Η Κλίμακα του Πλαγίου Δευτέρου κατά τον Χρύσανθο και την Επιτροπή 1881

Παναγιώτης

σκολιοὶ γὰρ λογισμοί, χωρίζουσιν ἀπὸ Θεοῦ
#1
Αγαπητοί φίλοι,

σας παραθέτω ένα άρθρο μου που μόλις τελείωσα την πρόχειρη (draft) έκδοσή του. Συγχωρείστε με για τυχόν αβλεψίες.


Ἡ Κλίμακα τοῦ Πλαγίου Δευτέρου Ἤχου κατά τόν Χρύσανθο καὶ τὴν Ἐπιτροπή 1881

Μέρος τῆς ἐργασίας «Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων», [1]


Δρ. Παν. Παπαδημητρίου

πρόχειρη ἔκδοση 0.9, 28/2/2014.
τοποθεσία ἄρθρου: http://psaltiki.gr/articles/papadimitriou/016b-Xrusan0os-Epitroph-Pl-B-Papadimitriou-v0p9.pdf

(το άρθρο έχει επίσης συναφθεί στο παρόν, και προτείνεται να το δείτε στο επισυναφθέν για καλύτερη ανάγνωση)



1. Γενικά

Ὁ Ἀρχιεπίσκοπος Χρύσανθος ἐκ Μαδύτων, στὸ μικρό του θεωρητικό μᾶς παρέδωσε τὴν κατ’αὐτὸν κλίμακα τοῦ ἤχου τοῦ πλαγίου β’ [2, σ. 42], σὲ μορφὴ ἀκεραίων τμημάτων, χωρὶς νὰ μᾶς δώσει παράλληλα καὶ τὴν ἀντίστοιχη κλίμακα μὲ μορφὴ λόγων/κλασμάτων τὴν ὁποῖα «συγκέρασε». Μαζὶ μὲ τὸ γεγονὸς ὅτι τὰ ἀκέραια τμήματα τοῦ Χρυσάνθου δὲν ἀντιστοιχοῦν ἀκριβῶς στὰ γνωστά μας μόρια [3, 4], ἡ κλίμακα τοῦ πλαγίου β’ τοῦ Χρυσάνθου παραμένει γρίφος ὡς πρὸς τὴν ἀκρίβεια της. Ἐπιπλέον, ἡ Ἐπιτροπή τοῦ 1881 ἔδωσε ἄλλη κλίμακα γιὰ τὸν πλάγιο δεύτερο. Στὴν παροῦσα ἐργασία θὰ δώσουμε μιὰ ἐρευνητικὴ ἀπάντηση στὸ ζήτημα, μὲ τὴν δημιουργία νέων κλιμάκων βασισμένων στα διαστήματα τοῦ Χρυσάνθου καὶ τῆς Ἐπιτροπῆς, προσπαθώντας νὰ ἀπαντήσουμε τὰ μέχρι σήμερα ἀναπάντητα στὸ θέμα ἐρωτήματα.



2. Ἡ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου ἀπὸ τὸ μικρὸ θεωρητικό

Ἡ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου τοῦ πλαγίου δευτέρου δίνεται στὴν εἰκόνα 1 [2, σ. 42].

(Δες επισυναπτόμενη εικόνα)

Εἰκόνα 1. Κλίμακα Πλαγίου Β’ Ἤχου τοῦ Χρυσάνθου.

Ἡ κλίμακα αὐτὴ ἀποτελεῖται ἀπὸ δύο ὅμοια τετράχορδα 7-18-3 (ἄθροισμα 28), διαζευγμένα κατά τόνο μείζονα 12, με συνολικὸ ἄθροισμα τμημάτων 68.
Ὑπάρχουν τρία ζητήματα μὲ αὐτὴν τὴν κλίμακα, καὶ ἐν γένει μὲ τὶς συγκερασμένες κλίμακες τοῦ Χρυσάνθου:

- Δεν μᾶς ἔχει παραδώσει ὁ Χρύσανθος τὴν ἀντίστοιχη ἀσυγκέραστη κλίμακα ἀπὸ τὴν ὁποία συμπέρανε (συγκέρασε) τὴν κλίμακα τῆς εἰκόνας 1, οὔτε ἐπίσης ὁτιδήποτε σχετικοὺς ἀριθμητικοὺς ὑπολογισμούς.
- Τὰ ἀκέραια τμήματα τοῦ Χρυσάνθου δὲν ἀντιστοιχοῦν ἀκριβῶς στὰ γνωστά μας μόρια, ὅπως ἐξάγεται ἀπὸ τὴν σύγκριση τῆς διατονικῆς τοῦ Χρυσάνθου (ἀσυγκέραστη-συγκερασμένη), δές [3, 4, 5].
- Τό 7 τοῦ Χρυσάνθου, στὴν διατονικὴ κλίμακα εἴδαμε ὅτι εἶναι στὴν οὐσία 8 στά 68 ἢ 9 στά 72, δές [3, 4, 5], ὁπότε εἶναι ὑπὸ ἀμφισβήτηση. Ἀντίστοιχα καὶ γιά τό 9 τοῦ Χρυσάνθου.



3. Ἡ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδό μας

Ἡ μοναδικὴ ἀσυγκέραστη κλίμακα ποὺ μᾶς δίνει ὁ Χρύσανθος, [6, σ. 26-28] εἶναι ἡ τοῦ διατονικοῦ γένους:

Νη - 9/8 - Πα - 12/11 - Βου - 88/81 - Γα - 9/8 - Δι - 9/8 - Κε - 12/11 – Ζω' - 88/81 - Νη',

καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:

Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω' Νη'
1 8/9 22/27 3/4 2/3 16/27 44/81 1/2

ἢ ἰσοδύναμα,

Νη Πα Βου Γα Δι Κε Ζω' Νη'
1 8/9 4/5*55/54 3/4 2/3 16/27 8/15*55/54 1/2

ὅπου: 55/54 = 10/9 : 12/11 = 16/15 x 25/24 : 12/11.


Σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδό μας «Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων», [1], καὶ χρησιμοποιώντας ὡς βάση τὴν ἀνωτέρω (ἀσυγκέραστη) διατονικὴ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου, δημιουργήσαμε τὴν ἐξῆς κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου (στὴν «νοοτροπία» τῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου τῆς εἰκόνας 1):


Κλίμακα τοῦ πλαγίου Β’ κατὰ τὸν Χρύσανθο, σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδό μας [1]:


Πα – 88/81 - Βου – 32/27 - Γα – 729/704 - Δι - 9/8 - Κε – 88/81 –Ζω' – 32/27 - Νη' – 729/704 - Πα'



88/81 32/27 729/704 9/8 88/81 32/27 729/704

καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:

Πα Βου Γα Δι Κε Ζω' Νη' Πα’
1 81/88 2187/2816 3/4 2/3 27/44 729/1408 1/2


Ὁ συγκερασμὸς τῆς κλίμακας αὐτῆς σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο συγκερασμοῦ [3] δίνει:

1. Συγκερασμός 68 μορίων:

8 - 17 - 3 - 12 - 8 - 17 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ Φ= 1.0253e-004)

Πα – 8 - Βου – 17 - Γα – 3 - Δι - 12 - Κε – 8 – Ζω’ – 17 - Νη' – 3 - Πα'

Ἡ ὁμοιότητα μὲ τὴν κλίμακα τῆς εἰκόνας 1 εἶναι προφανής. Ἐπιπλέον ἐκεῖ ποὺ ὁ Χρύσανθος ἔχει 7 (πρβλ. εἰκόνα 1), ἡ κλίμακά μας δίνει 8 (ποὺ εἶναι καὶ ἡ σωστὴ ἀντιστοίχιση (τοῦ Χρυσάνθειου διατονικοῦ 7) σέ 68 μόρια ὡς προείπαμε).

2. Συγκερασμός 72 μορίων:

8 - 18 - 4 - 12 - 8 - 18 - 4 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.4779e-004)

3. Συγκερασμός 1200 μορίων:

144 - 294 - 60 - 204 - 144 - 294 - 60 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 3.4055e-007)

Καὶ χάριν πληρότητας οἱ συγκερασμοί γιὰ 66 καί 53 μόρια ἔχουν ὡς ἐξῆς:

Συγκερασμός 66 μορίων:

8 - 16 - 3 - 12 - 8 - 16 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.2402e-004)

Συγκερασμός 53 μορίων:

6 - 13 - 3 - 9 - 6 - 13 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 8.6482e-005)

Κατάλογος μὲ συγκερασμοὺς τῆς κλίμακας μέχρι 100 μόρια δίνεται στὸ παράρτημα τοῦ παρόντος ἄρθρου, βάσει τῆς μεθόδου [3].

Θεωροῦμε, ὅτι ἡ ἀσυγκέραστη κλίμακα (88/81 32/27 729/704 9/8 88/81 32/27 729/704) καὶ ἡ συγκερασμένη κλίμακα στά 68 (8 17 3 12 8 17 3) ποὺ δημιουργήσαμε σὲ αὐτὴν τὴν ἐνότητα, ἀντιπροσωπεύουν κατ’ ἀκρίβεια τὴν κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου στὸν πλάγιο δεύτερο ἤχο (πρβλ. κλίμακα εἰκόνας 1), γιὰ τοὺς λόγους ποὺ προανεφέρθησαν.



4. Ἡ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου

Ἡ ἀσυγκέραστη κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου τῆς Ἐπιτροπῆς, ὡς γνωστὸν εἶναι [7, σ. 19]:

Πα- 256/243 -Βου- 243/200 -Γα- 25/24 - ∆ι - 9/8 -Κε- 256/243 -Ζω'- 243/200 -Νη'- 25/24 -Πα’

Σὲ συγκερασμό 72 μορίων ὡς γνωστὸν ἔχει ὡς [8]:

6-20-4 -12- 6-20-4 (ἀκρίβεια Φ = 1.0350e-004)

Σὲ συγκερασμό 68 μορίων ἔχει ὡς ἐξῆς [8]:

5-19-4- 12- 5-19-4 (ἀκρίβεια Φ = 3.2485e-005)

Βλέπουμε ὅτι ἡ Κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου σέ 68 μόρια ἀπέχει ἀρκετὰ ἀπὸ τοῦ Χρυσάνθου (πρβλ. εἰκόνα 1), καὶ δὲν τὴν προσεγγίζει τόσο ὅσο ἡ κλίμακα ποὺ δημιουργήσαμε στὴν §3 ἐνότητα τοῦ παρόντος.



5. Ἄλλη κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου, βασισμένη στὴν διατονικὴ τῆς Ἐπιτροπῆς 1881, ἀλλὰ σύμφωνα μὲ τὴν «νοοτροπία» τῆς Κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου

Σὲ αὐτὴν τὴν ἐνότητα θὰ δημιουργήσουμε μιὰ ἄλλη κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου, σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο δημιουργίας κλιμάκων [1], χρησιμοποιώντας ὡς βάση τὴν διατονικὴ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς [7], ἀλλὰ σύμφωνα μὲ τὴν «νοοτροπία» τῆς κλίμακας τοῦ πλαγίου δευτέρου τοῦ Χρυσάνθου. Αὐτὴ ἡ κλίμακα ἔχει ὡς ἐξῆς [1]:


Πα – 27/25 - Βου – 32/27 - Γα – 25/24 - Δι - 9/8 - Κε – 27/25 – Ζω’ – 32/27 - Νη' – 25/24 - Πα'



27/25 32/27 25/24 9/8 27/25 32/27 25/24

καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:

Πα Βου Γα Δι Κε Ζω’ Νη' Πα’
1 25/27 25/32 3/4 2/3 50/81 25/48 1/2


Ὁ συγκερασμὸς τῆς κλίμακας αὐτῆς σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο συγκερασμοῦ [3] δίνει:

1. Συγκερασμός 68 μορίων:

7 - 17 - 4 - 12 - 7 - 17 - 4 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ Φ=1.3147e-004)

Πα – 7 - Βου – 17 - Γα – 4 - Δι - 12 - Κε – 7 – Ζω’ – 17 - Νη' – 4 - Πα'

Ἡ ὁμοιότητα αὐτῆς τῆς νέας κλίμακας, μὲ τὴν κλίμακα τῆς εἰκόνας 1 εἶναι ἐπίσης προφανής, ἀλλὰ δὲν τὴν προτείνουμε ὡς «κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου», διότι εἶναι βασισμένη σὲ διαστήματα τῆς Ἐπιτροπῆς.

2. Συγκερασμός 72 μορίων:

8 - 18 - 4 - 12 - 8 - 18 - 4 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 5.0392e-005)

Ὁ συγκερασμὸς σέ 72 δίνει ἀκριβῶς ἴδια κλίμακα μὲ τῆς ἐνότητας §3 (διαφορετικὴ ἀκρίβεια φυσικά, ἀφοῦ εἶναι διαφορετικὲς οἱ ἀσυγκέραστες κλίμακες).

3. Συγκερασμός 1200 μορίων:

133 - 294 - 71 - 204 - 133 - 294 - 71 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.4214e-007)

Καὶ χάριν πληρότητας οἱ συγκερασμοί γιὰ 66 καί 53 μόρια ἔχουν ὡς ἐξῆς:

Συγκερασμός 66 μορίων:

7 - 16 - 4 - 12 - 7 - 16 - 4 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.2712e-004)

Συγκερασμός 53 μορίων:

6 - 13 - 3 - 9 - 6 - 13 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.0822e-005)

Αὐτὴ ἡ κλίμακα τῶν 53 μορίων, συμφωνεῖ μὲ τὴν ἀντίστοιχη συγκερασμένη τῆς §3 ἐνότητας τοῦ παρόντος ἄρθρου.



6. Ἄλλη κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου, βασισμένη στὴν διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου, ἀλλὰ σύμφωνα μὲ τὴν «νοοτροπία» τῆς Κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς


Σὲ αὐτὴν τὴν ἐνότητα θὰ δημιουργήσουμε μιὰ τελευταῖα κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου, σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο δημιουργίας κλιμάκων [1], χρησιμοποιώντας ὡς βάση τὴν διατονικὴ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου, ἀλλὰ σύμφωνα μὲ τὴν «νοοτροπία» τῆς κλίμακας τοῦ πλαγίου δευτέρου τῆς Ἐπιτροπῆς 1881. Ἔχει ὡς ἐξῆς [1]:


Πα– 256/243 -Βου– 11/9 - Γα – 729/704 - Δι - 9/8 - Κε – 256/243 –Ζω’ – 11/9 - Νη' – 729/704 -Πα'



256/243 11/9 729/704 9/8 256/243 11/9 729/704

καὶ σὲ σχετικὰ μήκη χορδῶν:

Πα Βου Γα Δι Κε Ζω’ Νη' Πα’
1 243/256 2187/2816 3/4 2/3 81/128 729/1408 1/2


Ὁ συγκερασμὸς τῆς κλίμακας αὐτῆς σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο συγκερασμοῦ [3] δίνει:

1. Συγκερασμός 68 μορίων:

5 - 20 - 3 - 12 - 5 - 20 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ Φ=9.9482e-005)

Πα – 5 - Βου – 20 - Γα – 3 - Δι - 12 - Κε – 5 – Ζω’ – 20 - Νη' – 3 - Πα'

Ἡ ὁμοιότητα αὐτῆς τῆς νέας κλίμακας μὲ τὴν κλίμακα τοῦ πλαγίου β’ τῆς Ἐπιτροπῆς στά 68 (5-19-4) εἶναι ὀλοφάνερη.

2. Συγκερασμός 72 μορίων:

5 - 21 - 4 - 12 - 5 - 21 - 4 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 7.6277e-005)

Καὶ αὐτὴ ἡ νέα κλίμακα ὀμοιάζει μὲ τὴν κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς (6-20-4).

3. Συγκερασμός 1200 μορίων:

90 - 347 - 61 - 204 - 90 - 347 - 61 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 4.5418e-007).

Καὶ χάριν πληρότητας οἱ συγκερασμοί γιὰ 66 καί 53 μόρια ἔχουν ὡς ἐξῆς:

Συγκερασμός 66 μορίων:

5 - 19 - 3 - 12 - 5 - 19 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.1541e-004)

Συγκερασμός 53 μορίων:

4 - 15 - 3 - 9 - 4 - 15 - 3 (μὲ ἀκρίβεια συγκερασμοῦ 1.0080e-004).



Ἐπίλογος

Σύμφωνα μὲ τὸ γεγονὸς ὅτι δὲν ἔχει ἔρθει στὴν ἀντίληψή μας ἄλλη παρόμοια ἐργασία στὴν κλίμακα τοῦ πλαγίου Β’ τοῦ Χρυσάνθου καὶ τῆς Ἐπιτροπῆς, σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο συνεισφέραμε στὴν Ψαλτικὴ Τέχνη τὰ ἐξῆς:

1. Δημιουργήσαμε τὴν «κατὰ Χρύσανθο» ἀσυγκέραστη κλίμακα τοῦ πλαγίου Β’ ἤχου σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδό μας [1] (ἐνότητα §3 τοῦ παρόντος) βασιζόμενοι στὴν ἀσυγκέραστη διατονικὴ τοῦ Χρυσάνθου.
2. Δώσαμε τὴν ἀντίστοιχη συγκερασμένη κλίμακα, ποὺ μοιάζει καταπληκτικὰ στὴν «γριφώδη» κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου ποὺ μᾶς παρέδωσε στὸ μικρὸ θεωρητικό του (εἰκόνα 1).
3. Δημιουργήσαμε ἄλλες δύο κλίμακες τοῦ πλαγίου δευτέρου, σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο [1]. Μὲ αὐτὲς τὶς κλίμακες καταδείξαμε πῶς θὰ ἦταν ἡ κλίμακα τοῦ Χρυσάνθου ἂν ἀκολουθοῦσε τὴν «νοοτροπία» τῆς Ἐπιτροπῆς (ἐνότητα §6), καὶ ἀντίστροφα πῶς θὰ ἦταν ἡ κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς ἂν ἀκολουθοῦσε τὴν «νοοτροπία» τοῦ Χρυσάνθου (ἐνότητα §5), πάντα σύμφωνα μὲ τὴν μέθοδο δημιουργίας κλιμάκων [1]. Οἱ ὀμοιότητες εἶναι φανερές.


Τρόπον τινὰ θὰ λέγαμε ὅτι ἡ ἐργασία μας αὐτὴ «συμπληρώνει» καὶ «τεκμηριώνει» τὴν διδασκαλία τοῦ Χρυσάνθου στὴν κλίμακα τοῦ πλαγίου δευτέρου ἤχου.

Ἐν περιλήψει, οἱ τρεῖς ἀσυγκέραστες (νέες) κλίμακες τοῦ πλαγίου δευτέρου σύμφωνα μέ τήν μέθοδο [1], ποὺ ἐκτέθηκαν σὲ αὐτὸ τὸ ἄρθρο (μαζὶ μὲ τὴν τῆς Ἐπιτροπῆς) ἔχουν ὡς ἐξῆς:



Κλίμακες Ἤχου πλαγίου τοῦ δευτέρου

1. Κλίμακα βασισμένη σὲ ἀσυγκέραστα διαστήματα Χρυσάνθου, κατὰ τὴν «νοοτροπία» τῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου (ἐνότητα §3)

Ἀσυγκέραστη: 88/81 32/27 729/704 9/8 88/81 32/27 729/704
Μήκη χορδῶν: 1 81/88 2187/2816 3/4 2/3 27/44 729/1408 1/2
Ν=72: 8 18 4 12 8 18 4
Ν=68: 8 17 3 12 8 17 3
Ν=1200: 144 294 60 204 144 294 60


2. Κλίμακα βασισμένη σὲ ἀσυγκέραστα διαστήματα τῆς Ἐπιτροπῆς, κατὰ τὴν «νοοτροπία» τῆς κλίμακας τοῦ Χρυσάνθου (ἐνότητα §5)

Ἀσυγκέραστη: 27/25 32/27 25/24 9/8 27/25 32/27 25/24
Μήκη χορδῶν: 1 25/27 25/32 3/4 2/3 50/81 25/48 1/2
Ν=72: 8 18 4 12 8 18 4
Ν=68: 7 17 4 12 7 17 4
Ν=1200: 133 294 71 204 133 294 71


3. Κλίμακα τῆς Ἐπιτροπῆς 1881 [7] (ἐνότητα §4)

Ἀσυγκέραστη: 256/243 243/200 25/24 9/8 256/243 243/200 25/24
Μήκη χορδῶν: 1 243/256 25/32 3/4 2/3 81/128 25/48 1/2
Ν=72: 6 20 4 12 6 20 4
Ν=68: 5 19 4 12 5 19 4
Ν=1200: 90 337 71 204 90 337 71


4. Κλίμακα βασισμένη σὲ ἀσυγκέραστα διαστήματα Χρυσάνθου, κατὰ τὴν «νοοτροπία» τῆς κλίμακας τῆς Ἐπιτροπῆς (ἐνότητα §6)

Ἀσυγκέραστη: 256/243 11/9 729/704 9/8 256/243 11/9 729/704
Μήκη χορδῶν: 1 243/256 2187/2816 3/4 2/3 81/128 729/1408 1/2
Ν=72: 5 21 4 12 5 21 4
Ν=68: 5 20 3 12 5 20 3
Ν=1200: 90 347 61 204 90 347 61



Τέλος καὶ τῷ Θεῷ δόξα.



Βιβλιογραφία

[1] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Μέθοδος Δημιουργίας Κλιμάκων, ἀνέκδοτη· ὑπὸ συγγραφή (2014).
[2] Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, Εἰσαγωγὴ εἰς τὸ Θεωρητικόν καί Πρακτικόν τῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς, Ἐν Παρισίοις, 1821 (ἀνατύπωσις ἐκδ. Κουλτούρα).
[3] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων - οἱ διατονικὲς κλίμακες τοῦ Διδύμου, τῆς Ἐπιτροπῆς, τοῦ Χρυσάνθου, καὶ οἱ συγκράσεις τους, draft v.1, 22/6/2005 and draft v.2, 29/6/2005, http://byzantine-music.gr/Klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html .
[4] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Τὸ ἀριθμητικὸ λάθος τοῦ Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, ὡς πρὸς τὰ τμήματα 12-9-7, καὶ τὸ ἀσυμβίβαστον τῆς μεθοδολογίας του, draft v.1, 12/8/2005 καί draft v.3, 16/8/2005, http://byzantine-music.gr/Klimakes/004_La0os_Xrusan0ou_12-9-7.html .
[5] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Διατονικῶν Κλιμάκων μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 13/9/2005, http://byzantine-music.gr/Klimakes/005a_catalogue_of_all_diatonicsigkerasmoi_upto1200_09132005.pdf .
[6] Χρυσάνθου τοῦ ἐκ Μαδύτων, Θεωρητικὸν Μέγα τῆς Μουσικῆς, Τεργέστη 1832 (ἀνατύπωσις ἐκδ. Κουλτούρα).
[7] Μουσικὴ Ἐπιτροπὴ τοῦ Οἰκ. Πατρ. (1881), Στοιχειώδης διδασκαλία τῆς Ἐκκλησιαστικῆς Μουσικῆς - ἐκπονηθεῖσα ἐπὶ τῇ βάσει τοῦ ψαλτηρίου, Κωνσταντινούπολις 1888 (ἀνατύπ. ἐκδ. Κουλτούρα).
[8] Παν. Δ. Παπαδημητρίου, Κατάλογος τῶν Συγκερασμῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν Χρωματικῶν Κλιμάκων τοῦ Νεχεανὲς μέχρι καὶ σὲ 1200 μουσικὰ διαστήματα (κόμματα), 22/11/2005, http://byzantine-music.gr/Klimakes/005c_catalogue_of_all_NexeanesSigkerasmoi_upto1200_112205.pdf .



Παράρτημα

1. Λίστα μὲ συγκερασμοὺς μέχρι 100 μόρια τῆς κλίμακας:

88/81 32/27 729/704 9/8 88/81 32/27 729/704

Ἡ ἀντίστοιχη συγκερασμένη κλίμακα γιὰ ὁποιοδήποτε Ν δίνεται ὡς ἐξῆς (t, τὸ συγκερασμένο διάνυσμα):

t(3) t(1) t(4) – t(2) - t(3) t(1) t(4)

Ἡ λίστα εἶναι ταξινομημένη ἀνάλογα μὲ τὴν ἀκρίβεια συγκερασμοῦ γιὰ διαφορετικό Ν.

1. N = 41, t = [ 10 7 5 2 ], Phi = 1.1264e-005
2. N = 82, t = [ 20 14 10 4 ], Phi = 1.1264e-005
3. N = 99, t = [ 24 17 12 5 ], Phi = 1.4737e-005
4. N = 77, t = [ 19 13 9 4 ], Phi = 1.5264e-005
5. N = 94, t = [ 23 16 11 5 ], Phi = 1.6098e-005
6. N = 58, t = [ 14 10 7 3 ], Phi = 2.5895e-005
7. N = 65, t = [ 16 11 8 3 ], Phi = 3.3680e-005
8. N = 98, t = [ 24 16 12 5 ], Phi = 3.6723e-005
9. N = 85, t = [ 21 15 10 4 ], Phi = 4.6621e-005
10. N = 84, t = [ 21 14 10 4 ], Phi = 4.6749e-005
11. N = 60, t = [ 15 10 7 3 ], Phi = 4.8532e-005
12. N = 75, t = [ 18 13 9 4 ], Phi = 5.1664e-005
13. N = 91, t = [ 22 15 11 5 ], Phi = 5.4648e-005
14. N = 89, t = [ 22 15 11 4 ], Phi = 5.5258e-005
15. N = 74, t = [ 18 12 9 4 ], Phi = 6.0107e-005
16. N = 93, t = [ 23 15 11 5 ], Phi = 6.5607e-005
17. N = 97, t = [ 24 17 11 5 ], Phi = 6.9189e-005
18. N = 96, t = [ 24 16 11 5 ], Phi = 7.0153e-005
19. N = 92, t = [ 22 16 11 5 ], Phi = 7.4368e-005
20. N = 81, t = [ 20 13 10 4 ], Phi = 7.6146e-005
21. N = 78, t = [ 19 14 9 4 ], Phi = 7.9924e-005
22. N = 90, t = [ 22 16 11 4 ], Phi = 8.1935e-005
23. N = 95, t = [ 23 17 11 5 ], Phi = 8.3661e-005
24. N = 53, t = [ 13 9 6 3 ], Phi = 8.6482e-005
25. N = 70, t = [ 17 12 8 4 ], Phi = 8.7786e-005
26. N = 100, t = [ 25 16 12 5 ], Phi = 9.2160e-005
27. N = 61, t = [ 15 11 7 3 ], Phi = 9.4859e-005
28. N = 87, t = [ 21 15 11 4 ], Phi = 9.5672e-005
29. N = 83, t = [ 20 15 10 4 ], Phi = 1.0027e-004
30. N = 79, t = [ 19 13 10 4 ], Phi = 1.0194e-004
31. N = 68, t = [ 17 12 8 3 ], Phi = 1.0253e-004
32. N = 80, t = [ 20 14 9 4 ], Phi = 1.0479e-004
33. N = 57, t = [ 14 9 7 3 ], Phi = 1.0484e-004
34. N = 86, t = [ 21 14 10 5 ], Phi = 1.0726e-004
35. N = 66, t = [ 16 12 8 3 ], Phi = 1.2402e-004
36. N = 76, t = [ 19 12 9 4 ], Phi = 1.2656e-004
37. N = 69, t = [ 17 11 8 4 ], Phi = 1.4402e-004
38. N = 73, t = [ 18 13 9 3 ], Phi = 1.4675e-004
39. N = 36, t = [ 9 6 4 2 ], Phi = 1.4779e-004
40. N = 72, t = [ 18 12 8 4 ], Phi = 1.4779e-004
41. N = 24, t = [ 6 4 3 1 ], Phi = 1.4932e-004
42. N = 48, t = [ 12 8 6 2 ], Phi = 1.4932e-004
43. N = 63, t = [ 15 11 8 3 ], Phi = 1.4959e-004
44. N = 67, t = [ 17 11 8 3 ], Phi = 1.5271e-004
45. N = 88, t = [ 22 14 11 4 ], Phi = 1.6116e-004
46. N = 62, t = [ 15 10 8 3 ], Phi = 1.6456e-004
47. N = 44, t = [ 11 8 5 2 ], Phi = 1.8354e-004
48. N = 64, t = [ 16 10 8 3 ], Phi = 1.9078e-004
49. N = 50, t = [ 12 8 6 3 ], Phi = 1.9157e-004
50. N = 55, t = [ 13 9 7 3 ], Phi = 2.1233e-004
51. N = 43, t = [ 11 7 5 2 ], Phi = 2.1395e-004
52. N = 49, t = [ 12 9 6 2 ], Phi = 2.1835e-004
53. N = 17, t = [ 4 3 2 1 ], Phi = 2.3418e-004
54. N = 34, t = [ 8 6 4 2 ], Phi = 2.3418e-004
55. N = 51, t = [ 12 9 6 3 ], Phi = 2.3418e-004
56. N = 46, t = [ 11 8 6 2 ], Phi = 2.4073e-004
57. N = 71, t = [ 17 13 8 4 ], Phi = 2.4082e-004
58. N = 59, t = [ 14 11 7 3 ], Phi = 2.5122e-004
59. N = 56, t = [ 14 10 6 3 ], Phi = 2.6282e-004
60. N = 52, t = [ 13 8 6 3 ], Phi = 2.6367e-004
61. N = 54, t = [ 13 10 6 3 ], Phi = 2.7782e-004
62. N = 40, t = [ 10 6 5 2 ], Phi = 3.0400e-004
63. N = 33, t = [ 8 5 4 2 ], Phi = 3.2553e-004
64. N = 42, t = [ 10 8 5 2 ], Phi = 3.3461e-004
65. N = 38, t = [ 9 6 5 2 ], Phi = 3.4908e-004
66. N = 45, t = [ 11 7 6 2 ], Phi = 3.7716e-004
67. N = 37, t = [ 9 7 4 2 ], Phi = 3.9575e-004
68. N = 39, t = [ 9 7 5 2 ], Phi = 4.1666e-004
69. N = 47, t = [ 12 7 6 2 ], Phi = 5.4224e-004
70. N = 32, t = [ 8 6 4 1 ], Phi = 6.2660e-004
71. N = 29, t = [ 7 5 4 1 ], Phi = 6.6567e-004
72. N = 27, t = [ 7 5 3 1 ], Phi = 6.7756e-004
73. N = 25, t = [ 6 5 3 1 ], Phi = 7.0641e-004
74. N = 31, t = [ 8 5 4 1 ], Phi = 7.0832e-004
75. N = 35, t = [ 9 5 4 2 ], Phi = 7.1379e-004
76. N = 19, t = [ 5 3 2 1 ], Phi = 7.6797e-004
77. N = 22, t = [ 5 4 3 1 ], Phi = 8.5872e-004
78. N = 20, t = [ 5 4 2 1 ], Phi = 1.0231e-003
79. N = 28, t = [ 7 4 3 2 ], Phi = 1.1084e-003
80. N = 26, t = [ 7 4 3 1 ], Phi = 1.1180e-003
81. N = 21, t = [ 5 3 3 1 ], Phi = 1.1355e-003
82. N = 30, t = [ 7 6 4 1 ], Phi = 1.2585e-003
83. N = 16, t = [ 4 2 2 1 ], Phi = 1.4091e-003
84. N = 23, t = [ 6 3 3 1 ], Phi = 1.4445e-003
85. N = 18, t = [ 4 4 2 1 ], Phi = 2.5298e-003
86. N = 12, t = [ 3 2 1 1 ], Phi = 2.6395e-003
87. N = 14, t = [ 3 2 2 1 ], Phi = 2.7821e-003
88. N = 15, t = [ 3 3 2 1 ], Phi = 3.7184e-003
89. N = 13, t = [ 3 3 1 1 ], Phi = 5.3688e-003
90. N = 10, t = [ 2 2 1 1 ], Phi = 6.2831e-003
91. N = 9, t = [ 2 1 1 1 ], Phi = 6.7657e-003
92. N = 11, t = [ 3 1 1 1 ], Phi = 7.3024e-003
93. N = 7, t = [ 1 1 1 1 ], Phi = 2.3621e-002

Π. Παπαδημητρίου – Ἡ κλίμακα τοῦ πλ. Β’ κατὰ τὸν Χρύσανθο καὶ τὴν Ἐπιτροπή 1881
 

Attachments

Last edited:
Top