[Ανακοίνωση] Εισηγήσεις Δ. Ανδριώτη περί κλίμακας και διαστημάτων (2ο Συνέδριο του ASBMH)

Δημοσιεύω εδώ τις εισηγήσεις που έκανα στο στο 2ο διεθνές συνέδριο του Αμερικανικού Ιδρύματος Βυζαντινής Μουσικής και Υμνολογίας, που πραγματοποιήθηκε στην Παιανία τον Ιούνιο του 2009.

α΄εισήγηση με θέμα: "Κατατομή κανόνος (με 6 τρόπους) και παραγωγή της σκληρής Πυθαγορείου κλίμακος. Συγκερασμός αυτής σε 53 κόμματα."
View attachment α΄ Κατατομή Κανόνος.pdf


β΄εισήγηση με θέμα: "Βέλτιστος συγκερασμός του οκταχόρδου με επιστημονική μέθοδο, για κάθε κλίμακα"
View attachment β΄ Συγκερασμός Κλιμάκων.pdf


Δημήτρης Ανδριώτης
 
Last edited:

domesticus

Lupus non curat numerum ovium
Πολὺ καλὴ ἡ παρουσίαση, δὲν θὰ ἦταν ὄμως καλύτερο ἴσως νὰ δημοσιευθεῖ πρώτα στὰ Πρακτικὰ καὶ μετὰ νὰ τὴν ἀνεβάσεις;

Καὶ πάλι συγχαρητήρια.
 

Laosynaktis

Παλαιό Μέλος
Αν και δεν έχω παρακολουθήσει όλη την μαθηματική εργασία του Δημήτρη, βρήκα σημεία στην εισήγησή του που μου άρεσαν: τον τρόπο να αντιμετωπίσει το θέμα του συγκερασμού και των προσεγγίσεων με μια γενική μαθηματική μέθοδο, από την οποία προκύπτουν επί μέρους δυνατότητες. Πάντα έψαχνα κάτι τέτοιο γενικώς για την θεωρία των διαστημάτων, γιατί είχα μια ενδόμυχη πεποίθηση ότι οι λόγοι που δίνονται για τα τετράχορδα των γενών είναι μάλλον κάποιες από ένα σύνολο δυνατών λύσεων. Ούτε μπορώ να δώσω λεπτομέρειες και ίσως και το ζήτημα να παρέμεινε μάλλον νεφελώδες στο μυαλό μου (σκέφτηκα την Διοφαντική ανάλυση, αλλά ούτε την θυμόμουνα, ούτε ήξερα αν όντως σχετίζεται, ούτε ασχολήθηκα παραπέρα). Η μέθοδος του Δ.Α. έδειξε νομίζω, με ένα διαφορετικό τρόπο, και τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων προσεγγίσεων που έχουν γίνει με την χρήση μαθ. λόγων (του Χρυσάνθου, της Επιτροπής κλπ), πράγμα που του είπα και προσωπικά.
Καλή συνέχεια και ολοκλήρωση!
 
Πολὺ καλὴ ἡ παρουσίαση, δὲν θὰ ἦταν ὄμως καλύτερο ἴσως νὰ δημοσιευθεῖ πρώτα στὰ Πρακτικὰ καὶ μετὰ νὰ τὴν ἀνεβάσεις;

Καὶ πάλι συγχαρητήρια.

Ευχαριστώ πολύ αγαπητέ Δομέστιχε, αλλά γιατί το λες αυτό;

Εδώ στο συνέδριο την Παρασκευή που μας πέρασε, με είπανε βιβλιογραφικά ανενημέρωτο γιατί έβγαλα ίδιο αποτέλεσμα με κάποιον άλλον το 1986. ΕΛΕΟΣ, τόση πίκρα πια;
Κάποιος πάλι, χωρίς να καταλάβει καν τι είπα, μου είπε κατάμουτρα: "Καλή η προσπάθεια, αλλά δεν θα πετύχει.", με τόση εμπάθεια και μίσος, λες και τους είχα κάνει κακό. ΕΛΕΟΣ, τόση αγραμματοσύνη, τόση εμπάθεια, τόση βλακεία;

ΤΟΣΗ ΜΑΤΑΙΟΔΟΞΙΑ;

Δεν με ενδιαφέρει αν την κλέψουν ή όχι, τη δημοσιεύσουν άλλοι ή όχι, πριν τα πρακτικά.
Αυτό που με ενδιαφέρει είναι να καταλάβουν όλοι ότι αυτά που μας λένε οι περισσότεροι, δήθεν ειδήμονες του χώρου, είναι φούμαρα.
Δεν γράφω κάτι δικό μου άλλωστε, είναι όλα γραμμένα στις βιβλιογραφικές αναφορές που παραθέτω, εγώ απλώς έκανα την συρραφή.


Επιφυλάσσομαι να δημοσιεύσω και την εισήγησή στο τελευταίο συνέδριο, με θέμα "Η εξέλιξη της μουσικής κλίμακος απ' την αρχαιότητα έως σήμερα", αφού την ολοκληρώσω.
 

domesticus

Lupus non curat numerum ovium
Δεν με ενδιαφέρει αν την κλέψουν ή όχι, τη δημοσιεύσουν άλλοι ή όχι, πριν τα πρακτικά.

Ἀφοῦ δὲν σὲ ἐνοχλεῖ ... γι᾿ αὐτὸ τὸ ἔγραψα.

Ἀπὸ κεῖ καὶ πέρα, μὴν ἀσχολεῖσαι ποὺ σὲ εἴπαν ἀνενημέρωτο βιβλιογραφικά. Ἄν εἶναι ἀλήθεια φρόντισε νὰ ἐνημερωθεῖς καλύτερα (θετικό), ἄν εἶναι συκοφαντία, τί σὲ νοιάζει; Ἐσὺ κάνεις αὐτὸ ποὺ σὲ εὐχαριστεῖ. Συγκράτησε τὸ θετικὸ σχόλιο τοῦ Λαοσυνάκτη (ἔχει ἀξία) καὶ προχώρα στὸ παρασύνθημα

Νὰ εἶσαι καλά.
 
Ας πούμε μερικά πράγματα για την υλοποίηση του αλγορίθμου:

Προσφέρω δωρεάν, 2 κλάσεις σε γλώσσα προγραμματισμού java (γιατί είναι γνωστό ότι ο κώδικας αυτής της γλώσσας, τρέχει αυτούσιος σε κάθε υπολογιστική πλατφόρμα, Linux, Windows, Mac OS, Solaris, AIX κ.α.), ώστε όποιος γνωρίζει τα στοιχειώδη από προγραμματισμό, να μπορεί να τρέξει την κλάση Sygkerasmos.java και να πάρει τα εξείς αποτελέσματα:

Συγκερασμός Πυθαγορείου Κλίμακος

******************************************************************
*** Συγκερασμός κλίμακος με 7 διαστήματα, για Ν = 53
******************************************************************
1. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
2. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
3. d = 256/243, συγκερασμός σε k = 3.9849373088936186 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 4
4. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
5. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
6. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
7. d = 256/243, συγκερασμός σε k = 3.9849373088936186 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 4
Ο συγκερασμός πραγματοποιείται για Ν = 53
To συνολικό σφάλμα συγκερασμού είναι:
1ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
2. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
3. d = 256/243, k = 4, d' = 1.053705495203023, |d'-d| = 2.0755281619155852E-4
4. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
5. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
6. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
7. d = 256/243, k = 4, d' = 1.053705495203023, |d'-d| = 2.0755281619155852E-4
R(53) = 8.583238154336037E-4, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών

2ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
2. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
3. d = 256/243, k = 4, d' = 1.053705495203023, (d'-d)^2 = 4.307817150904688E-8
4. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
5. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
6. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
7. d = 256/243, k = 4, d' = 1.053705495203023, (d'-d)^2 = 4.307817150904688E-8
R(53) = 1.254448145754087E-7, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών
_________________________________________________________________


******************************************************************
*** Συγκερασμός κλίμακος με 7 διαστήματα, για Ν = 72
******************************************************************
1. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
2. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
3. d = 256/243, συγκερασμός σε k = 5.4134997403837835 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 5
4. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
5. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
6. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
7. d = 256/243, συγκερασμός σε k = 5.4134997403837835 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 5
Ο συγκερασμός δεν πραγματοποιείται για Ν = 72
διότι το άθροισμα των κομμάτων είναι 70.
_________________________________________________________________


******************************************************************
*** Συγκερασμός κλίμακος με 7 διαστήματα, για Ν = 1200
******************************************************************
1. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
2. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
3. d = 256/243, συγκερασμός σε k = 90.22499567306305 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 90
4. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
5. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
6. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
7. d = 256/243, συγκερασμός σε k = 90.22499567306305 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 90
Ο συγκερασμός πραγματοποιείται για Ν = 1200
To συνολικό σφάλμα συγκερασμού είναι:
1ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
2. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
3. d = 256/243, k = 90, d' = 1.0533610359548358, |d'-d| = 1.3690643199559815E-4
4. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
5. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
6. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
7. d = 256/243, k = 90, d' = 1.0533610359548358, |d'-d| = 1.3690643199559815E-4
R(1200) = 5.662363080383148E-4, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών

2ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
2. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
3. d = 256/243, k = 90, d' = 1.0533610359548358, (d'-d)^2 = 1.874337112176534E-8
4. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
5. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
6. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
7. d = 256/243, k = 90, d' = 1.0533610359548358, (d'-d)^2 = 1.874337112176534E-8
R(1200) = 5.458903636920633E-8, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών
_________________________________________________________________




Συγκερασμός Κλίμακος της Επιτροπής του 1881

******************************************************************
*** Συγκερασμός κλίμακος με 7 διαστήματα, για Ν = 53
******************************************************************
1. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
2. d = 800/729, συγκερασμός σε k = 7.106302828732746 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 7
3. d = 27/25, συγκερασμός σε k = 5.88465955660343 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 6
4. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
5. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 9.006025076442555 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 9
6. d = 800/729, συγκερασμός σε k = 7.106302828732746 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 7
7. d = 27/25, συγκερασμός σε k = 5.88465955660343 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 6
Ο συγκερασμός πραγματοποιείται για Ν = 53
To συνολικό σφάλμα συγκερασμού είναι:
1ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
2. d = 800/729, k = 7, d' = 1.0958690931423387, |d'-d| = 0.001524596843943904
3. d = 27/25, k = 6, d' = 1.081630356430202, |d'-d| = 0.001630356430201818
4. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
5. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, |d'-d| = 8.864363661009733E-5
6. d = 800/729, k = 7, d' = 1.0958690931423387, |d'-d| = 0.001524596843943904
7. d = 27/25, k = 6, d' = 1.081630356430202, |d'-d| = 0.001630356430201818
R(53) = 0.006575837458121736, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών

2ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
2. d = 800/729, k = 7, d' = 1.0958690931423387, (d'-d)^2 = 2.3243955365637127E-6
3. d = 27/25, k = 6, d' = 1.081630356430202, (d'-d)^2 = 2.6580620895004157E-6
4. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
5. d = 9/8, k = 9, d' = 1.12491135636339, (d'-d)^2 = 7.857694311462988E-9
6. d = 800/729, k = 7, d' = 1.0958690931423387, (d'-d)^2 = 2.3243955365637127E-6
7. d = 27/25, k = 6, d' = 1.081630356430202, (d'-d)^2 = 2.6580620895004157E-6
R(53) = 9.988488335062646E-6, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών
_________________________________________________________________


******************************************************************
*** Συγκερασμός κλίμακος με 7 διαστήματα, για Ν = 72
******************************************************************
1. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
2. d = 800/729, συγκερασμός σε k = 9.653845352240712 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 10
3. d = 27/25, συγκερασμός σε k = 7.9942544919895635 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 8
4. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
5. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 12.234600103846489 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 12
6. d = 800/729, συγκερασμός σε k = 9.653845352240712 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 10
7. d = 27/25, συγκερασμός σε k = 7.9942544919895635 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 8
Ο συγκερασμός πραγματοποιείται για Ν = 72
To συνολικό σφάλμα συγκερασμού είναι:
1ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 12, d' = 1.122462048309373, |d'-d| = 0.0025379516906269828
2. d = 800/729, k = 10, d' = 1.1010567954531432, |d'-d| = 0.00366310546686055
3. d = 27/25, k = 8, d' = 1.080059738892306, |d'-d| = 5.973889230603824E-5
4. d = 9/8, k = 12, d' = 1.122462048309373, |d'-d| = 0.0025379516906269828
5. d = 9/8, k = 12, d' = 1.122462048309373, |d'-d| = 0.0025379516906269828
6. d = 800/729, k = 10, d' = 1.1010567954531432, |d'-d| = 0.00366310546686055
7. d = 27/25, k = 8, d' = 1.080059738892306, |d'-d| = 5.973889230603824E-5
R(72) = 0.015059543790214125, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών

2ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 12, d' = 1.122462048309373, (d'-d)^2 = 6.44119878395636E-6
2. d = 800/729, k = 10, d' = 1.1010567954531432, (d'-d)^2 = 1.3418341661343649E-5
3. d = 27/25, k = 8, d' = 1.080059738892306, (d'-d)^2 = 3.5687352539524348E-9
4. d = 9/8, k = 12, d' = 1.122462048309373, (d'-d)^2 = 6.44119878395636E-6
5. d = 9/8, k = 12, d' = 1.122462048309373, (d'-d)^2 = 6.44119878395636E-6
6. d = 800/729, k = 10, d' = 1.1010567954531432, (d'-d)^2 = 1.3418341661343649E-5
7. d = 27/25, k = 8, d' = 1.080059738892306, (d'-d)^2 = 3.5687352539524348E-9
R(72) = 4.616741714506428E-5, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών
_________________________________________________________________


******************************************************************
*** Συγκερασμός κλίμακος με 7 διαστήματα, για Ν = 1200
******************************************************************
1. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
2. d = 800/729, συγκερασμός σε k = 160.8974225373452 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 161
3. d = 27/25, συγκερασμός σε k = 133.23757486649274 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 133
4. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
5. d = 9/8, συγκερασμός σε k = 203.91000173077487 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 204
6. d = 800/729, συγκερασμός σε k = 160.8974225373452 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 161
7. d = 27/25, συγκερασμός σε k = 133.23757486649274 , όπου με στρογγυλοποίηση k = 133
Ο συγκερασμός πραγματοποιείται για Ν = 1200
To συνολικό σφάλμα συγκερασμού είναι:
1ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
2. d = 800/729, k = 161, d' = 1.0974587136584208, |d'-d| = 6.502367213823135E-5
3. d = 27/25, k = 133, d' = 1.0798518032546571, |d'-d| = 1.4819674534294336E-4
4. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
5. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, |d'-d| = 5.84846888094237E-5
6. d = 800/729, k = 161, d' = 1.0974587136584208, |d'-d| = 6.502367213823135E-5
7. d = 27/25, k = 133, d' = 1.0798518032546571, |d'-d| = 1.4819674534294336E-4
R(1200) = 6.018949013906205E-4, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών

2ος τρόπος:
-----------
1. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
2. d = 800/729, k = 161, d' = 1.0974587136584208, (d'-d)^2 = 4.2280779383402034E-9
3. d = 27/25, k = 133, d' = 1.0798518032546571, (d'-d)^2 = 2.1962275330241206E-8
4. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
5. d = 9/8, k = 204, d' = 1.1250584846888094, (d'-d)^2 = 3.42045882513513E-9
6. d = 800/729, k = 161, d' = 1.0974587136584208, (d'-d)^2 = 4.2280779383402034E-9
7. d = 27/25, k = 133, d' = 1.0798518032546571, (d'-d)^2 = 2.1962275330241206E-8
R(1200) = 6.26420830125682E-8, με άθροισμα των απολύτων τιμών των διαφορών
_________________________________________________________________

Ο συγκερασμός γίνεται στην Πυθαγόρειο κλίμακα και στην κλίμακα της Επιτροπής του 1881, για Ν=53, 72 & 1200.

Από κει και πέρα, "παίζοντας" με την μέθοδο main, μπορεί να πάρει όποιον συγκερασμό θέλει, αλλά και να αλλάξει τα διαστήματα κατά πως νομίζει.

Παρατηρούμε λοιπόν, ότι όποιον τρόπο και να επιλέξουμε, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.
Για την Πυθαγόρειο κλίμακα, το R(1200) < R(53) < R(72)*, ενώ για την κλίμακα της Επιτροπής, R(1200) < R(53) < R(72).

(*) Δεν πραγματοποιείται ο συγκερασμός.

Οι κλάσεις είναι 2:
Sygkerasmos.java
Diastima.java
όπου επισυνάπτονται σε μορφή zip.


Η κλάση Diastima.java είναι βοηθητική και πρέπει να βρίσκεται στον ίδιο κατάλογο με την κλάση Sygkerasmos.java, η οποία περιέχει την μέθοδο main για να μπορεί να εκτελεστεί.

Καλή επιτυχία.


Υ.Γ.: Για την δημοσίευση του αλγορίθμου που βρίσκει το μικρότερο σφάλμα, για κάθε Ν, ταξινομώντας τα R(N) κατά αύξουσα τάξη, αλλά και γράφημα με την ακολουθία R(N), επιφυλάσσομαι για το μέλλον.

Υ.Γ.2: Για όποιον ασχολείται με διαφορετική γλώσσα προγραμματισμού, όπως BASIC, Quick Basic, Visual Basic 6.0, C/C++, Fortran, Pascal, C#.NET, Visual Basic.NET, J#.NET κ.α., διατίθεμαι να τον βοηθήσω στην υλοποίηση του αλγορίθμου.
 

Attachments

  • code.zip
    2.1 KB · Views: 13
Last edited:
Αγαπητοί φίλοι,

στις παρούσες εισηγήσεις, διόρθωσα το όνομα του κ. Χαράλαμπου Σπυρίδη, τον οποίον, εκ παραδρομής, ανέφερα ως Χρήστο, στην 5η παραπομπή της βιβλιογραφίας.

Παρακαλώ την επιείκειά σας, καθώς και του κ. Χαράλαμπου Σπυρίδη.

Επίσης, άλλαξα στην 2η εισήγηση, την 8η παραπομπή της βιβλιογραφίας, αναφέροντας ξεκάθαρα πλέον, την εργασία του κ. Παπαδημητρίου, "Μέθοδος συγκερασμοῦ κλιμάκων" και όχι μόνο το site, όπως πριν.


Ευχαριστώ
 
Top