hippaszosz kortarsa lehetett. O meg, ugy latszik, azonos meretu edenyeket toltott meg vizzel oly modon, hogy a viz folotti levegooszlopok magassaga feleljen meg a keresett aranyoknak. Ebben az esetben a levegooszlopok rezgese, a viszhang adta a megfelelo konszonanciakat. - Ezek azonban csak utolagos igazolasi kiserletek voltak."

"Mert igaz ugyan, hogy kulonbozo magassagu hangokat hallunk, ha kulonbozo sulyu kalapacsok csendulnek meg az ullon, de a keresett konszonanciak aranyszamai nem vezethetok le ket-ket olyan kalapacsnak a sulyabol, amelyekkel esetleg csakugyan sikerul megtalalni egy-egy konszonanciat. Ugyanigy nem kapjuk meg az oktavot, kvartot vagy kvintet akkor sem, ha a konszonanciak aranyszamainak megfelelo sulyokkal feszitunk ki egyenlo hosszusagu hurokat.
- Ez a Pythagorasztol szabadon kitalalt mese csak akkor volna erdekes, ha olyan kerdesekre keresnenk a valaszt : mit tudott, es kikkel, milyen ellenkezo ertelmu allitasokkal szemben, es mit szeretett volna igazolni az, aki csak elkepzelte ezt a nyilvan soha nem ellenorzott 'megfigyelest" es "kiserletet".
Tobb figyelmet erdemel az, amit a fontebb mar emlitett Arisztoxenosz egyik toredekeben (fr. 90) olvasunk egy hasonlo kiserletrol. O ti. azt allitja, hogy a metapontiumi Hippaszosz - a hagyomany szerint Pythagorasz egyik kozvetlen tanitvanya - negy azonos atmeroju bronzkorongot keszitett; a korongok vastagsaga ugy aranylott egymashoz, mint 2:1, 4:3 es 3:2. E korongok megpenditese adta aztan a keresett szymphoniakat. - A meglepo ti. az, hogy ez a fizikai kiserlet csakugyan elvegezheto a kivant eredmennyel: az azonos atmeroju, szabadon lebego korongok rezgesszamai - ha megpenditjuk oket - aranyosak a vastagsaggal - es ezek valoban a megfelelo konszonanciokat adjak."

"" Ha pedig megprobaljuk nyomon kovetni eredetuk fele mind a harom konszonancianak - tehat az oktavnak, a kvartnak es a kvintnek - Theophrasztosztol emlitett regi pythagoreus nevet, azt latjuk, hogy ezek minden valoszinuseg szerint megvoltak mar a Platon elotti korban, tehat az i. e. 5. szazadban is. - Ezert valoszinu az is, hogy a nyolchangu skala csakugyan regi, pythagoreus eredetu zenei rendszer.
Meg erdekesebb az, hogy a pythagoreus elmelet a harom emlitett konszonanciat, a gorog "szymphoniakat" (es szymphonikus hangkozoket is) aranyszamokkal fejezte ki: az oktavnak a 2:1, a kvartnak a 4:3, a kvintnek pedig a 3:2 felelt meg.
Vilagos, hogy ezeknek az aranyszamoknak semmi kozuk sincs a hurok esetleges szamozasahoz. De hat akkor hogyan jottek ra a pythagoreusok, hogy eppen ezek legyenek a kerdeses konszonanciak, illetoleg a megfelelo hangkozok aranyszamai?
Ezt a kerdest a megbizhatobbnak tartott regi okori forrasok nem erintik. Minthogy pedig a kesobbi, uj-pythagoreus irodalom ezzel kapcsolatban tobb fantasztikus, egyertelmuen megcafolhato tortenetet mond el, sikan azt hittek: nem is igen tudhatunk errol semmi bizonyosat. Holott az erdekes eppen az, hogy -legalabb ebben az esetben - aranylag konnyu kivalasztani a sok megbizahatatlan es felrevezeto adat tomegebol a komoly, hitelt erdemlo hagyomanyt.
Sok antik forras azt allitjapl. , hogy maga Pythagorasz a kovetkezo megfigyeles, majd kiserlet alapjan jutott volna el az emlitett aranyszamokhoz/ Egyszer egy kovacsmuhely kozeleben arra lett figyelmes, hogy a kulonbozo kalapacsok, amikor megcsendulnek az ullon, neha az oktavot vagy kvartot, neha meg a kvintet adjak. Elobb megmerte a konszonanciakat ado kalapacsokat, es ugy talalta, hogy ezek 12, 9, 8 es 6 egysegnyi sulyuak. Utanna kiserletezni kezdett egyenlo hosszusagu hurokkal, amelyeket folfuggesztett, es ugyanennyi egysegnyi sulyokkal feszitett ki. Allitolag megint azt tapasztalta, hogy a 12 egysegnyi es a 6 egysegnyi sulyokkal kifeszitett ket hur az oktavot (2:1), a 12 es a 9 a kvartot (4:3), a 12 es a 8 pedig a kvintet (3;2) adja.
Persze ez konnyen megcafolhato kitalalas"

"Arisztotelesz tanitvanyatol, Theophrasztosztol szarmazik viszont az az ertesulesunk, hogy a pythagoreusok eredetileg maskent neveztek a harom konszonanciiat; ok meg egyik esetben sem hasznaltak szamnevet. - Bennunket most fokent az erdekel, hogy az oktav eredeti pythagoreus neve nem 'diapaszon", hanem harmonia volt. Ez a gorog szo pedig igazaban 'Osszeillesztest" vagy "osszeillesztettseget jelent. A "harmonia" nevet pedig nyilvan azert kapta az oktav, mert a nyolchangu skalat eppen ugy kaptak meg, hogy osszeillesztettek" ( = osszekapcsoltak) ket tetrakhordot, azaz ket 4-4 huru hangszert."

" Ismeretes, hogy a szamunkra fontos harom zenei konszonancia latinbol atvett neve - az oktav, a kvart es a kvint - tulajdonkeppen gorog eredetu. Nyilvanvalo ez az utobbi kettonek az eseteben. Mert a latin quarta ( =4.) es a quinta (=5.) pontos forditasa a megfelelo gorog "dia tesszaron" es "dia pente" kifejezeseknek. Nem ilyen egyszeru a helyzet az oktav eseteben. A latin szamnev (octava = 8.) ti. arra utal, hogy amikepp a kvart az elso es a negyedik, a kvint pedig az elso es az otodik, ugyanugy az oktav az elso es a nyolcadik hang (vagy hur) konszonanciaja, vagy mint a gorogok mondtak : ennek a ket hangnak az egyutthangzasa, "szymphoniaja". A gorogoknel azonban az oktac neve nem szamnev, hanem egy koruliras volt: diapaszon; ez a szo pedig azt fejezi ki, hogy az oktav mindenen (azaz inden kozbeeso hangon vagy huron) atmeno) konszonancia. Nyilvanvalo, hogy amikor a latinban egy szamnevvel (az oktava szoval) jeloltek meg ezt a konszonanciat is, akkor tulajdonkeppen ezt az elvet terjesztettek ki erre a harmadik esetre, mely mar korabban, a gorogoknel is ervenyesult a masik kettonek, a kvartnak (4.) es a kvintnek (5.) az elnevezeseben."

"Ami marmost a pythagoraszi zeneelmeletet illeti, mindenekelott emlekeztetnem kell egy olyan konkret nehezsegre, amelyet a kutatas eddig nem tudott feloldani. A leggyakrabban hasznalt gorog hangszernek, a lantnak ti. eredetileg csak 7 hurja volt. Mar a homeroszi Hermesz-himnusz azt allitja, hogy amikor a gyermekisten elkeszitette az elso lantot a megolt teknosbeka panceljabol, het hurt feszitett ki folotte. De ugyanigy igazolja a lant hethurusagat tobb irodalmi adat meg az 5. szazadbol is (Pindarosz, Euripidesz stb.) Igaz, semmi biztosat nem tudunk arrol : mi lehetett ennek az eredeti 7 hurnak a hangolasa? De meg nyugtalanitobb a masik, nyitva marado kerdes: hogyan kaphattak meg ezen a hangszeren a legegyszerubb, alapveto zenei szymphoniat, az oktavot?
A legtobb modern kutato (Pl. Burkert) azt hiszi, hogy a hurok szamat valamikor az i. e. 5. vagy 4. szazad folyaman novelhettek. - Mindenesetre emlitsuk meg: az antik hagyomany azt tartotta, hogy maga Pythagorasz volt az, aki kiegeszitette a skalat a nyolcadik hanggal. Bar a szerzo, aki errol ertesit bennunket, a geraszai Nikomakhosz, forrasnak eleg kesoi ugyan - az i. sz. 1. szazad vege -, de megsem lehetetlen, hogy az adat lenyegeben megis hitelt erdemlo. Pytahagorasz vagy a regi pythagoreusok lehettek azok, akik megteremtettek a 8 hangu skalat. "

"Ha tehat az aranyokrol szolo tanitas torteneterol akarunk beszelni, vazolnunk kell elobb a zeneelmelet nehany problemajat.
Arisztotelesz (Met. 985 b 31) azt allitja: a pythagoreusok rajottek arra, hogy a zenei harmoniak szamoktol es aranyoktol fuggenek. Platon pedig kiegesziti ezt az allitast azzal, hogy a pythagoreusok szerint a csillagaszat (az asztronomia ) es a zene ket testvertudomany: az egyik a lathato egitestek mozgasaban, a masik pedig a hallhato szimfoniakban keresi a torvenyeket mint szamokat."

"Ez az aranyelmelet csupa olyan, azota is megtartott - vagy legfeljebb latinra leforditott - gorog szakkifejezest hasznal, melyet eredetileg a pythagoreus zeneelmelet teremtett meg, es amely innen kerult at mind az aritmetikaba, mind a geometriaba."

"...nem ismerunk olyan rendszeresen folepitett aranyelmeletet, mint amilyen az Euklidesze, meg akkor sem, ha eltekintunk most muvenek kimutathatoan kesobbi (tehat mar nem pythagoreus ) eredetu reszeitol - sem az egyiptomi sem a babiloni tudomanybol."

"Kozismert, hogy abban a matematikaban, melyet Euklidesz redszeres muvebol ismerunk, rendkivul nagy szerepet jatszottak az aranyok.
- Nem ketseges ugyan, hogy elmondhato ilyesmi mas okori nepek matematikajarol is, akadt peldaul modern szerzo, aki meggyozoen mutatott ra arra, hogy az egyiptomiaknak szinte a legegyszerubb szamolasi eljarasa is az "arany" gondolatabol indult ki. Csakugyan, alig kepzelheto el barmifele gyakorlati matematika anelkul, hogy azoknak, akik szamolasi vagy meresi muveletet hajtottak vegre, ne lett volna valamifele elkepzelesuk arrol, hogy mi az "arany" es az "aranyossag". - Megis, amikor azt allitjuk, hogy a gorog matematikaban kozepponti szerepe volt az aranyoknak, akkor ennek a tudomanynak ket olyan jellegzetes vonasara gondolunk, amely aligha ervenyes mas okori nep hasonlo jellegu isemereteire."
 
Last edited:

nikosthe

Νίκος Θεοτοκάτος
Ευχαριστώ Σπύρο! Βέβαια τα ουγγρικά δεν μου λένε και πολλά πράγματα, ενώ η αγγλική μετάφραση του Google αφήνει επίσης πολλά κενά. Θα με ενδιέφερε το ελληνικό κείμενο όποτε μπορέσεις.
 

Zambelis Spyros

Παλαιό Μέλος
ΑΠΑΡΧΑΙ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Παράθεση:
Αρχικό μήνυμα απο nikosthe
Ευχαριστώ Σπύρο! Βέβαια τα ουγγρικά δεν μου λένε και πολλά πράγματα, ενώ η αγγλική μετάφραση του Google αφήνει επίσης πολλά κενά. Θα με ενδιέφερε το ελληνικό κείμενο όποτε μπορέσεις.

Καλό ήτανε να διαβάζεις το βιβλίο. Αν θέλεις σου δανείζω. Επίσεις, οι μαθητές του μακαρίτη Szabo, τώρα ερευνητές πρώτης γραµµής, είναι πρόθυμοι να λύσουνε απορίες. Το έργο προσιτό στο κοινό:

Εθνική Βιβλιοθήκη της Ελλάδος
Ιστορία και αποστολή του ιδρύματος, τα τμήματα και οι προσφερόμενες υπηρεσίες προς τους Πολίτες, οι συλλογές και οι εκδόσεις. Πρόσβαση στους ηλεκτρονικούς ...
www.nlg.gr/

Bιβλιοθήκη - ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ
Κύρια αποστολή της Βιβλιοθήκης της Ακαδημίας Αθηνών είναι η πρόσκτηση, φύλαξη, συντήρηση και διαχείριση των βιβλίων, περιοδικών εκδόσεων, δημοσιευμάτων εν ...
www.academyofathens.gr/ecPage.asp?

Βιβλιοθήκη - ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΣΕΛΙΔΑ ΤΕΕ
Η Βιβλιοθήκη του ΤΕΕ είναι μία από τις σημαντικότερες τεxνικές βιβλιοθήκες της xώρας. Ιδρύθηκε περίπου το 1930 και καλύπτει όλα τα θέματα που ενδιαφέρουν ...
library.tee.gr/library/library.htm

Ίδρυμα Ευγενίδου - Βιβλιοθήκη
Πληροφορίες για τη λειτουργία και τους κανονισμούς της βιβλιοθήκης, πρόσβαση σε ηλεκτρονικά περιοδικά, βάσεις δεδομένων και στον κατάλογο της βιβλιοθήκης.
www.eugenfound.edu.gr/
 
Top