[Ερώτηση] Πως προκύπτουν τα κλάσματα της κάθε κλίμακας

[Pappous43]

Μήπως μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει για ποιο λόγο όταν λέμε πρόσθεση λόγων κάνουμε πολ/σμο και όταν λέμε αφαίρεση, κάνουμε διαίρεση;
Ευχαριστώ!

Εἷναι ὅπως ἐδιδασκόμεθα εἰς τήν Ἄλγεβραν (ἕνα βασικόν φρεσκάρισμα δέν βλάπτει).
Ἐάν ὑπολογίζωμεν μέ λογαρίθμους, τότε κάνομε πρόσθεσι λογαρίθμων
ἀντί πολλαπλασιασμοῦ κ.τ.λ.
Τά φυσικά διαστήματα ἐκφράζονται ἀκριβῶς μέ λόγον συχνοτήτων
π.χ. 9/8 σημαίνει περίπου 12,2 μόρια.
Τά μόρια βασίζονται εἰς λογαρίθμους καί ἑπομένως δέν πολλαπλασιάζονται
ἀλλά προστίθενται κ.τ.λ.

 

[ΒΑΙΟΣ ΝΤΕΛΗΣ]

Εἷναι ὅπως ἐδιδασκόμεθα εἰς τήν Ἄλγεβραν (ἕνα βασικόν φρεσκάρισμα δέν βλάπτει).
Ἐάν ὑπολογίζωμεν μέ λογαρίθμους, τότε κάνομε πρόσθεσι λογαρίθμων
ἀντί πολλαπλασιασμοῦ κ.τ.λ.
Τά φυσικά διαστήματα ἐκφράζονται ἀκριβῶς μέ λόγον συχνοτήτων
π.χ. 9/8 σημαίνει περίπου 12,2 μόρια.
Τά μόρια βασίζονται εἰς λογαρίθμους καί ἑπομένως δέν πολλαπλασιάζονται
ἀλλά προστίθενται κ.τ.λ.

Ναι, αυτή είναι η μία λογική...δεν εννοώ αυτή (τέλειωσα το λύκειο πρόπερσυ συν το γεγονός ότι μέχρι τώρα μου χρειάστηκαν οι πράξεις με λογαρίθμους σε κάποια μαθήματα της σχολής μου, οπότε δεν έχω πρόβλημα μ'αυτό)
Πριν εφευρεθούν οι λογάριθμοι, ποια λογική χρησιμοποιούσαν για να πουν ότι δεν προσθαφαιρούμε αλλά πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε;;;
Ευχαριστώ!

 

[Τσούκαλας Λεωνίδας]

Εγω ειμαι πρωτο-ετης φοιτητης, και μου ειναι ακομα φρεσκα τα μαθηματικα. Αλλα με αυτα που διαβαζω, σ' αυτο και σε παρομοια θεματα που αναφερονται σε κλασματα, μου φαινεται πως θα παρατησω τη μουσικη!!

 

[ΒΑΙΟΣ ΝΤΕΛΗΣ]

Εγω ειμαι πρωτο-ετης φοιτητης, και μου ειναι ακομα φρεσκα τα μαθηματικα. Αλλα με αυτα που διαβαζω, σ' αυτο και σε παρομοια θεματα που αναφερονται σε κλασματα, μου φαινεται πως θα παρατησω τη μουσικη!!

χα χα χα χα χα χα!!!
Όχι ρε, μην τα παρατάς!!!
Αν καθήσεις ένα απόγευμα και δεις απ'την αρχή το παρόν θέμα και κάνεις τις πράξεις σε ένα τετράδιο και σημειώσεις τα νούμερα και κατεβάσεις και το αρχείο excel (το 2ο χωρίς τα Div και τις διέσεις) και τα βάλεις εκεί, θα τα καταλάβεις όλα!!
(Αυτή η ερώτηση που έκανα εγώ είναι άνευ σημασίας για τους υπολογισμούς, απλώς κάτι τέτοια με κεντρίζουν πολύ και τα ψάχνω...)
Αν και πάλι δεν τα πιάνεις, απλώς κάνε αυτό που έκανες μέχρι τώρα: άκου, διάβαζε και ψάλε :wink:

 

[nikosthe]

Πριν εφευρεθούν οι λογάριθμοι, ποια λογική χρησιμοποιούσαν για να πουν ότι δεν προσθαφαιρούμε αλλά πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε;;;
Ευχαριστώ!

Εγώ αυτό που ξέρω είναι ότι οι αρχαίοι Έλληνες ήδη το γνώριζαν αυτό, ότι δηλ. οι λόγοι πολλαπλασιάζονται προκειμένου να βρούμε τι διάστημα (λόγος) προκύπτει από τη διαδοχική μουσική εκτέλεση δύο λόγων. Αυτός που μίλησε με πρόσθεση και απλοποίησε τη μουσική σκέψη ήταν ο Αριστόξενος. Σύμφωνα όμως και με μια πετυχημένη παρατήρηση του Γιώργου Λυκούρα, ακόμα και oι ακραιφνείς Πυθαγόρειοι είχαν γεωμετρικό τρόπο σκέψης, όπως φαίνεται από τις ονομασίες που έδωσαν στα διαστήματα ("λείμμα" = ό,τι υπολείπεται για να συμπληρωθεί το τετράχορδο, "αποτομή"= ό,τι απομένει από την τομή του τόνου από το λείμμα κλπ.)

 

[Τσούκαλας Λεωνίδας]

χα χα χα χα χα χα!!!
Όχι ρε, μην τα παρατάς!!!
Αν καθήσεις ένα απόγευμα και δεις απ'την αρχή το παρόν θέμα και κάνεις τις πράξεις σε ένα τετράδιο και σημειώσεις τα νούμερα και κατεβάσεις και το αρχείο excel (το 2ο χωρίς τα Div και τις διέσεις) και τα βάλεις εκεί, θα τα καταλάβεις όλα!!
(Αυτή η ερώτηση που έκανα εγώ είναι άνευ σημασίας για τους υπολογισμούς, απλώς κάτι τέτοια με κεντρίζουν πολύ και τα ψάχνω...)
Αν και πάλι δεν τα πιάνεις, απλώς κάνε αυτό που έκανες μέχρι τώρα: άκου, διάβαζε και ψάλε :wink:

Μουσικη, ξεκινησα να μαθαινω στην ηλικια των 9 ετων. Τωρα, 10 χρονια μετα, φερω καλη τεχνικη καταρτηση!! Μπορω να διαβασω οποιοδηποτε κειμενο, αλλα με τα θεωρητικα, δεν τα παω καθλου καλα!!! Θα καθομουν να διαβασω, αλλα παροτι εχει περασει ηδη ενας χρονος απο τοτε που εδωσα πανελληνιες, αρνουμαι πεισματικα να ανοιξω βιβλιο!! Θελω να παω να παρω διπλωμα οδηγησης, και δεν παω επειδη δεν καθομαι να διαβασω τα σηματα!! Συγγνωμη, αν παρεκλινα του θεματος της συζητησης ..

 

[evangelos]

Μήπως μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει για ποιο λόγο όταν λέμε πρόσθεση λόγων κάνουμε πολ/σμο και όταν λέμε αφαίρεση, κάνουμε διαίρεση;
Ευχαριστώ!

Κανονικά είναι λάθος αυτό. Πολλαπλασιασμός είναι το σωστό.
Προσθέτουμε στο μυαλό μας τα λογικά αριθμητικά διαστήματα (τμήματα κι όχι τους λόγους) που προκύπτουν και καταχρηστικώς το λέμε πρόσθεση.
Να σου δώσω να καταλάβεις αν η χορδή ήταν πίτσα με 8 κομμάτια και από τα 8 κομμάτια "έπαιζες" τα 2 και τα 6 τότε θα "έπαιζες" όλη την χορδή.
Αν την πίτσα τώρα την τρώγαμε όπως χωρίζουμε μια χορδή θα τρώγαμε τα 2/8 *6/8 =12/64=3/16= θα τρώγαμε δηλαδή μόνο ενάμισι κομμάτι πίτσα!!!

Συμπέρασμα: για να αδυνατίσω πρέπει να τρώω τις πίτσες σαν να παίζω βιολί

 

[ΒΑΙΟΣ ΝΤΕΛΗΣ]

Εγώ αυτό που ξέρω είναι ότι οι αρχαίοι Έλληνες ήδη το γνώριζαν αυτό, ότι δηλ. οι λόγοι πολλαπλασιάζονται προκειμένου να βρούμε τι διάστημα (λόγος) προκύπτει από τη διαδοχική μουσική εκτέλεση δύο λόγων. Αυτός που μίλησε με πρόσθεση και απλοποίησε τη μουσική σκέψη ήταν ο Αριστόξενος. Σύμφωνα όμως και με μια πετυχημένη παρατήρηση του Γιώργου Λυκούρα, ακόμα και oι ακραιφνείς Πυθαγόρειοι είχαν γεωμετρικό τρόπο σκέψης, όπως φαίνεται από τις ονομασίες που έδωσαν στα διαστήματα ("λείμμα" = ό,τι υπολείπεται για να συμπληρωθεί το τετράχορδο, "αποτομή"= ό,τι απομένει από την τομή του τόνου από το λείμμα κλπ.)

Είχαν όμως κάποια λογική με την οποία έλεγαν ότι θα πολλαπλασίαζαν και θα διαιρούσαν, αλλά μάλλον δεν την γνωρίζουμε.
Ψάχνοντας λίγο για λογαρίθμους, ιστορία, μετατροπές κτλ βρήκα χρήσιμο (με έκανε να καταλάβω επιπλέον γιατί πρέπει να περάσουμε από λογαρίθμους για να πάμε από τους λόγους στα μόρια ή στα cents, ανάλογα ποια κλίμακα χρησιμοποιούμε) αυτό.
Το θέμα είναι πώς γνώριζαν οι Αρχαίοι Έλληνες ότι πρέπει να πολ/σουμε πχ το 2/3 (διάστημα 5ης) με το 3/4 (διάστημα 4ης) για να πάμε στο 1/2 δηλαδή στην αντιφωνία (το ότι συμβαίνει, είναι εύκολο να το παρατηρήσει κανείς, αλλά το γιατί συμβαίνει είναι αυτό που με καίει). Επειδή όμως είναι εκτός θέματος (και φόρουμ) αυτό το ερώτημα θα πω πως βασικά η ερώτηση μου απαντήθηκε: πολ/ζουμε και διαιρούμε γιατί χρησιμοποιούμε λογαρίθμους και χρησιμοποιούμε λογαρίθμους γιατί ισχύουν αυτά που λέει στο link στην παράγραφο 7.7 Μουσική, οπότε ευχαριστώ για τη βοήθεια!!

 

[ΒΑΙΟΣ ΝΤΕΛΗΣ]

Μουσικη, ξεκινησα να μαθαινω στην ηλικια των 9 ετων. Τωρα, 10 χρονια μετα, φερω καλη τεχνικη καταρτηση!! Μπορω να διαβασω οποιοδηποτε κειμενο, αλλα με τα θεωρητικα, δεν τα παω καθλου καλα!!! Θα καθομουν να διαβασω, αλλα παροτι εχει περασει ηδη ενας χρονος απο τοτε που εδωσα πανελληνιες, αρνουμαι πεισματικα να ανοιξω βιβλιο!! Θελω να παω να παρω διπλωμα οδηγησης, και δεν παω επειδη δεν καθομαι να διαβασω τα σηματα!! Συγγνωμη, αν παρεκλινα του θεματος της συζητησης ..

Χα χα χα!!
κάτσε διάβασε λίγο τα σήματα, γιατί μετά έρχεται η απόλαυση (και οι ευθύνες φυσικά ). Όταν θα οδηγάς θα αισθάνεσαι αρχηγός :wink:

Κανονικά είναι λάθος αυτό. Πολλαπλασιασμός είναι το σωστό.
Προσθέτουμε στο μυαλό μας τα λογικά αριθμητικά διαστήματα (τμήματα κι όχι τους λόγους) που προκύπτουν και καταχρηστικώς το λέμε πρόσθεση.
Να σου δώσω να καταλάβεις αν η χορδή ήταν πίτσα με 8 κομμάτια και από τα 8 κομμάτια "έπαιζες" τα 2 και τα 6 τότε θα "έπαιζες" όλη την χορδή.
Αν την πίτσα τώρα την τρώγαμε όπως χωρίζουμε μια χορδή θα τρώγαμε τα 2/8 *6/8 =12/64=3/16= θα τρώγαμε δηλαδή μόνο ενάμισι κομμάτι πίτσα!!!

Συμπέρασμα: για να αδυνατίσω πρέπει να τρώω τις πίτσες σαν να παίζω βιολί

Ευχαριστώ, τώρα κατάλαβα και τί λάθος έκανα όταν προσπαθούσα να υπολογίσω τα μόρια και μου έβγαινε ότι το 9/8 (μείζων τόνος) δεν είναι 12,23 στα 72, αλλά 8 (αφού έκανα 8/9*72 μόρια/κομμάτια/τμήματα μιας υποτιθέμενης χορδής που βγαίνει 64 και άρα 72-64=8!!!!!! και έλεγα "αυτό δεν γίνεται!!!").
Το συμπέρασμα μου ταιριάζει!!!

 

[haris1963]

Να σου δώσω να καταλάβεις αν η χορδή ήταν πίτσα με 8 κομμάτια και από τα 8 κομμάτια "έπαιζες" τα 2 και τα 6 τότε θα "έπαιζες" όλη την χορδή.
Αν την πίτσα τώρα την τρώγαμε όπως χωρίζουμε μια χορδή θα τρώγαμε τα 2/8 *6/8 =12/64=3/16= θα τρώγαμε δηλαδή μόνο ενάμισι κομμάτι πίτσα!!!

Συμπέρασμα: για να αδυνατίσω πρέπει να τρώω τις πίτσες σαν να παίζω βιολί

Πιο σωστό, θα ήταν παράδειγμα με λουκάνικο χωριάτικο ή κεμπάπ (αλλά από τα μεγάλα σε μήκος, όπως του Θανάση, για να σηκώνουν ...αρμολόγηση), καθώς η ιδέα με τα τμήματα και τους λόγους αναπτύχθηκε πάνω σε χορδές, όχι σε ...τροχούς (έστω και σοφωτάτους :wink!

Συμπέρασμα: κόψε τελείως τις πίτσες και τρώγε τα κεμπάπ, σα να παίζεις ταμπουρά και θ' αδυνατίσεις σίγουρα (κι εγώ μαζί σου)!

 

[haris1963]

Σχετικό το συνημμένο από τον καθ. κ. Χαράλαμπο Σπυρίδη, όπου ξεδιαλύνεται και η διαφορά της πρόσθεσης ή αφαίρεσης μουσικών διαστημάτων, στις περιπτώσεις που υπολογίζουμε τα μη ηχούντα (μη παλλόμενα) τμήματα της χορδής (προσθέτουμε τμήματα) ή τα ηχούντα (παλλόμενα) τμήματα της χορδής (πολλαπλασιασμός ή διαίρεση λόγων τμημάτων). Έχει φυσικά και γενικότερο ενδιαφέρον! :wink:

 

[evangelos]

Πιο σωστό, θα ήταν παράδειγμα με λουκάνικο χωριάτικο ή κεμπάπ (αλλά από τα μεγάλα σε μήκος, όπως του Θανάση, για να σηκώνουν ...αρμολόγηση), καθώς η ιδέα με τα τμήματα και τους λόγους αναπτύχθηκε πάνω σε χορδές, όχι σε ...τροχούς (έστω και σοφωτάτους :wink!

Συμπέρασμα: κόψε τελείως τις πίτσες και τρώγε τα κεμπάπ, σα να παίζεις ταμπουρά και θ' αδυνατίσεις σίγουρα (κι εγώ μαζί σου)!

Η παραλλαγή του τροχού της πίτσας 8 ήχοι-8 κομμάτια πίτσας κι όταν διπλώνει και γίνεται καλτσόνε κἀνει και διπλοπαραλλαγή!
Το κεμπάπ είναι για παρατήρηση στο μονόχορδο

 

[Laosynaktis]

Και μια μπυρίτσα, να δροσιστούμε!

https://www.facebook.com/photo.php?...802555.-2207520000.1375123305.&type=3&theater

 

[evangelos]

Και μια μπυρίτσα, να δροσιστούμε!

https://www.facebook.com/photo.php?...802555.-2207520000.1375123305.&type=3&theater

non filter non filter !!!!! LIKE LIKE!!!!
εγώ τις έπινα με το μέτρο 12 12 στο Becker Brau αν ξαναπάτε να με πάρετε κι εμένα!!! χικ buna diminatsa hik hik

 

[evangelos]

Και μια μπυρίτσα, να δροσιστούμε!

https://www.facebook.com/photo.php?...802555.-2207520000.1375123305.&type=3&theater

Να οι 12άδες http://www.beckerbrau.ro/img/meniu/gustari-calde.jpg

 

[Laosynaktis]

non filter non filter !!!!! LIKE LIKE!!!!
εγώ τις έπινα με το μέτρο 12 12 στο Becker Brau αν ξαναπάτε να με πάρετε κι εμένα!!! χικ buna diminatsa hik hik

Δεν είμαστε στη Ρουμανία εδώ, αλλά στη Βαυαρία, στο Regensburg.
Prost!!! Grüss Gott!

 

[andy]

Μήπως μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει για ποιο λόγο όταν λέμε πρόσθεση λόγων κάνουμε πολ/σμο και όταν λέμε αφαίρεση, κάνουμε διαίρεση;
Ευχαριστώ!

Γιατί η αλληλουχία των διαστημάτων στην μουσική κλίμακα είναι γεωμετρική σειρά, η οποία είναι πολλαπλασιαστική.

Η δε ευρωπαϊκή κλίμακα αποτελεί και γεωμετρική πρόοδο, καθώς έχει σταθερό λόγο λ=2^(1/12).
Αντίθετα, όταν με τη γνωστή λογαριθμική συνάρτηση, μετατρέψουμε τα διαστήματα με κόμματα, τότε έχουμε αριθμητική σειρά η οποία είναι προσθετική.

Για το επίπεδο των μαθηματικών στην Ελλάδα, διάβασε αυτό το άρθρο.

 

[ΒΑΙΟΣ ΝΤΕΛΗΣ]

Γιατί η αλληλουχία των διαστημάτων στην μουσική κλίμακα είναι γεωμετρική σειρά, η οποία είναι πολλαπλασιαστική.

Η δε ευρωπαϊκή κλίμακα αποτελεί και γεωμετρική πρόοδο, καθώς έχει σταθερό λόγο λ=2^(1/12).
Αντίθετα, όταν με τη γνωστή λογαριθμική συνάρτηση, μετατρέψουμε τα διαστήματα με κόμματα, τότε έχουμε αριθμητική σειρά η οποία είναι προσθετική.

Για το επίπεδο των μαθηματικών στην Ελλάδα, διάβασε αυτό το άρθρο.

Οπότε οι Αρχαίοι Έλληνες ( οι Πυθαγόριοι ή οι Αριστοξενικοί ή κάποιοι μεταγενέστεροί τους ίσως κατάλαβαν ότι η γεωμετρική πρόοδος είναι η βάση δημιουργίας των διαστημάτων, οπότε έτσι ήξεραν ότι πολ/ζουμε τους λόγους, αλλά όταν τους μετατρέπουμε σε τμήματα με ακέραιους, κατά το δυνατόν και με συγκερασμούς, αριθμούς, κάνουμε πρόσθεση, αφού πάμε σε αριθμητική πρόοδο.
Ευχαριστώ για την απάντηση!!

Υ.Γ.: τα προβλήματα που αναφέρει το άρθρο τα έζησα πρόσφατα, αλλά το δικό μου το πρόβλημα δεν είναι ούτε η κατανόηση των εννοιών ούτε η εξοικείωση με τις πράξεις (λόγω ενασχόλησής μου, πέρα απ'αυτά που ζητούσε το σχολίο/πανελλαδικές και το φροντιστήριο), αλλά σύνδεση αυτών με τη μουσική, μιας και ποτέ (μέχρι πριν κάνω εκείνη την ερώτηση) δεν επιχείρησα να ασχοληθώ με τα μαθηματικά της μουσικής (φαντάζομαι ότι παραπάνω απ'τους μισούς έχουν το ίδιο πρόβλημα που είχα κι εγώ, ενώ οι άλλοι μισοί έχουν πρόβλημα με τα μαθηματικά αυτά καθ'εαυτά). Αυτά τα λέω για να διευκρινίσω πώς έχει η κατάσταση και για να μην παρεξηγηθώ. Ευχαριστώ, παρεμπιπτόντως, και για το άρθρο!

 

[Παναγιώτης εξ Αιγίου]

Μήπως μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει για ποιο λόγο όταν λέμε πρόσθεση λόγων κάνουμε πολ/σμο και όταν λέμε αφαίρεση, κάνουμε διαίρεση;
Ευχαριστώ!

και η δική μου συνεισφορά στο θέμα σας

http://en.wikipedia.org/wiki/Vibrating_string

 

[andy]

Σχετικό το συνημμένο από τον καθ. κ. Χαράλαμπο Σπυρίδη, όπου ξεδιαλύνεται και η διαφορά της πρόσθεσης ή αφαίρεσης μουσικών διαστημάτων, στις περιπτώσεις που υπολογίζουμε τα μη ηχούντα (μη παλλόμενα) τμήματα της χορδής (προσθέτουμε τμήματα) ή τα ηχούντα (παλλόμενα) τμήματα της χορδής (πολλαπλασιασμός ή διαίρεση λόγων τμημάτων). Έχει φυσικά και γενικότερο ενδιαφέρον! :wink:

Ποιος ο λόγος να γεμίσει τις σελίδες με το όνομά του;
Δεν του έφτανε στο εξώφυλλο;
Μήπως αυτά που γράφει δεν είναι από κάπου αλλού αντιγραμμένα;
Αυτός τα έβγαλε απ' το μυαλό του και θέλει τόσο πολύ να τα οικειοποιηθεί;