Γαϊτάνη Αντωνία «Σχέση Μαθηµατικών και Μουσικής µέσω Αρχαίων Ελληνικών Kειµένων»

Γαϊτάνη Αντωνία
«Σχέση Μαθηµατικών και Μουσικής µέσω Αρχαίων Ελληνικών Kειµένων»

∆ιαπανεπιστηµιακό – ∆ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών “∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”

http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_gaitani.antonia.pdf

Α, φίλε, από σήμερα θα γίνετε ιδιαίτερα δημοφιλής με αυτό που ανεβάσατε...

ΥΓ Ευχαριστούμε για την άοκνη τροφοδοσία με αξιόλογο και "ψαγμένο" υλικό.

Αγαπητέ Γιώργο!

Φόβος, τρόμος, δέος, πανικός... δυστυχώς οι δάσκαλοι μου κατάφεραν να
μισήσω τα μαθηματικά. Τώρα που βλέπω, ερωτεύτηκα, αλλά φοβάμαι δεν μ΄αγαπάει...

Ευτυχώς υπάρχουν κείμενα πολλά, με μουσικές αναφορές. Πρώτα-πρώτα ο Ευάγγελος Σταμάτης. Υπήρξε ο πρώτος σκαπανέας των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών.
Ο Szabo, εξερετικός, ευφυής να διαλευκάνει σφάλματα περί το μονόχορδο. Οι μαθητές του Szabo , τώρα ποια επιστήμονες, μας συμβουλεύουν αν εχουμε απορίες. Όπως ο κύριος Χριστοδουλάκης Θεοδόσιος. Αν έχετε ερωτήσεις, μεταβιβάσω .

[Szabo Arpad, Οι αρχές των ελληνικών μαθηματικών (TR Ungar) Reidel & Akademiai Kiado, Βουδαπέστη 1978 .]

STIEGLITZ, ROBERT R. Minoan Mathematics or Music? 15:1-2 (1978) 127-132. SULLIVAN, R.D. A Petition of Beekeepers at Oxyrhynchus. 10 (1973) 5-13.* SUMMERS, KIRK ...

http://www.papyrology.org/index.php/component/search/music?ordering=newest&searchphrase=all&areas[0]=content&areas[1]=weblinks&areas[2]=contacts&areas[3]=categories&areas[4]=sections&areas[5]=newsfeeds

MINOAN MATHEMATICS OR MUSIC?

''129 1 3 2 9 4 27 8 81 16 243 32 729 64

To obtain a given number in this series we divide the left side of our "pyramid" (powers of 3 =3x) by the right side (powers of 2=2x). If this numerical "pyramid" appears familiar to students of Plato-it is hardly surprising, for in his Timaeus 34C-36C, Plato provides us with a numerical model for the construction of his "World-Soul," using seven numbers-being powers of two and three-traditionally arranged at least from the time of Nicomachus (ca. A.D. 100) as follows: 1 3 2 9 4 27 8 Plato then proceeds to give us detailed instructions about filling the gaps between the numerals with a series of alternating harmonic and arithmetical means, thus producing a series of numbers (or ratios, for most terms consist of integers plus fraction which is expressed as a ratio) from 1 to 27, which are a mathematical form of expressing a musical scale.5 It is precisely the Timaeus scale, generated as it is from the successive powers of three and two, that leads me to believe that the Minoan text from HT is not a mere arithmetical exercise. It is unfortunate that the HT text is broken after the fourth term, but the presence of at least two more I hieroglyphs would indicate that the Minoan progression consisted of at least six terms, as noted above. The key to the meaning of the numerals appears to be the significance of the Minoan hieroglyph before each numeral; but we have as yet not ascertained a phonetic value or meaning for this Minoan sign (L14). Although this sign does occur in other texts from HT we cannot determine its meaning from the context because there are only two or three cases where this sign occurs besides our HT V:8. In the latter, I would suggest that the sign represents a monochord: a segment of string, like that of a harp or lyre, which is held taut at both ends by pegs, or the like. 5 There is a vast literature on the Timaeus scale. For a recent and precise study, see E. G. McClain, "A New Look at Plato's Timaeus," Man and Music I (1975) 341-360.''

Volume 15, Issue: 1-2,

Author: Stieglitz, Robert R.
Collection: Bulletin of the American Society of Papyrologists

http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/tex...6.0015.001:19&frm=frameset&view=image&seq=135

Αμάν βρε Σπύρο,
τη μια μας πετάς κάτι μαθηματικά, αντε να τα θυμηθώ μετά από τόσα χρόνια και απ την άλλη αγγλικά.
Ευχαριστούμε για το δωρεάν βιβλίο. Θα το εκτυπώσω για να το απολαύσω μέσω καύσωνα σε ερημική παραλία.
Τα καλά του καλοκαιριού. :wink:

Αποζημίωση

Γιώργος Λυκούρας «Πυθαγορική Μουσική και Ανατολή»

''Ο Φιλόλαος και η διχοτόμηση του τόνου'' είναι μία έρευνα αφού συνέδεσε τα μαθηματικά με τη μουσική. Αυτή η πρωτότυπη έρευνα του εξασφάλισε το Εμπειρίκιο βραβείο το 2000 .

Κυκεώνα!

Χρειάζεται προσοχή! Ανακατεύεται συχνά το σπουδαίο με το άχρηστο. (Ιάμβλιχος)

Ο Λυκούρας φαίνεται σοβαρός στα μαθηματικά. Όσο και ανήκει σε άλλο τμήμα .

Ιάμβλιχου

Περι του Πυθαγοριου βιου (Συναγωγή)


Πῶς τὴν εὕρεσιν ἐποιήσατο Πυθαγόρας καὶ ἀπὸ ποίας
μεθόδου ἁρμονίας τε καὶ τῶν ἁρμονικῶν λόγων, καὶ πῶς
παρέδωκε τοῖς ἐπηκόοις πᾶσαν τὴν περὶ τούτων ἐπιστήμην.

[...]

ἐπεὶ δὲ ἐνταῦθα γεγόναμεν
ἀφηγούμενοι τὴν Πυθαγόρου παιδευτικὴν σοφίαν, οὐ χεῖρον
καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον ἐφεξῆς εἰπεῖν, ὅπως ἐξεῦρε τὴν
ἁρμονικὴν ἐπιστήμην καὶ τοὺς ἁρμονικοὺς λόγους. ἀρξώμεθα
δὲ μικρὸν ἄνωθεν.
Ἐν φροντίδι ποτὲ καὶ διαλογισμῷ συντεταμένῳ ὑπάρχων,
εἰ ἄρα δύναιτο τῇ ἀκοῇ βοήθειάν τινα ὀργανικὴν ἐπινοῆσαι,
παγίαν καὶ ἀπαραλόγιστον, οἵαν ἡ μὲν ὄψις διὰ τοῦ δια-
βήτου καὶ διὰ τοῦ κανόνος ἢ νὴ Δία διὰ διόπτρας ἔσχεν,
ἡ δ᾽ ἁφὴ διὰ τοῦ ζυγοῦ ἢ διὰ τῆς τῶν μέτρων ἐπινοίας,
παρά τι χαλκοτυπεῖον περιπατῶν ἔκ τινος δαιμονίου συν-
τυχίας ἐπήκουσε ῥαιστήρων σίδηρον ἐπ᾽ ἄκμονι ῥαιόντων
καὶ τοὺς ἤχους παραμὶξ πρὸς ἀλλήλους _συμφωνοτάτου_ς
ἀποδιδόντων, πλὴν μιᾶς συζυγίας. ἐπεγίνωσκε δ᾽ ἐν αὐτοῖς
τήν τε διὰ πασῶν τήν τε διὰ πέντε καὶ τὴν διὰ τεσσάρων
συνῳδίαν, τὴν δὲ μεταξύτητα τῆς τε διὰ τεσσάρων καὶ
τῆς διὰ πέντε ἀσύμφωνον μὲν ἑώρα αὐτὴν καθ᾽ ἑαυτήν,
συμπληρωτικὴν δὲ ἄλλως τῆς ἐν αὐτοῖς μειζονότητος.
ἄσμενος δὴ ὡς κατὰ θεὸν ἀνυομένης αὐτῷ τῆς προθέσεως
εἰσέδραμεν εἰς τὸ χαλκεῖον, καὶ ποικίλαις πείραις παρὰ
τῶν ἐν τοῖς ῥαιστῆρσιν ὄγκων εὑρὼν τὴν διαφορὰν τοῦ
ἤχου, ἀλλ᾽ οὐ παρὰ τὴν τῶν ῥαιόντων βίαν οὐδὲ παρὰ
τὰ σχήματα τῶν σφυρῶν οὐδὲ παρὰ τὴν τοῦ ἐλαυνομένου
σιδήρου μετάθεσιν, σηκώματα ἀκριβῶς ἐκλαβὼν καὶ ῥοπὰς
ἰσαιτάτας τῶν ῥαιστήρων πρὸς ἑαυτὸν ἀπηλλάγη, καὶ ἀπό
τινος ἑνὸς πασσάλου διὰ γωνίας ἐμπεπηγότος τοῖς τοίχοις,
ἵνα μὴ κἀκ τούτου διαφορά τις ὑποφαίνηται ἢ ὅλως
ὑπονοῆται πασσάλων ἰδιαζόντων παραλλαγή, ἀπαρτίσας
τέσσαρας χορδὰς ὁμοΰλους καὶ ἰσοκώλους, ἰσοπαχεῖς τε
καὶ ἰσοστρόφους, ἑκάστην ἀφ᾽ ἑκάστης ἐξήρτησεν, ὁλκὴν
προσδήσας ἐκ τοῦ κάτωθεν μέρους, τὰ δὲ μήκη τῶν χορδῶν
μηχανησάμενος ἐκ παντὸς ἰσαίτατα. εἶτα κρούων ἀνὰ δύο
ἅμα χορδὰς ἐπαλλὰξ συμφωνίας εὕρισκε τὰς προλεχθείσας,
ἄλλην ἐν ἄλλῃ συζυγίᾳ. τὴν μὲν γὰρ ὑπὸ τοῦ μεγίστου
ἐξαρτήματος τεινομένην πρὸς τὴν ὑπὸ τοῦ μικροτάτου διὰ
πασῶν φθεγγομένην κατελάμβανεν· ἦν δὲ ἣ μὲν δώδεκα
τινῶν ὁλκῶν, ἣ δὲ ἕξ. ἐν διπλασίῳ δὴ λόγῳ ἀπέφαινε
τὴν διὰ πασῶν, ὅπερ καὶ αὐτὰ τὰ βάρη ὑπέφαινε. τὴν
δ᾽ αὖ μεγίστην πρὸς τὴν παρὰ τὴν μικροτάτην, οὖσαν
ὀκτὼ ὁλκῶν, διὰ πέντε συμφωνοῦσαν, ἔνθεν ταύτην ἀπέ-
φαινεν ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, ἐν ᾧπερ καὶ αἱ ὁλκαὶ ὑπῆρχον
πρὸς ἀλλήλας· πρὸς δὲ τὴν μεθ᾽ ἑαυτὴν μὲν τῷ βάρει,
τῶν δὲ λοιπῶν μείζονα, ἐννέα σταθμῶν ὑπάρχουσαν, τὴν
διὰ τεσσάρων, ἀναλόγως τοῖς βρίθεσι. καὶ ταύτην δὴ ἐπί-
τριτον ἄντικρυς κατελαμβάνετο, ἡμιολίαν τὴν αὐτὴν φύσει
ὑπάρχουσαν τῆς μικροτάτης _τὰ γὰρ ἐννέα πρὸς τὰ ἓξ
οὕτως ἔχε_ι· ὅνπερ τρόπον ἡ παρὰ τὴν μικρὰν ἡ ὀκτὼ
πρὸς μὲν τὴν τὰ ἓξ ἔχουσαν ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ ἦν, πρὸς
δὲ τὴν τὰ δώδεκα ἐν ἡμιολίῳ. τὸ ἄρα μεταξὺ τῆς διὰ πέντε
καὶ τῆς διὰ τεσσάρων, ᾧ ὑπερέχει ἡ διὰ πέντε τῆς διὰ
τεσσάρων, ἐβεβαιοῦτο ἐν ἐπ-
ογδόῳ λόγῳ ὑπάρχειν, ἐν
ᾧπερ τὰ ἐννέα πρὸς τὰ ὀκτώ,
ἑκατέρως τε ἡ διὰ πασῶν
σύστημα ἠλέγχετο, ἤτοι τῆς
διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων
ἐν συναφῇ, ὡς ὁ διπλάσιος
λόγος ἡμιολίου τε καὶ ἐπιτρί-
του, οἷον δώδεκα, ὀκτώ, ἕξ,
ἢ ἀναστρόφως τῆς διὰ τες-
σάρων καὶ τῆς διὰ πέντε,
ὡς τὸ διπλάσιον ἐπιτρίτου τε καὶ ἡμιολίου, οἷον δώδεκα,
ἐννέα, ἕξ, ἐν τάξει τοιαύτῃ διὰ πασῶν. τυλώσας δὲ καὶ
τὴν χεῖρα καὶ τὴν ἀκοὴν πρὸς τὰ ἐξαρτήματα καὶ βεβαιώ-
σας πρὸς αὐτὰ τὸν τῶν σχέσεων λόγον, μετέθηκεν εὐμηχά-
νως τὴν μὲν τῶν χορδῶν κοινὴν ἀπόδεσιν, τὴν _ἐκ_ τοῦ
διαγωνίου πασσάλου, εἰς τὸν τοῦ ὀργάνου βατῆρα, ὃν
χορδότονον ὠνόμαζε, τὴν δὲ ποσὴν ἐπίτασιν ἀναλόγως
τοῖς βάρεσιν εἰς τὴν τῶν κολλάβων ἄνωθεν σύμμετρον
περιστροφήν. ἐπιβάθρᾳ τε ταύτῃ χρώμενος καὶ οἷον
ἀνεξαπατήτῳ γνώμονι εἰς ποικίλα ὄργανα τὴν πεῖραν λοι-
πὸν ἐξέτεινε, λεκίδων τε κροῦσιν καὶ αὐλοὺς καὶ σύριγγας
καὶ μονόχορδα καὶ τρίγωνα καὶ τὰ παραπλήσια, καὶ σύμ-
φωνον εὕρισκεν ἐν ἅπασι καὶ ἀπαράλλακτον τὴν δι᾽ ἀριθ-
μοῦ κατάληψιν. ὀνομάσας δὲ ὑπάτην μὲν τὸν τοῦ ἓξ ἀριθ-
μοῦ κοινωνοῦντα φθόγγον, μέσην δὲ τὸν τοῦ ὀκτώ, ἐπί-
τριτον αὐτοῦ τυγχάνοντα, παραμέσην δὲ τὸν τοῦ ἐννέα,
τόνῳ τοῦ μέσου ὀξύτερον καὶ δὴ καὶ ἐπόγδοον, νήτην δὲ
τὸν τοῦ δώδεκα, καὶ τὰς μεταξύτητας κατὰ τὸ διατονικὸν
γένος συναναπληρώσας φθόγγοις ἀναλόγοις, οὕτως τὴν
ὀκτάχορδον ἀριθμοῖς συμφώνοις ὑπέταξε, διπλασίῳ, ἡμιο-
λίῳ, ἐπιτρίτῳ, καὶ τῇ τούτων διαφορᾷ, ἐπογδόῳ. τὴν δὲ
πρόβασιν ἀνάγκῃ τινὶ φυσικῇ ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου ἐπὶ τὸ
ὀξύτατον κατὰ τοῦτο τὸ διατονικὸν γένος οὕτως εὕρισκε.
τὸ γὰρ χρωματικὸν καὶ ἐναρμόνιον γένος αὖθίς ποτε ἐκ
τούτου αὐτοῦ διετράνωσεν, ὡς ἐνέσται ποτὲ δεῖξαι, ὅταν
περὶ μουσικῆς λέγωμεν. ἀλλὰ τό γε διατονικὸν γένος τοῦτο
τοὺς βαθμοὺς καὶ τὰς προόδους τοιαύτας τινὰς φυσικὰς
ἔχειν φαίνεται, ἡμιτόνιον, εἶτα τόνος, _εἶτα τόνος,_ καὶ
τοῦτ᾽ ἔστι διὰ τεσσάρων, σύστημα δύο τόνων καὶ τοῦ
λεγομένου ἡμιτονίου. εἶτα προσληφθέντος ἄλλου τόνου,
τουτέστι τοῦ μεσεμβοληθέντος, ἡ διὰ πέντε γίνεται, σύστημα
τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου ὑπάρχουσα. εἶθ᾽ ἑξῆς τούτῳ
ἡμιτόνιον καὶ τόνος καὶ τόνος, ἄλλο διὰ τεσσάρων, τουτέστιν
ἄλλο ἐπίτριτον. ὥστε ἐν μὲν τῇ ἀρχαιοτέρᾳ τῇ ἑπταχόρδῳ
πάντας ἐκ τοῦ βαρυτάτου τοὺς ἀπ᾽ ἀλλήλων τετάρτους
τὴν διὰ τεσσάρων ἀλλήλοις δι᾽ ὅλου συμφωνεῖν, τοῦ ἡμι-
τονίου κατὰ μετάβασιν τήν τε πρώτην καὶ τὴν μέσην καὶ
τὴν τρίτην χώραν μεταλαμβάνοντος κατὰ τὸ τετράχορδον
ἐν δὲ τῇ Πυθαγορικῇ τῇ ὀκταχόρδῳ, ἤτοι κατὰ συναφὴν
συστήματι ὑπαρχούσῃ τετραχόρδου τε καὶ πενταχόρδου,
ἢ κατὰ διάζευξιν δυεῖν τετραχόρδων τόνῳ χωριζομένων
ἀπ᾽ ἀλλήλων, ἀπὸ τῆς βαρυτάτης ἡ προχώρησις ὑπάρξει,
ὥστε τοὺς ἀπ᾽ ἀλλήλων πέμπτους πάντας φθόγγους τὴν
διὰ πέντε συμφωνεῖν ἀλλήλοις, τοῦ ἡμιτονίου προβάδην
εἰς τέσσαρας χώρας μεταβαίνοντος, πρώτην, δευτέραν,
τρίτην, τετάρτην. οὕτω μὲν οὖν τὴν μουσικὴν εὑρεῖν λέ-
γεται, καὶ συστησάμενος αὐτὴν παρέδωκε τοῖς ὑπηκόοις
ἐπὶ πάντα τὰ κάλλιστα.

[ Ο Σαμπό και ο Φαρρινγτον αποδεικνύει πως το πείραμα δεν στέκεται,
είναι εντυπωσιακό απάτη. Ο Σαμβό όμως δεν ησυχάζει, πέρνει ''ανάποδα '' το ψέμα, μας οδηγήσει σε κρυφές αλήθειες. ]

ελικών, όργανο με το οποίο μετρούσαν τις συμφωνίες

(βλ. τα λ. κανών και μονόχορδον ). Ο Πτολεμαίος περιγράφει τον ελικώνα στα Αρμονικά του (ΙΙ, 2· I.D. 41: "Περί χρήσεως του κανόνος παρά το όργανον ελικών"). Ονομαζόταν ελικών μεταφορικά από το όρος των Μουσών ("ό δη Ελικώνα φασίν απ' όρους Ελικώνος, όπου Μούσαι μυθεύονται χορεύειν"· Πορφ. Comment. I.D. 157· επίσης, Παχυμ. Vincent Notices 477 και 479).
Ο Πτολεμαίος δίνει το ακόλουθο διάγραμμα του ελικώνα (I.D. 46):



Διαιρούμε τίς γραμμές ΑΒ και ΒΔ σε δύο ίσα μέρη στα σημεία Ε και Ζ. Ενώνουμε το ΑΖ και ΒΗΓ· κατόπιν, παίρνουμε δύο παράλληλες γραμμές του ΑΓ, ΕΘΚ και ΛΗΜ. ’ν η γραμμή ΑΓ είναι 12, τότε ΘΚ είναι 9, ΗΜ 8, ΖΔ 6 (επίσης ΑΕ και ΕΒ), ΛΗ 4, ΕΘ 3 και ΕΛ 2.
Με αυτό τον τρόπο παίρνουμε όλες τις συμφωνίες και τον τόνο (επόγδοο ).

Πρβ. Αριστείδης, 117-118 Mb, 98-99 R.P.W.-I.


http://www.musipedia.gr/

Το αντικείμενο μπορεί να είναι πειραματικό όργανo; Kai δίπλα;
Ξεγελιέμαι, είναι πίνακα και κύλινδρο παπύρου ;

κανών, κατά την έκφραση του Πορφύριου, "το μέτρο ακρίβειας στις συμμετρίες" (Comment, έκδ. Wallis III, 207). Με τον κανόνα καθορίζονταν οι λόγοι των διαστημάτων.

Ο Πτολεμαίος (έκδ. Wallis Ι, 8, σ. 18, έκδ. I. During, σ. 18) δίνει το ακόλουθο διάγραμμα του κανόνα:



Σημείωση: αβγδ είναι η ευθεία γραμμή του κανόνα ("ευθεία,του κανόνος")· αεηδ η χορδή·αε, ηδ τα σημεία λαβής, επαφής ("τα και εξάμματα")· εβ, ηγ κάθετες γέφυρες ["καβαλάρηδες"] ("κάθετοι μαγάδες")· ; κκ, λλ μικροί κινούμενοι "καβαλάρηδες" ("μαγάδια κινούμενα").

Βλ. Νικόμ. Εγχειρ. 10· Γαυδ. Εισαγ. 11. Επίσης, λ. Ευκλείδης. Ο κανών ήταν όπως το μονόχορδο.

κανόνιον· υποκοριστικό του κανόνα.

http://www.musipedia.gr/

www.arxaiologia.gr/assets/media/PDF/migrated/86_88-91.pdf

ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΩΝ ΔΕΛΦΩΝ
Γιώργος Λυκούρας
Συνθέτης- Μουσικολόγος

Στην αρχαιότητα -συγκεκριμένα αναφερόμαστε στην 4η ή 3η χιλιετηρίδα, ίσως καιπιο πριν-, η μέτρηση του χρόνου της ημέρας έγινε εφικτή με τη συνειδητοποίηση της «πορείας», ημερήσιας και ετήσιας, του ήλιου. Η ελληνική μυθολογία εκφράζει αυτήτη χρονικότητα με τις Ώρες, ενώ γνωρίζουμε την ύπαρξη στους κλασικούς χρόνους τεχνικών μέτρησης που έχουν την καταγωγή τους στα βάθη του παρελθόντος. Για τη μέτρηση του χρόνου, όμως, της νύχτας, τη στιγμή που η ετήσια περιοδικότητα είναι γεγονός, ήταν αναγκαία μια «χαρτογράφηση» του ουρανού. Στην αρχαία Αίγυπτο, η εικόνα του ουρανού «τεμαχίστηκε» στους 36 δεκανούς των 10 ημερών που ολοκλήρωναν τον κύκλο του έτους. Η κίνηση του ουρανού έπρεπε να απεικονιστεί με τη χρησιμοποίηση ορισμένων αστέρων, που προηγούνταν σε κάθε δεκανό. Αυτοί οι αστέρες, όπως, για παράδειγμα, ο Σείριος ή ο Ωρίωνας, όριζαν πολλές φορές και την έναρξη μεγάλων περίόδων-εποχών που απαιτούσε η καθημερινή ζωή για τη γνώση των μελλοντικών επερχομένων. Ησ Ρρ Ι σχέση, ως λόγος της διάρκειας της ημέρας και της νύχτας, σαν μεταβλητός παράγων για κάθε ημέρα του έτους, είχε μέγιστες και ελάχιστες τιμές. Αυτές οι τιμές, όμως. εξαρτιόνταν από τη θέση κάθε τόπου και συγκεκριμένα από την απόσταση από τον ισημερινό,που εννοείτο ως ο σταθερός λόγος ισότητας 1/1ως ταυτότης. Ίση μέρα, ιση νύχτα. Για το βόρειο ημισφαίριο, όπου και το ιστορικό παρελθόν, και φυσικά πολύ πριν από τη γνώση της σφαιρικότητας της γης, έγιναν συνείδηση συγκεκριμένες ημέρες για όλους τους τόπους, όπου εμφανίζονταν οι ακραίες τιμές του λόγου ημέρας-νύχτας.Τις ίδιες ημέρες για όλους τους τόπους εμφανίζονταν οι δύο ισημερίες (εαρινή και φθινοπωρινή), καθώς και σι δύο τροπές (θερινή και χειμερι- 1. Βλέπουμε σε σύγχρονο β της ηπειρωτικής Ευρώπης (ακρωτήριο ντο Ρόκα και Φινιστέρο με μεσημβρινό περίπου -9°) και της Φαοεως του Καυκάσου(μεσημβρινός περίπου 42'). Ακόμη μπορούμε να εκτιμήσουμε ως ορθή τη "Αιαιρορό» των 2 ωρών του Πτολεμαίου ανόμεοα στη Βυπκή Νορβηγία(μεσημβρινός 5') και στην περιοχή ανάμεσα στην Κρήτη και στην Κύπρο, όπου κοι ο μεσημβρινός της Αλεξανδρείας {περίπου 30").
νή), που καθόριζαν τις χαρακτηριστικές σταθερές του ημερολογίου και του εορτολογίου κάθεπεριοχής. Τα δύο μεγέθη, ουσιαστικά, του φωτός και του σκότους και οι ποσοτικές τους εναλλαγές διαμόρφωσαν τα πρώτα μυθολογικά, άρα και θεολογικά δυαρχικά δόγματα, τα φάσματατους και την εξέλιξη τους. Μελετώντας, ως ερευνητής μουσικός, τα αρχαία κείμενα γύρω από την ορμονική κοι μαθηματική επιστήμη αλλά και νεότερους ιστορικούς των μαθηματικών από τον Thomas Heath έως τον Α.Szabo και τους Ο. Neugebauer και D. Dicks, διαπίστωσα ότι οι μουσικοί λόγοι (δηλαδή οι ρητοί αριθμοί της μορφής μ/ν, όπου μ,ν φυσικοί αριθμοί), που αποτελούσαν το 4ο μάθημα των μαθηματικών μέχρι και μετά το μεσαίωνα, ήταν για μια πολύ μεγάλη ιστορική περίοδο και οι εκφραστέςγεωγραφικών και αστρονομικών σταθερών. Ηταν ήδη γνωστές ως γεωγραφικά πλάτη, και με χρήση ως την ύστερη αρχαιότητα, οι θέσεις 3/2 της Βαβυλώνας, 4/3 της Αιγυπτιακή ςΘήβας και 7/5, αργότερα, της Κάτω Αιγύπτου, νότια της Αλεξάνδρειας, κ.ά. Για να γίνω κατανοητός, ο λόγος 7/5 σημαίνει ότι την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου (21 Ιουνίου σήμερα, γύρω στις αρχές Ιουλίου την ομηρική εποχή), είχαμε στη Μέμφιδα διάρκεια ημέρας 14 ώρες και νύχτα 10 ωρών (14/10=7/5), όπου ημέρα εννοούμε το διάστημα από την ανατολή μέχρι τη δύση του ηλίου. Αυτοί λοιπόν οι λόγοι και, φυσικά, οι πιο απλοί και χαρακτηριστικοί καθόρισαν τα «κλίματα», ήτοι τις παράλληλες του ισημερινού, προς βορρά μέχρι τη νότια Ρωσία (2/1) κατά την ομηρική εποχή, και μέχρι γεωγρ. πλάτος 64° από το νμεγάλο μαθηματικό και αοτρονόμο Κλαύδιο Πτολεμαίο στον 2ο αιώνα μ.Χ. (ει«, 1), Στη βόρεια αυτή περιοχή της Σκανδιναβίας παρουσιαζόταν το φαινόμενο της 24ωρης διάρκειας του φωτός, που η μυθολογία είχε αποδώσει στην κατοχή των Υπερβορείων του Απόλλωνος1. Εκτός βέβαια από τη διάσταση βορρά-νότου, έχουμε και τις αποστάσεις κατά την έννοια ανατολή-δύση που σχετίζεται με την «κίνηση» του ήλιου. Ο μύθος της αρπαγής της Ευρώπης από τον Δία, πέραν των άλλων, μας θυμίζει και την «απόσταση» του χρόνου που κάνει ο ήλιος από την ανατολική Φοινίκη έως τη δυτική Κρήτη, Η διαφορά αυτή, ανάμεσα στην Τύρο και στην Ίδη, είναι πραγματικά45' πορείας ήλιου (εικ. 2). Η διαφορετικότητατης γεωγραφίας των τόπων ήταν ασφαλώς γνω-στή και υποθέτουμε άτι η «χαρτογράφηση» τωναστερισμών έδινε τις τιμές των διαφορών απότόπο σε τόπο. Πιθανώς οι μέθοδοι μέτρησης κα-τά τη 2η χιλιετία π,Χ. να μην ήταν και πολύ διαφορετικές από τις μεθόδους που χρησιμοποίησαν ο Ερατοσθένης ή ο Κλαύδιος Πτολεμαίος, για παράδειγμα, όταν είχε υπολογίσει τη μεσημβρινή απόσταση Αλεξάνδρειας-Θούλης σε δύο ώρες «ισημερίας»3. Έχοντας υλικό για έρευνα, διαπίστωσα ότι οι γεωγραφικοί τόποι (με τους χαρακτηριστικούς κωδικούς τους, τους λόγους δηλαδή της θερινής τροπής), είχαν άμεση σχέση με τους μουσικούς λόγους. Όπως είναι γνωστό, ξεκινώντας από την τετρακτύ 1,2,3,4 (μια πυθαγορική κληρονομιά της ορφικής και ίσως παλαιότερης θεολογικής και μουσικομαθηματικής παράδοσης), δημιουργούνται τα μεγέθη των μουσικών συμφωνιών 2/1 (της διαπασών, οκτάβας), 3/2 (της διά πέντε, πενταχόρδου, καθαρής πέμπτης) και 4/3 (της διάτεσσάρων, τετραχόρδου, καθαρής τετάρτης). Φυσικά, με τη μαθηματική θεωρία της μουσικής ,και συγκεκριμένα με τη μέθοδο του Ευκλείδειου αλγόριθμου και τη μέθοδο των αναλογιών, μπορούν να εκφραστούν όλα τα απαραίτητα διαστημστικά μουσικά μεγέθη, δηλαδή το φάσμα των φθόγγων και των μουσικών κλιμάκων, που διαφοροποιούνται από τόπο σε τόπο. Οι ιστορικοί των μαθημαπκών και της αστρονομίας ειδικότερα, μέσα από πηγές3, αναφέρονται στα αστρονομικά βιβλία του μεγάλου μαθηματικού Ευδόξου (της πλατωνικής Ακαδημίας), Ένοτπρον και Φαινόμενα, όπου πραγματευόταν στο γεωγρ. πλάτος 5/3 της Κυζίκου και στο 12/7της Φάσεως (στο ανατολικό άκρο του Ευξείνου Πόντου), γεωγραφικά και αστρονομικά στοιχεία. Οι λόγοι αυτοί της θερινής τροπής στους τόπους αυτούς είναι από τους πρώτους τη τάξει λόγους της αρχαίας λογιστικής, για την προσέγγιση των αρρήτων αριθμών, και συγκεκριμένα του πρώτου τριγώνου 1:1 :ν2. (Η λογιστική αυτή τεχνική, που είναι γνωστή ως σύστημα πλευρικών-διαμετρικών αριθμών εχρησιμοποιείτο στην προσέγγιση των ριζών ν'2, V3, V5 κ.ά.) Οι λόγοι 5/3 και 12/7 του Ευδόξου, από μουσική άποψη μπορούν να εκφράσουν τις «διαστηματικές» αποστάσεις από τον ημιόλιο λόγο 3/2 ,που αποτελούσε τον ιερό λόγο-θέση της Βαβυλώνας. Να σημειωθεί ότι ο 3/2 είναι η ρητή διάσταση του πενταχόρδου και, σε αντίθεση με το λόγο 4/3 του τετραχόρδου που θεωρείται υλικόκαι γήινο, ήταν βέβαιο ότι εξέφραζε στην αρχαιό [...]

πίτα την ηλιοκραπκή παράδοση, όπως μας μεταφέρει ο Αριστείδης ο Κοίντιλιανός. Πιο αναλυτικά, το τετράχορδο είναι γήινο γιατί είναι «τριχή» διαστατόν ως Α/Β Β/Γ ΓΙΑΑ, ενώ το πεντάχορδο περιέχει και μια τέταρτη διάσταση, του αιθέρος, ως Α/Β Β/Γ Γ/Δ Δ/Ε, όπου ο αιθήρ (Ε), ως γνωστόν είναι το 5ο στοιχείο κατά την ορφικο πλατωνική παράδοση. Η διαφορά του τετραχόρδου (4/3) από το πεντάχορδο (3/2) είναι ο τόνος 9/8,(3/2 : 4/3=9/8), που θεωρείται άρρεν-θέίκό στοιχείο, και η διχοτόμηση του, δηλαδή η εύρεση γεωμετρικού μέσου (V'9/8), δεν είναι παρά η γεωμετρική πράξη που οδηγεί στο άρρητο μέσον τηςδιαπασών (2/1) ήτοι στο V2, που συμβολίζει τη δικαιοσύνη του Διός. Η ιερότητα της τετρακτύος, που μάλλον είναι μια ορφική αντανάκλαση, δίνει μυστική και θεολογική διάσταση και στις σχετικές μουσικές συμφωνίες, 2/1, 3/2, 4/3, αλλά και προϊδεάζει ακολουθίες αριθμών σε ζεύγη λόγων, ήτοι αναλογίες ή τριάδες (που ανά δύο ορίζουν λόγους), όπως τη «μαλακή" διατονική κλίμακα του Αριοτόξενου 6-9-15 και τις προγενέστερες τριάδες του Ομήρου 12-38-505, 19-31-506 οι οποίες μάλλον δηλώνουν την εναρμόνια (χρυσή, αργότερα)τομή. Εκτός, όμως, των ρητών λόγων υπάρχουνσχέσεις μεγεθών που οδηγούν στους άρρητους,που συνειδητοποιήθηκαν πολύ νωρίτερα απ' ό,τιιστορικά αποδίδουμε, ήτοι στους V2, V27, στο πκαι στους χρυσούς λόγους φ,χ (Υ5 ± 1/2). Εάν π φαντασία είναι μισή αλήθεια, μπορούμε να εικάσουμε ότι τα άρρητα αυτά μεγέθη (πο υείναι γνωστά βέβαια στην αρχαιότητα με ρητούς λόγους), αντιστοιχούν σε ιερούς ή χαρακτηριστικούς τόπους, σταθμούς, ως γεωγραφικά πλάτη ή ως μεσημβρινοί παράλληλοι, όπως θα λέγαμε σήμερα. Οι σταθμοί αυτοί βέβαια συνέλεγαν αστρονομικά στοιχεία τα οποία χρησιμοποιούνταν και για γεωγραφικούς λόγους. Οι αρχαίοιμας πρόγονοι γνώριζαν, τουλάχιστον από τη 2ηχιλιετία π.Χ., ότι οι σταθμοί της Ρόδου (το νησί του Ηλίου) και της Κυζίκου στην Προποντίδα, έδιναν ταυτόχρονη ανατολή του ήλιου, Ο Ίππαρχος αναφέρει ακόμα ότι ο Εύδοξος εργάστηκε στο σταθμό της Σικελίας, πράγμα που σημαίνει ότι υπήρχαν μεσογειακοί ενδιάμεσοι σταθμοί ανάμεσα στα άκρα της Ευρώπης και στα άκρα της Ευρώπης ξέρουμε ότι συναντώνται ο Άτλαντας και ο Προμηθέας, που τα ορίζουν ως μύθος. Και αυτό βέβαια είναι μια μυθική γεωγραφία (εικ. 3). Για να γίνει όμως ο μύθος ιστορία, για να υπάρξει δηλαδή ικανή προσέγγιση βεβαιότητας, απαιτούνται οργανωμένες ερευνητικές προσπάθειες και συγκέντρωση πολλών πληροφοριών και στοιχείων. Ίσως είναι τυχαίο, ο άρρητος ^2 = 1,4142 ως κλίμα, ως γεωγρ. πλάτος δηλαδή, να αποδίδει τον τόπο της Ηλιούπολης της Αιγύπτου, ο V2(η πρώτη δήλια διάσταση), να αντιστοιχεί στο γεωγρ. πλάτος του τέρματος του πλωτού Νείλου(καταρράκτες της Νουβίας) με 21° 10' γεωγρ.πλάτος και ο ^22 (η δεύτερη δήλια διάσταση), να αντιστοιχεί σε γεωγρ. πλάτος 37° 25', όπου τούψος των Κυκλάδων (και συγκεκριμένα περί τηνήσο Δήλο). Για τους Δελφούς όμως, τον «ομφαλό» της γης, η αντίθεση και ενότητα του Απόλλωνα και του Διονύσου, μέσα από τα ιστορικά στοιχεία, από τον ίδιο το ναό του Απόλλωνα, από τα τραγικά κείμενα, από την ελληνική γραμματεία αλλά και από πολλές πληροφορίες έγκριτων ερευνητών, οδηγεί στη βεβαιότητα ότι βρίσκονται στη θέση εκείνη όπου το γεωγρ. πλάτος (σχέση ημέρας-νύχτας, δηλ. Απόλλωνος-Διονύσου 8 κ.ά.), είναι η εικόνα του χρυσού αριθμού φ. (φ= 1,61808....), που γνωρίζουμε από την ευκλείδεια γεωμετρία ως άκρος-μέσος λόγος, στις σχέσεις γεωμετρικών στοιχείων του κανονικού πενταγώνου-αστέρος, στη γεωμετρικά οικονομικότερη αναλογία του σύμπαντος 1/α - α/α+1, που αναφέρει ο Πλάτων στον Τίμαιο, οτο τέλειο ζεύγος φχ=1,φ-χ=1 κ.ά. (εικ. 4). Πράγματι, κατά τη θερινή τροπή, στις 21 Ιουνίου, στους Δελφούς έχουμε διάρκεια ημέρας 14ώρες και 50' ακριβώς. Η νύχτα βέβαια είναι 9ώρες και 10'. Ο λόγος 14 50'/9 10' = 14*6/9'«δίνει τον 1.618, ήτοι τον χρυσό αριθμό φ (που εί-ναι συζυγής με τον χ=0,618). Έτσι οι Δελφοί είνα ιομφαλός, ομφαλός, όμως, όχι χώρου αλλά χρό-νου. Οι Δελφοί 9 βρίσκονται σε γεωγρ. πλάτος 38και 35'. Η Αθήνα με διάρκεια ημέρας 14 ώρες και47' και γεωγρ. πλάτος 38° έχει σχέση 1,605 και η Δήλος με 37 και 25' μας δίνει λόγο ίσο με 1,588... Η «γραμμή•• του γεωγρ. πλάτους των Δελφών περνά στην Ανατολή από τον Τμώλο της Μ.Ασίας, όπου κοι το ιερό μαντείο της Κλάρου. (του Απόλλωνος) και από τον πορθμό του Ευρίπου (όπου η ηλιακή και σεληνιακή παλίρροια 10),στον πορθμό της Μεσσήνης, τον «αυχένα της ηπείρου» κατά τον Διόδωρο Σικελιώτη, στη μεγάλη Ελλάδα, περνώντας από την περιοχή της Ιθάκης, πράγμα που μας εξάπτει τη φαντασία", μέσα από τη γνώση και το μύθο, στα ομηρικά έπη. Η γεωγραφική πραγματικότητα για τους Δελφούς δίνει ακόμη τη θέση ομφαλού και κατά
την έννοια ανατολή-δύοη. εφόσον η «χρυσή τομή» της ηλιακής απόστασης δηλαδή των μεσημβρινών, από το ακρωτήριο Φινιστέρο της Ιβηρικής χερσονήσου στον Ατλαντικό (δυτικό ηπειρωτικό άκρο της Ευρώπης), μέχρι τη δυτική πλευρά του Καυκάσου (ανατολικό άκρο της Ευρώπης),ταυτίζεται με τη θέση του μεσημβρινού των Δελφών. Στο Φινιστέρο έχουμε μεσημβρινό περίπου-9° (δυτικά δηλαδή του Γκρίνουιτς) και στη Φάσιτου Καυκάσου περίπου 42°. Η χρυσή τομή της απόστασης τους (δηλ. 9° + 42° - 51 ) δίνει θέ-ση 51° ■ 0,618 ■ 31 30'ανατολικά από το Φινιστέρο, ήτοι 31° 30' - 9° = 22° 30', που είναι πραγματικά ο μεσημβρινός άξονας Δελφών-Ολύμπου. Να σημειώσουμε ότι το Φινιστέρο και ο Καύκασος βρίσκονται σχεδόν στο ίδιο γεωγραφικό πλάτος (43°). Ο θεός της μουσικής ήταν ο Απόλλων. Από τον ποιητή Αρχίλοχο (7ος αιώνας π.Χ.) έχουμε στοιχεία για τη νέα (η αρκετά παλαιότερη διονυσιακή-διθυραμβική μουσική που δημιουργήθηκε στην Ελλάδα και κορυφώθηκε στο τέλος του Χρυσού Αιώνα στην Αθήνα. Στους Δελφούς ή δηο Απόλλων με τον Διόνυσο εναλλάσσονται σε τιμές και δόξα και αυτά βέβαια έχει σχέση και μετη μουσική αλλά και με τις γεωγραφικές κα ιαστρονομικές γνώσεις του Μαντείου. Ο Διόνυσος παρουσιάζεται αστροχίτων απέναντι στον φωτεινό θεό και ολοκληρώνει το δεσμό της αντίθεσης με τον Απόλλωνα (εικ. 5). Η σύνδεση μουσικών λόγων και κλιμάκων της αρχαιότητας με τα γεωγραφικά και αστρονομικά στοιχεία μπορούν να μας οδηγήσουν σε προσεγγίσεις ερμηνείας για πλήθος από μυθολογικά η και ιστορικά ερωτήματα που έχουμε για τον αρχαίο κόσμο. Έτσι μπορούμε να βρεθούμε στη Σικελική Ορτυγία σαν νοητή προέκταση του Αλφειού, στη μακρινή Θούλη, ή ακόμα στους σταθμούς της Αργοναυτικής Εκστρατείας και είμαστε βέβαιοι ótl η θεωρία της μουσικής με τους λόγους της, τους λόγους της θερινής τροπής κάθε τόπου, είναι ικανή να βοηθήσει. Η μουσική, και με τη μαθηματική της διάσταση, δίνει πραγματικά ένα γερό στήριγμα στις έρευνες που αφορούν την αρχαιογνωσία.

ι Συγκεκριμένο σε γεωγρ. πλάτος 66'. Ο R. Graves, έγκριτος συγγραφέας και ερευνητής, θα ήθελε τους Υπερβόρειους Βρετανούς. Βλ. R. Graves, Ηρακλής, σσσηαξιδιώπις μου. Alien, Αθή-να 1995, α. 705.
2. Η αμφιλεγόμενη Θούλη (μάλλον οι δυτικές ακτές της Νορβηγίας) βρίσκεται σε μεσημβρινό 5° και η Αλεξάνδρεια κοντά στις30°. Η »απόσταση- των δύο ωρών αναφέρεται στη ΓεωγραφικήΥφήγηοη του Πτολεμαίου (βιβλ. Υ III, 3,3) 3. Κυρίως οπό τον αστρονόμο Ίππαρχο το
4. Οιτέσσερις φθόγγοι Α. Β, Γ, Δ τε αντιστοιχία με τα τέσσερα στοιχείο γη, ύδωρ, αήρ. πυρ. Η θεωρίατων αναλογιών στη μουσική συνδέεται με τις αναλογίες των μερών των τεσσάρων αυτών στοιχείων.
5. »Πεντήκοντατοί είσιν ένί μεγάροισι γυναίκες ... τάωνδώδεκα πάσαιάναιοΕίηςέπέβησαν» (Οδ. χ422)
6. «πεντήκοντα μσι ήσαν. άτ' ήλυΒον υίες Αχαιών έννεακαίδεκα μέν μοι ίής Εκ νηδύος ήοαν» (/Α. Ω 495).
7. Το λεγόμενο «Δήλιο πρόβλημα».
8. Ας θυμηθούμε για τον ùióvuoo τον ύμνο του Σοφοκλή «ίώ πύρπνειόντων χοράγ' άστρων, νυχίων φθεγμάτων επίσκοπε» (Σοφοκλής, Αντιγόνη 1145).
9. «πάρ μέσον όμφαλόν εύδένδροιο ρηθέν ματέρος- (Πίνδαρος, Πι/Θ. 4.74). 10. «Εύβοϊδα μέν γήν λεπτός Εύριπου κλύδων», Ίων ο Χίος,Ομφάλη, αποσπ. 1Β. Ο Σοφοκλής ιδανικά συνδέει την ιερότητατων 2 θέσεων, των Δελφών και του Eupinou -μολεϊν καόαρσίωποδ'ι Παρνασαίαν υπέρ κλιτύν, ή στονόεντα πορθμόν» (Λντιγΰ-νη 1142).
11. «Έστιδέ τις νήσος μέσση όλϊπετρήεοσα μεοσηγύς Ιθάκης τε Σάμοιό τε παιπαλοέσσης. Άοτερίς. ού μεγάλη» (Οδ. δ 844).

The Musical Geography of Delphi G. Lykouras In this article the ancient musical ratios, that is the musical fractions still alive in the musical tradition of Greece,the Balkans and Eastern Mediterranean, are related tothe geographical data of ancient sites. Thus, the musical intervalle constants also torni geographical constants and represent the marginal relation between dayand night during the summer solstice, which was deter-mining the geographical latitude of each location. Forexample, for Babylon this relation was 3/2 (three partsday and two parts night during the solstice of June21st), for Cyzicus 5/3 (15 hours day and 9 hours night),while for Alexandria it was 7/5 (14 hours day and 10hours night). Furthermore, it is quite probable that already since the second millennium BC it was known theratio of the perfect "fourth" 4/3. which represents the geographical latitude of the Egyptian Thebes. The ratio between day and night for Delphi, having ageographical latitude 38 35', coincides with the har-monic ratio of the golden mean, which justifies thename of the site "omphalos". In Delphi the duration ofday on June 21st is 14 hours and 50'and that of night 9hours and 10'. This ratio, which also represents the sym-bolism Apollo-Dionysus, is the golden ratio (1.61808...).An analogous interpretation can be applied to themeridian of important ancient sites, on the basis of thedifference o( sunrise and sunset in two locations. In thisway the position of Delphi in the omphalos of Europe iswarranted, since its location is in reality the goldenmean of the solar distance between the Atlantic ot theHesperides and Atlas and the Caucasus of Prometheu

Οι Πυθαγόριοι και η κατάτμησι του τόνου


Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα



Download PDF
Περίληψη: Ένα θέμα, που απασχόλησε τους Πυθαγορείους και προκάλεσε πλήθος συζητήσεων και θεωρητικών τοποθετήσεων των ασχολουμένων έως και πολύ προσφάτως, είναι αυτό της κατατμήσεως του επογδόου τόνου. Στην σε ισχύ Βυζαντινή Διαστηματική εκφράζεται ως τα διαστήματα μείζονος και ελάσσονος ημιτονίου (6,5 και 5,5 κομμάτων της κλίμακος των 72 κομ.). Πρόκειται περί μνήμης, προφανώς μακρυνής, της σχετικής θεωρίας (της κατατμήσεως του επογδόου τόνου), που εσφαλμένως ερμηνεύεται, αφού ο Πυθαγορικός επόγδοος τόνος έχει απορριφθεί από την Πατριαρχική Επιτροπή του 1888 μ.Χ. (επομένως και κάθε σχετικό ζήτημα). Το ερώτημα, που, λογικώς, πρώτο αναφύεται είναι του γιατί θέμα κατατμήσεως του τόνου ετέθη. Αποδεικνύεται στα κάτωθι ότι τελικώς εσφαλμένως ετέθη το ζήτημα εξ'αρχής, διότι οι αρχαίοι δεν κατανοούσαν την έννοια των αρμονικών συχνοτήτων λόγω του οποίου προέκυψαν οι επιμόριοι λόγοι ως ανάγκη μιμήσεως των φυσικών διαστημάτων.



Ανάγκη να αναζητηθούν μέρη του τόνου στις αρμονικές κλίμακες δεν υφίσταται. Τούτο γιατί όλες οι μικρότερες του μείζονος τόνου αξίες, όπως άλλωστε όλοι οι χωρίς αλλοίωσι φθόγγοι της διαπασών, παράγονται ως αρμονικές συχνότητες αλλήλων (δηλαδή αφ' εαυτών αναδεικνύονται). Οι αξίες των βαθμίδων της διαπασών με βάσιν ΝΤΟ παρουσιάζονται στον ΠΙΝΑΚΑ Ι.

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι
ΝΤΟ
ΡΕ
ΜΟ
ΦΑ
ΣΟΛ
ΛΑ
ΣΙ
ΝΤΟ
1
9/8 ή 10/9
5/4
4/3
3/2
27/16 ή 5/3
15/8
2
Το διάγραμμα αναδεικνύει την αλήθεια του ισχυρισμού (όλοι οι φθόγγοι της κλίμακος είναι, όντος, μεταξύ τους αρμονικοί) π.χ.

ο ΣΟΛ είναι ο 3ος αρμονικός του ΝΤΟ: 1 x 3 = 3 ->3/2
ο ΛΑ είναι ο 3ος αρμονικός του ΡΕ: (9/8) x 3 = 27/8 ->27/16 ή (10/9) x 3 = 30/9 = 10/3 ->5/3
ο ΜΙ είναι ο 5ος αρμονικός του ΝΤΟ: 1 x 5 = 5 ->5/4
ο ΝΤΟ είναι ο 3ος αρμονικός του ΦΑ: (4/3) x 3 = 4 ->1, κτλ.
Υπενθυμίζεται, ότι αξίες με μεταξύ τους λόγο δύναμιν του 2 δηλούνται με την ίδια νότα - μαρτυρία. Π.χ. Οι λόγοι 3/8, 3/4, 3/2, 3, 6, 12 μαρτυρούνται με την νότα ΣΟΛ. Οι αλλοιώσεις της αξίας των φθόγγων (υφεσοδιέσεις) των αρμονικών κλιμάκων παρουσιάζονται στον ΠΙΝΑΚΑ ΙΙ.

Πίνακας ΙΙ Λόγοι Αξίες στην κλίμακα των 53 κομ.
Διέσεις 81/80 1 κόμματος
25/24 4 κομμάτων
135/128 5 κομμάτων
Υφέσεις 80/81 5 κομμάτων
24/25 4 κομμάτων
128/135 1 κόμματος
Όπως προηγουμένως, μπορεί να καταδειχθεί και εν προκειμένω, ότι π.χ.

ο ΦΑ δίεσις 5 κομ. είναι ο 5ος αρμονικός του ΡΕ
ο ΣΟΛ ύφεσις 1 κομ. είναι ο 5ος αρμονικός του ΜΙ ύφεσις 5 κομ.
ο ΝΤΟ δίεσις 4 κομ. είναι ο 5ος αρμονικός του ΛΑ κτλ.
Η αρμονική κλίμακα και αλλοιώσεις των αξιών των φθόγγων της καταγράφηκε στον Δυτικό χώρο μερικώς από τον Zarlino κατά τον 16ο μ.Χ. αιώνα. Η καταγραφή συμπληρώθηκε από τον Gaetano Donizetti κατά το πρώτο ήμισυ του 18ου μ.Χ. αιώνος. Στον Ανατολικό χώρο είναι γνωστή από απροσδιορίστου χρόνου.
Είναι βέβαιο, ότι ήταν γνωστή και κατά την εποχή του Πυθαγόρα και, βεβαίως, προ αυτής. Αποδεικτικό αυτού του ισχυρισμού είναι το γεγονός ότι όλα, όπως περιγράφηκαν, παράγονταν και παράγονται κατά την λειτουργία των πνευστών μουσικών οργάνων κατά τρόπον αναγκαστικό (δεν είναι δηλ. αισθητικές επιλογές). Αυτά δεν αποτελούν εμπεδωμένη γνώσι (ούτε πολλών από τους σχετικούς). Ο Πυθαγόρας είναι βέβαιο ότι δεν τα κατανοούσε. Δεν κατανοούσε, γενικώς, τον τρόπο λειτουργίας των πνευστών ούτε το γιατί τα φλάουτα από κάθε θέσιν τους παράγουν διάστημα φυσικής πέμπτης (π.χ. ΝΤΟ - ΣΟΛ ή ΜΙ - ΣΙ κτλ.). Δεν πρέπει να χρεωθή στην νοημοσύνη του αυτό, βεβαίως. Ούτε ο Αριστόξενος εγνώριζε, παρά τους περί του αντιθέτου ισχυρισμούς του, ούτε ο πολύ μεταγενέστερός τους Πρόκλος. Μια απλή εξήγησις είναι ότι οι παραπάνω, όπως και όλοι, αγνοούσαν τα περί κυματικής διαδόσεως της ενεργείας, π.χ. του φωτός ή, εν προκειμένω, της μηχανικής (δηλ. του ήχου). Τα περί κυμάνσεων, ηχητικών συχνοτήτων, τόνων, φθόγγων, αρμονικών κτλ. τους ήταν παντελώς άγνωστα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα δίδει ο Νικόμαχος ο Γερασηνός, ο οποίος ερμηνεύει το ύψος της φωνής ως τάσιν της χορδής. Το παράδοξο είναι ότι χρησιμοποιούσαν όρους, όπως αρμονία, ή αυτοαποκαλούνταν, όσοι είχαν σχέσι με τη Μουσική Διαστηματική (μουσικοί ή μαθηματικοί) αρμονικοί αλλά εννοούσαν με αυτούς το ταίριασμα μάλλον των συμβατών διαστημάτων και τίποτε παραπάνω. Ούτε κατανοούσαν γιατί κάποια διαστήματα ήταν συμβατά.


Η αφορμή για την Πυθαγορική επέμβασι στην θεωρία της Μουσικής (υπήρχαν ήδη κάποιες αρχές διατυπωμένες από τον Λάσο τον Ερμιονέα) είναι απολύτως εμφανής. Μάλλον χωρίς ιδιαιτέρως μεγάλη δυσκολία μας προκύπτει η εικόνα του ετεροκλήτου πλήθους των αυλητών και κιθαριστών διαφόρων φυλών, οι οποίοι περιφέρονταν με σκοπό την επιβίωσι από πόλεως σε πόλιν και από χώρας σε χώραν, μεμονωμένως ή σε μικρές ομάδες, εφοδιασμένοι με ποικίλης προελεύσεως μουσικά όργανα, κουρδισμένα σε μη συμβατές πάντοτε τονικότητες και συστήματα, και που με αυταρέσκεια, αναμένοντας να χαρακτηρισθούν δεύτεροι μετά τον Τέρπανδρο από το ακροατήριό τους, αποπειρώνταν να αποδώσουν διάφορα, από διάφορα ακούσματα, ταξίμια επενδύοντας μουσικώς με αναρμόστους τρόπους θαυμάσια κείμενα δανεισμένα από τον Όμηρο κατά κύριον λόγο. Η διάχυσις του πλούτου κατά την Εποχή αναγωγής, που οφειλόνταν στην σταδιακή ανάπτυξι του εμπορίου, και η συναφής άνοδος του μορφωτικού επιπέδου του λαού αποτελούσαν άριστο θρεπτικό υπόστρωμα για την ανάπτυξι ομάδων πλανοδίων, όπως παραπάνω, καλλιτεχνών (μπουλουκιών) όπως, άλλωστε, και σήμερα. Αξίζει να αναφερθή και το περιλάλητον Άρμα Θέσπιδος. Ο Θέσπις είναι ο Πατριάρχης των μπουλουκιών.
Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι οι εστώτες φθόγγοι της Μουσικής Κλίμακος αποτελούσαν σειρά, η οποία παραγόταν δια της παρεμβολής μεταξύ των άκρων όρων μιας ακολουθίας με μεταξύ τους λόγον τον αριθμό 2 των αρμονικού και αριθμητικού τους μέσων. Οι εστώτες φθόγγοι των ελληνικών μουσικών κλιμάκων είναι ο βασικός και ο δεσπόζων του βαρέως τετραχόρδου και οι ίδιοι του οξέως. Κινητοί εχαρακτηρίζονταν, και πρακτικώς ήσαν, οι ένας ή δύο εμβόλιμοι (στο τετράχορδο). Ως τετράχορδο νοείται το διάστημα τετάρτης π.χ. ΝΤΟ - ΦΑ. Είναι δηλαδή:
ΝΤΟ
ΦΑ
ΣΟΛ
ΝΤΟ
1
2/(1+1/2)=4/3
(1+2)/2=3/2
2
Είναι αυτονόητο, ότι αυτές ήσαν και οι αξίες των αντιστοίχων βαθμίδων των αρμονικών (φυσικών) κλιμάκων, όπως αυτές παράγονταν από τα σε χρήσιν πνευστά μουσικά όργανα (φλάουτα, αυλούς κυλινδρικούς ή κωνικούς (ζουρνάδες), φλογέρες κ.ά.) και όπως, βεβαίως, παράγονται από τα πνευστά και σήμερα (και πάντοτε). Πολλές υποθέσεις έχουν διατυπωθή για το πώς ο Σάμιος σοφός οδηγήθηκε σ' αυτήν την διαπίστωσι (εκτός του να οφείλεται σε σύμπτωσι). Είναι βέβαιον, ότι έκανε επιλογές από τους ήχους, που παραδοσιακώς ακούονταν. Η προφανής προσπάθειά του ήταν να οργανώσει όλο αυτό το χάος κάτω από ένα μαθηματικό πρότυπο. Υπάρχουν και κάποιοι, ωστόσο, που λέγουν, ότι η συγκεκριμμένη πρακτική προϋπήρξε ως απόκρυφος γνώσις και άλλοι, που αμφισβητούν, ευθέως, και το ότι υπήρξε επέμβασις. Όπως και να έχει, όμως, οφείλουμε να ομολογήσουμε, ότι ως θεώρημα αποτέλεσε μίαν, όντως, μεγαλειώδη σύλληψιν.

Υπήρξε και μία παράπλευρος απώλεια, ωστόσο. Ήταν η εγκατάλειψις των προϋπαρξασών συζευγμένων (επταφθόγγων) κλιμάκων. Αυτό, όμως, είναι άλλο μεγάλο θέμα και δεν είναι του παρόντος.

Ό,τι έχει σημασία, είναι ότι, έτσι ή αλλιώς, η αναγκαία γνώσις αποκτήθηκε. Ο τρόπος (μέθοδος) υπολογισμού των μουσικών διαστημάτων στα έγχορδα εμπεδώθηκε από τους μουσικούς και τους αρμονικούς και η εξάρτησίς τους από το αφτί και τα πνευστά έπαυσε να υπάρχει. Από του σημείου αυτού και μετά τα πράγματα εξελίχθηκαν χωρίς δυσκολίες για τους Πυθαγορείους.

Το διάστημα ΦΑ - ΣΟΛ (δηλ. το διαζευκτικό των τετραχόρδων) εμετρήθηκε ως (3/2) x (3/4) = (9/8). Ο ίδιος είναι ο μείζων τόνος των αρμονικών κλιμάκων. (9/8) = (8+1)/8, δηλαδή ο φυσικός μείζων τόνος ανακαλύφθηκε ξανά, αλλά ως ο επιμόριος λόγος του οκτώ (εξ ου και επόγδοος). Το διάστημα τετάρτης κατατμήθηκε αυθαιρέτως σε δύο ίσους τόνους (επογδόους) και ένα λήμμα ή δίεσιν αντίστοιχον του φυσικού ελαχίστου τόνου (4/3)(8/9)2 = (256/243). Ο ελάσσων τόνος καταργήθηκε και μαζί οι 5οι αρμονικοί.
Αυτό, που πιθανώς επιδιώχθηκε από τον Πυθαγόρα, ήταν η εσωτερική συμμετρία (νοουμένη ως αρμονική) της κλίμακος, που προτεινόταν, (δηλ. η μεταξύ των φθόγγων του βαρέως και εκείνων του οξέως τετραχόρδου). Ο στόχος αυτός δεν επιτεύχθηκε απολύτως, παρά ταύτα. Ως μοιραία συνέπεια προέκυψε το ότι η Πυθαγορική κλίμακα καταρτίσθηκε πλέον από τους 2ους και 3ους αρμονικούς μόνον (ό,τι απέμεινε δηλ. από την φυσική).
Ο Πλάτων την κατέταξε γιαυτόν τον λόγο (επειδή δηλ. παραγόταν από τους λόγους 2 και 3) και επειδή είναι γνωστές, βεβαίως, οι μεταφυσικές εμμονές, από τις οποίες και ο ίδιος διακατεχόταν, όχι παραδόξως, ως την καλλίστη.

Περαιτέρω προσπάθεια για την κατάτμησι του επογδόου τόνου δεν έγινε κατ' αυτήν την συγκυρία (ίσως θεωρήθηκε μη αναγκαίο). Ο τόνος 9/8 διαιρέθηκε απλώς σε μίαν δίεσιν ή λήμμα και το διάστημα που αποτιμήθηκε (δηλ. την αποτομή) και το όλο θέμα, προσωρινώς, έμεινε εκεί. (9/8) (243/256) = (2187/2048).

Ο Φιλόλαος στην συνέχεια υπέδειξε έναν δικό του τρόπο για την διαίρεσι των μουσικών διαστημάτων (η Διαστηματική του Φιλολάου υπήρξε πολύ δημοφιλής έως και σχετικώς προσφάτως αλλά δεν ενδιαφέρει το παρόν άρθρο). Για ό,τι αφορά τον επόγδοο τόνο πρότεινε την σειρά των λόγων:
(243/230) (230/229) (229/216) = (243/216) = (9/8)
όπου ο λόγος (230/229) αντιστοιχεί σε ότι μπορεί να νοηθή ως κόμμα.
243 - 230 = 13
229 - 216 = 13
230 - 229 = 1 (δηλ. το μυθοποιημένο Φιλολαϊκό κόμμα).
Η αξία του επογδόου τόνου αποτιμάται κατά τα παραπάνω ως 27 κομμάτων (243 - 216=27). Παρομοίως προχώρησε στην διαίρεσι του διαστήματος της Πυθαγορικής διέσεως και της αποτομής. Ο προφανής στόχος του ήταν να μπορεί να αποδίδονται σκληρές ή μαλακές εναρμόνιες κλίμακες. Οι χρωματικές κλίμακες είχαν απορριφθή από τον Πυθαγόρα. Χρήσιμο για την κατανόησι του κλίματος, που δημιουργήθηκε από τους Πυθαγορείους, είναι να γίνει εδώ αναφορά στο πάθημα του Μαρσύα. Συμφώνως προς τον μύθο ο άτυχος σάτυρος μεταμορφώθηκε σε γάϊδαρο και ακολούθως σταυρώθηκε και γδάρθηκε (κυριολεκτικώς) από τον Απόλλωνα μετά το πέρας μουσικού αγώνος, στον οποίο συμμετείχαν ως αντίπαλοι. Συμβολίζεται έτσι, εδώ, η διαχρονική διαμάχη μεταξύ των παραδοσιακών, αγραμμάτων κατά το πλείστον, λαϊκών καλλιτεχνών (των πανηγυρτζήδων, ας μου επιτραπεί η έκφρασις) και των θεωρητικών της Μουσικής, οι οποίοι στην συγκεκριμμένην περίστασι εκπροσωπούνταν από τον Θεό.

Εκείνος, που κυρίως ασχολήθηκε με το θέμα της κατατμήσεως του τόνου, ο και πρώτος εισηγητής των επιμορίων λόγων, ήταν ο φίλος του Πλάτωνος Αρχύτας ο Ταραντίνος. Από αυτόν και μετά τα πράγματα εξέφυγαν τελείως. Ο λόγος, που τον ώθησε σ' αυτό ήταν οι μνήμες των διαστημάτων, που καταργήθηκαν από τον Πυθαγόρα, (οι όμορφες μαλακές διατονικές αλλά και οι χρωματικές κλίμακες, οι φυσικές τρίτες, έκτες και έβδομες βαθμίδες και γενικώς ό,τι έκανε το κοινό να προτιμήσει τον "άθλιο" σάτυρο από τον Θεό της Μουσικής). Όπως διασώζει ο μύθος ο Απόλλων ηττήθηκε αρχικώς. Εσκέφθηκε, λοιπόν, ο Αρχύτας, κατά μίμησιν της διαιρέσεως της διαπασών να διαιρέση και τον τόνο (9/8) σε αρμονικό και αριθμητικό μέσους. Με αυτόν τον τρόπο η θεωρία εμπλουτίσθηκε με δύο ακόμη επιμορίους λόγους (τους 18/17 και 17/16), δηλ.
NTO
RE
1
2/(1+8/9)=18/17
(1+9/8)/2=17/16
9/8
Έτσι εισήχθηκε και το ζήτημα (θεώρημα) της μη διαιρέσεως του τόνου σε δύο ίσα μέρη (δηλ. η αξιωματική θέσις, ότι δεν είναι δυνατή η διαίρεσις σε ημίση του επογδόου τόνου). Αυτό είναι αυταπόδεικτο, βεβαίως, υπό την έννοιαν ότι πράγματι δεν είναι δυνατόν ένα διάστημα, που ορίζεται από επιμορίους λόγους, να διαιρεθή σε δύο ίσα μέρη, που θα είναι επιμόριοι λόγοι επίσης, ή ακόμη, δεν είναι δυνατόν να υπάρξει διάστημα, οριζόμενον όπως παραπάνω είτε αλλιώς, που να μπορεί να διαιρεθή σε ημίση, τα οποία εν ταυτώ θα είναι οι αρμονικός και αριθμητικός μέσος των άκρων όρων του. Η ισότης
2/(1/a + 1/b)=(a+b)/2,
δίδει ότι a=b (δηλ. διάστημα μηδενικό).

Το θεώρημα αυτό, τελικώς, εδέσποσε στον Ανατολικό χώρο κατά τους επομένους αιώνες τόσο, που εισήχθηκε από τον Χρύσανθο τον εκ Μαδύτων στην Βυζαντινή Θεωρητική της Μουσικής, όπως αναφέρθηκε και στην αρχή του παρόντος. Αυτό, παρεμπιπτόντως, δείχνει μη πλήρη κατανόησι της θεωρίας από τα μέλη της Επιτροπής, αφού η εισαχθείσα το 1888 μ.Χ. κλίμακα είναι, καθ' ομολογίαν των εισηγητών της και όντως, Αριστοξενική. Στην ισοσυγκερασμένην (αναλογική) κλίμακα, όμως, τέτοιο ζήτημα δεν τίθεται ούτε ετέθη. Ο ίδιος ο Αριστόξενος διαίρεσε τον τόνο της κλίμακος, που εισήγατε, σε δύο ίσα ημιτόνια. Ακόμη, η Επιτροπή εδέχθηκε διατονικό ημιτόνιο 6 κομμάτων. Ο Βυζαντινός τόνος στην σύγχρονο εκδοχή (έκφρασί) του είναι 12 κομμάτων (12/72). Πρέπει, χάριν της αληθείας, να ομολογήσουμε πάρα ταύτα, ότι ο Χρύσανθος εισηγήθηκε κλίμακα Πυθαγορική, που θα μπορούσε να λειτουργεί ως 71ος κομμάτων (ο τόνος 12/71 προσεγγίζει τον επόγδοο). Ατυχώς, όμως, το "Μέγα Θεωρητικόν", που συνέγραψε, δεν έχει διασωθή στο πρωτότυπόν του.

Με τους επιμορίους λόγους ασχολήθηκαν πολλοί μετά τον Αρχύτα μεταξύ των οποίων ο Ερατοσθένης, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος και, κυρίως ο Ευκλείδης. Τελικώς κατά την δύσι της Ελληνιστικής Περιόδου, την Εποχή της ισχύος της Ρώμης, περί εκείνην του Χριστού, παρουσιάζεται σε πλήρη ανάπτυξι η κατάτμησι, που δίδεται στον ΠΙΝΑΚΑ ΙΙΙ. Το σύστημα υπήρξε πολύ παραγωγικό έως και σχετικώς προσφάτως. Ένα πολύ μεγάλο μέρος της Βυζαντινής Υμνογραφίας έχει συντεθή με επιλογές από αυτά τα διαστήματα.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ
Οι λόγοι
Τα φυσικά δαστήματα που αντιστοιχούν
256/243 Πυθαγορικό λήμμα
18/17
17/16
16/15 Φυσικός ελάχιστος τόνος
2187/2048 Πυθαγορική αποτομή
15/14
14/13
13/12
11/10
65536/59049 Φιλολαϊκός ελάσσων τόνος
10/9 Φυσικός ελάσσων τόνος
512/459
272/243
9/8 Φυσικός μείζων τόνος. Επόγδοος τόνος
ΣΗΜΕΙΩΣΙΣ: Λαμβάνεται ως ελάχιστον μελωδούμενον (αδιαίρετον) διάστημα αυτό της Πυθαγορικής διέσεως.

Εν κατακλείδι, εκείνο, που πρέπει να τονισθή είναι ότι ο λόγος αυτής της διατυπώσεως των μουσικών διαστημάτων ήταν αρχικώς, η ανάγκη μιμήσεως των φυσικών αντιστοίχων. Για πληρέστερη κατανόησι πρέπει, βεβαίως να συνδυασθή με την άγνοια των εμπλακέντων της κυματικής φύσεως της διαδόσεως του ήχου, γεγονός το οποίο δεν επέτρεψε παρά μόνο προσεγγιστική ακρίβεια και όχι αυτοδύναμον υπολογιστική τους.
Στο τέλος, βεβαίως, η θεωρία των επιμορίων λόγων απέκτησε χρηστική αυτοτέλεια. Οι επιμόριοι λόγοι δηλ. προσφέρονταν ως ακούσματα επιλογής των μουσικών, σε αντίθεσι με τα φυσικά διαστήματα, τα οποία παράγονται αφ' εαυτών, κατά τρόπον αναγκαστικό, όπως είπαμε, από τα πνευστά μουσικά όργανα. Παρά το ότι πολλά φυσικά διαστήματα εκφράζονται από επιμορίους λόγους, οι επιμόριοι λόγοι είναι φτωχές προσεγγίσεις όσων από αυτά δεν εμπίπτουν σ' αυτήν την κατηγορία.

Οφείλω, όμως, να τονίσω περαίνοντας, ότι παρά την κριτική, που τους έγινε παραπάνω, οι επιμόριοι λόγοι ως έκφρασις μουσικών διαστημάτων υπήρξαν μία όντως μεγαλοφυής επινόησις των προγόνων μας (ακόμα μία), η οποία αύξησε σημαντικώς την έκτασι και την ποικιλότητα της μουσικής δημιουργίας και κυρίως έκανε πράξιν το διαχρονικής ισχύος αίτημα, όπως διατυπώθηκε από τον μεγάλο (Ταραντίνο, επίσης) Αριστόξενο, ότι στην Μουσική εκείνο που προηγείται είναι η αισθητική εμπειρία (δηλαδή το να ακούγεται ευχαρίστως συντονίζοντας το συναίσθημα του ακροατού) και όχι τα μαθηματικά στην δομή της, όπως εδίδασκαν οι Πυθαγόρειοι. Το σημείον αναφοράς των Πυθαγορείων και του Πλάτωνος, βεβαίως, εντοπιζόταν στην σφαίρα του μεταφυσικού. Αντιθέτως, η αντίληψις του Αριστοξένου είναι αμιγώς Αριστοτελική.

Βιβλιογραφία:

Ευάγγελος Κ. Σπανδάγος: «Η αριθμητική εισαγωγή του Νικομάχου του Γερασηνού», εκδ. «Αίθρα» Αθήνα 2001.
Θεόδωρος Π. Ματθαίου: «Η Πανική προσφορά στην εξέλιξη της Μουσικής», εκδ. «Νέα Θέσις», Αθήνα 2007.
Μάριος Δ. Μαυροειδής: «Οι Μουσικοί Τρόποι στην Ανατολική Μεσόγειο», εκδ. «Fagotto», Αθήναι 1999.
Σίμων Ι. Καρράς: «Μέθοδος Ελληνικής Μουσικής. Θεωρητικόν» τόμοι Α και Β, εκδ. «Σύλλογος για την διάδοση της Εθνικής Μουσικής», Αθήνα 1982.

http://www.astro.noa.gr/journal/Public/journal_pythagorioi.htm.

(αποσπάσματα)

Μάρω Κ. Παπαθανασίου
∆ρ Μαθηματικῶν, ∆ρ Βυζαντινολογίας
Ἀναπληρώτρια καθηγήτρια
Τμῆμα Μαθηματικῶν
Πανεπιστήμιον Ἀθηνῶν
Ἀπὸ τὸν κύκλο στὴν ἔλλειψη:
Φιλοσοφία, θεολογία και ἐπιστήμη

http://webcache.googleusercontent.c...διανοίᾳ+θεωροῦμεν+τὰς+τούτωνδυνάμεις&hl=en#10

1. Ἀρχύτου,*Ἁρμονικός, εἰς H. Diels – W. Kranz,*Die Fragmente der Vorsokratiker,*I-III,
Berlin 1961, ἐδῶ II, 47 (Archytas), Fr. 1, σελ. 432,4-8: περί τε δὴ τᾶς τῶν ἄστρων
ταχυτᾶτος καὶ ἐπιτολᾶν καὶ δυσίων παρέδωκαν ἁμῖν σαφῆ διάγνωσιν καὶ περὶ
γαμετρίας καὶ ἀριθμῶν καὶ σφαιρικᾶς καὶ οὐχ ἥκιστα περὶ μωσικᾶς. Ταῦτα γὰρ τὰ
μαθημάτα δοκοῦντι ἦμεν ἀδελφεά


Τὴν ἀρχαιοτάτη ἀντίληψη περὶ τῆς ἁρμονίας, ἡ ὁποία παράγεται ἀπὸ τὴν κίνηση
τῶν οὐρανίων σωμάτων, δηλαδὴ τὴ σχέση τῆς ἀστρονομίας μὲ τὴ μουσική, ἡ ὁποία
ξεκινᾶ ἀπὸ τὸν Ὀρφέα καὶ τοὺς Πυθαγορείους καὶ συνεχίζεται στὸν Πλάτωνα,8
εὑρίσκομε πλήρως ἀνεπτυγμένη στὰ*Ἁρμονικὰ*τοῦ Κλαυδίου Πτολεμαίου.
Συγκεκριμένως, στὰ τελευταῖα κεφάλαια τοῦ τρίτου βιβλίου τῶν*Ἁρμονικῶν*του, ὁ
Πτολεμαῖος παραβάλλει τὶς κινήσεις τῶν πλανητῶν στὴ ζωδιακὴ ζώνη κατὰ
ἐκλειπτικὸν μῆκος καὶ πλάτος μὲ τὴ διαδοχὴ φθόγγων, οἱ ὁποῖοι διαφέρουν κατὰ τὸ
ὕψος καὶ τὴν ἔνταση τοῦ ἤχου, ἐνῶ τὴ μεταβαλλομένη ἀπόστασή τους ἀπὸ τὴν Γῆ
παραβάλλει πρὸς τὰ τρία τονικὰ «γἐνη» τῆς ἁρμονίας (διατονικόν, χρωματικὸν*καὶ
ἐναρμόνιον), δηλαδή, πρὸς τὸν τρόπο τῆς μελωδίας.9


8. G. Quandt,*Orphei hymni,*Weidmann, Berlin, 1962, σελ. 27: [Ὕμνος]*Ἀπόλλωνος,*στ.
16-23: «παντοθαλής, σὺ*δὲ*πάντα πόλον κιθάρῃ πολυκρέκτῳ/ ἁρμόζεις, ὁτὲ μὲν
νεάτης ἐπὶ τέρματα βαίνων,/ ἄλλοτε δ᾽ αὖ ὑπάτην, ποτὲ ∆ώριον εἰς διάκοσμον/
πάντα πόλον κιρνὰς κρίνεις βιοθρέμμονα φῦλα,/ ἁρμονίῃ κεράσας τὴν
παγκόσμιον ἀνδράσι μοῖραν,/ μίξας χειμῶνος θερεός τ᾽ ἴσον ἀμφοτέροισιν,/ εἰς
ὑπάτας χειμῶνα, θέρος νεάταις διακρίνας,/ ∆ώριον εἰς ἔαρος πολυηράτου ὥριον
ἄνθος».
Σχετικῶς μὲ τοὺς Πυθαγορείους ὁ Ἀριστοτέλης ἀναφέρει (Μετὰ
τὰΦυσικά,*Α΄ 5, 985b), ὅτι αὐτοὶ θεωροῦσαν*«τὸν ὅλον οὐρανὸν ἁρμονίαν εἶναι καὶ
ἀριθμόν».*Πλάτωνος*Πολιτεία,*Ι΄ 617b: ἐπὶ*δὲ*τῶν κύκλων αὐτοῦ ἄνωθεν ἐφ’
ἑκάστου βεβηκέναι Σειρῆνα συμπεριφερομένην, φωνὴν μίαν ἱεῖσαν, ἕνα τόνον· ἐκ
πασῶν*δὲ*ὀκτὼ οὐσῶν μίαν ἁρμονίαν συμφωνεῖν.

9. I. Düring,*Die Harmonielehre des Klaudios Ptolemaios,*(Göteborgs Högskolas Arsskrift*36),
Göteborg, Elanders, 1930, 2-111, ἐδῶ Βιβλ. Γ΄, κεφ. 8-16: 8. Περὶ τῆς ὁμοιότητος
τοῦ τελείου συστήματος καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου. 9. Πῶς τὰ τοῦ
ἡρμοσμένου σύμφωνα καὶ διάφωνα ὁμοίως ἔχει τοῖς ἐν τῷ ζῳδιακῷ. 10. Ὅτι*τῇ
κατὰ μῆκος κινήσει τῶν ἀστέρων τὸ ἐφεξῆς ἐν τοῖς φθόγγοις ἔοικεν. 11. Πῶς ἡ
κατὰ βάθος κίνησις τῶν ἀστέρων τοῖς ἐν ἁρμονίᾳ γένεσι παραβάλλεται. 12. Ὅτι
καὶ ταῖς κατὰ πλάτος παρόδοις τῶν ἀστέρων ἐναρμόζουσιν αἱ κατὰ τοὺς τόνους
μεταβολαί. 13. Περὶ τῆς ἀναλογίας τῶν τετραχόρδων καὶ τῶν πρὸς τὸν ἥλιον
σχηματισμῶν. 14. Κατά τινας ἂν πρώτους ἀριθμοὺς παραβληθεῖεν οἱ τοῦ τελείου
συστήματος ἑστῶτες φθόγγοι ταῖς πρώταις τῶν ἐν τῷ κόσμῳ σφαίραις. 15. Πῶς
ἂν λαμβάνοιντο διὰ τῶν ἀριθμῶν οἱ τῶν οἰκείων κινήσεων λόγοι. 16. Πῶς ἂν αἱ
τῶν πλανωμένων συνοικειώσεις παραβάλλοιντο ταῖς τῶν φθόγγων

Μάξιμος Πλανούδης*καὶ*Μανουὴλ Βρυέννιος
Τὸ ἰδιαίτερο ἐνδιαφέρον τοῦ Μαξίμου Πλανούδη (περὶ τὸ 1255- περὶ τὸ 1305) γιὰ
τὴν ἀστρονομία ἀποδεικνύεται ἀπὸ τὰ ἰδιόχειρα σχόλιά του στὸ περιθώριο ἑνὸς
κώδικος μὲ τὴν*«Κυκλικὴ θεωρία τῶν μετεώρων»*τοῦ Κλεομήδους (Α΄; αἰ. μ.Χ.) καὶ τὰ
«Φαινόμενα»*τοῦ Ἀράτου (315/310-275 π.Χ.), μεταξὺ τῶν ὁποίων περιλαμβάνεται καὶ
ἡ καταγραφὴ τῆς σεληνιακῆς ἐκλείψεως τῆς 21ης*Αὐγούστου 1290.12*Τὸ ἴδιο μεγάλο
ἐνδιαφέρον του γιὰ τὴ μουσικὴ (ἁρμονικὴ) ἀποδεικνύεται ἀπὸ τὴ μοναδικὴ στὸν
κόσμο αὐτόγραφη βίβλο του —ὅπως γράφει— μὲ ὅλα τὰ σωζόμενα ἀρχαῖα ἔργα περὶ
μουσικῆς, τὰ ὁποῖα εἶχε μόνος ἀντιγράψει καὶ τὴν ὁποία κατεῖχε καὶ χρησιμοποιοῦσε
στὴ διδασκαλία του. ∆υστυχῶς, τὴ δάνεισε σὲ κάποιον μοναχό, ὁ ὁποῖος οὐδέποτε
τοῦ τὴν ἐπέστρεψε καὶ ἕως σήμερα εἶναι χαμένη.13


ὁ Βρυέννιος ἔκανε ἀστρονομικὲς παρατηρήσεις,
μολονότι δὲν σώζεται κάποιο καθαρῶς ἀστρονομικὸ ἔργο του.15*Τὶς ἀστρονομικὲς
γνώσεις του, ὅμως, εὑρίσκομε στὰ*Ἁρμονικά*του, τὸ ἔργο του στὸ ὁποῖο συνοψίζει
ὅλη τὴν ἕως τότε θεωρία τῆς ἑλληνικῆς μουσικῆς, ἀναφερόμενος σὲ μυθικὲς καὶ
ἱστορικὲς προσωπικότητές της (π.χ. τὸν Ἑρμῆ, τὸν Ὀρφέα, τὸν Πυθαγόρα,16*τὸν
Τέρπανδρο κ.ἄ.17), καὶ ἔχοντας ὡς βασικὲς πηγές του τὰ*Ἁρμονικὰ στοιχεῖα*τοῦ
Ἀριστοξένου τοῦ Ταραντίνου (περὶ τὸ 370-300 π.Χ.), τὸ*Ἁρμονικὸν ἐγχειρίδιον*τοῦ
Νικομάχου τοῦ Γερασηνοῦ (περὶ τὸ 100 μ.Χ)18*καὶ τὰ*Ἁρμονικὰ*τοῦ Κλαυδίου
Πτολεμαίου. Ὁ ἴδιος, συνεχίζοντας τὴν ἑλληνικὴ φιλοσοφικὴ καὶ ἀστρονομικὴ
παράδοση, ἀναφέρεται καὶ στὴν «κρυφὴ ἁρμονία» τοῦ σύμπαντος, ἡ ὁποία
δημιουργεῖται ἀπὸ τὶς κινήσεις τῶν πλανητῶν, ἀλλὰ εἶναι ἀκουστὴ μόνον ἀπὸ
ἐκείνους, οἱ ὁποῖοι ἔχουν καθάρει τὴν ψυχή τους.19*

16. G. H. Jonker,*The Harmonics of Manuel Bryennius, Groningen, Wolters-Noordhoff,
1970, 48-375, (=*Βρυέννιος) Βιβλ. Α΄, κεφ. Β΄, σελ. 74,4: ὁ τὴν ἁρμονικὴν ἐπιστήμην
τεχνώσας Πυθαγόρας

17.*Βρυέννιος,*Βιβλ. Α΄, προοίμ., σελ. 54,13-19: Χρὴ τοιγαροῦν εἰδέναι, ὅτι ὁ ἐκ Σάμου
Πυθαγόρας ἦν, ὃς πρῶτος τοῦτο ἡρμόσατο· οὗτος καὶ γὰρ ἐν τοῖς ἀδύτοις τῶν κατ’
Αἴγυπτον ἀνακτόρων τὴν τοῦ Ὀρφέως ἀρχαιότροπον ἑπτάχορδον λύραν
εὑράμενος, ἣν Τέρπανδρος ἐκ Λέσβου εἰς Αἴγυπτον ἀφικόμενος ἐν ἐκείνοις
ἀνέθετο, ἐπειδὰν πρὸς τοὺς ἐν αὐτῇ σοφούς ἱεροτελεστὰς παραγένοιτο ὡς ἂν καὶ
τὴν τῶν Αἰγυπτίων διδαχθείη σοφίαν, καὶ*τῇ*κατατομῇ αὐτῆς ἄγαν προσεκτικῶς
ἐπιστήσας τὸν νοῦν καὶ καθ’ οὓς λόγους αὕτη διῄρητο εἰ καί τις ἄλλος εὐστόχως
κατειληφώς…

18.*Αὐτόθι, σελ. 60,16-σελ. 62,5: ὅτι*δὲ*παλαιά τις ἦν δόξα, ὡς οἱ πλάνητες διὰ τοῦ
αἰθερίου ἀναχύματος διηνεκῶς καὶ ἀστάτως κινούμενοι ἐναρμονίους ἤχους
ἀποτελοῦσι, καὶ ὁ ἐκ Γεράσης Νικόμαχος ἐν τῷ ἐγχειριδίῳ τῆς ἁρμονικῆς
ἀριδήλως τοῦτο παρίστησι· λέγει γὰρ οὗτος ταυτὶ κατὰ λέξιν ἐκεῖ·*“τὰ μὲν οὖν
ὀνόματα τῶν φθόγγων ἀπὸ τῶν κατ’ οὐρανὸν ἰόντων ἑπτὰ ἀστέρων καὶ τὴν γῆν
περιπολευόντων πιθανὸν ὠνομάσθαι· πάντα γὰρ τὰ ῥοιζούμενά φασι σώματα
καθ’ ὑπείκοντός τινος καὶ ῥᾷστα κυμαινομένου ψόφους ἀναγκαίως ποιεῖν
μεγέθει τε καὶ τάχει καὶ φωνῆς τόπῳ παρηλλαγμένους ἀλλήλων ἤτοι παρὰ τοὺς
ἑαυτῶν ὄγκους ἢ παρὰ*τὰς*ἰδίας ταχυτῆτας ἢ παρὰ*τὰς*ἐποχάς, ἐν αἷς ἡ ἑκάστου
ῥύμη συντελεῖται, εὐκυμαντοτέρας ἢ τοὐναντίον δυσπαλεῖς ὑπαρχούσας. αἱ*δὲ
τρεῖς αὗται διαφοραὶ τρανῶς ὁρῶνται περὶ τοὺς πλάνητας μεγέθει τε καὶ τάχει
καὶ τόπῳ διεστῶτας ἀλλήλων καὶ διὰ τοῦ αἰθερίου ἀναχύματος διηνεκῶς καὶ
ἀστάτως ῥοιζουμένους. ἔνθεν γὰρ καὶ τοῦ ἀστὴρ ὀνόματος τέτευχεν ἕκαστος οἷον
στάσεως ἐστερημένος καὶ ἀεὶ θέων, παρ’ ὃ καὶ θεὸς καὶ αἰθὴρ ὠνοματοπεποίηται.

19.*Αὐτόθι,*σελ. 56,12-21: «Ὁ Ἑρμῆς, οὗ θρύλλος ἦν πάλαι πολὺς ἐν τοῖς Ἕλλησι,
πρῶτος τὴν εἰρημένην ἀρχαιότροπον ἑπτάχορδον λύραν εὗρε καὶ ἐκ δυοῖν
τετραχόρδων ὁμοίων κατὰ σχῆμα ὀξυτέρου τε καὶ βαρυτέρου ἡρμόσατο κατὰ
μίμησιν τῶν σφαιρῶν τῶν ἑπτὰ ἀστέρων, οἳ καλοῦνται πλανώμενοι διὰ τὸ ἀπὸ
δυσμῶν ἐπ’ ἀνατολὰς ἐναντίως τῷ παντὶ ποιεῖσθαι τὴν κίνησιν, καὶ ἔτι τῶν
νοερῶς ἐξ αὐτῶν ἐξηχουμένων ἤχων, δι’ ὧν, ὡς ἀρχαῖός τις διαρρεῖ λόγος,

τεσσάρων πρωταρχικῶν στοιχείων (πῦρ, γῆ, ἀήρ, ὕδωρ), ἀπὸ τὰ ὁποῖα συνίσταται ὁ
κόσμος-σύμπαν, μὲ τὶς χορδὲς (νήτη, παρανήτη, παρυπάτη, ὑπάτη) τοῦ παλαιοτάτου
τετραχόρδου ἁρμονικοῦ κανόνος,20*τὸ ποιὸν τῶν φθόγγων τους καὶ τὸ μέγεθος τῶν
διαστημάτων τους, ἔχει ὡς ἑξῆς:21
πῦρ
νήτη
ὁ ὀξύτατος φθόγγος
τόνος
ἀὴρ
παρανήτη
ὁ ὀξύτερος φθόγγος
τόνος
ὕδωρ
παρυπάτη
ὁ βαρύτερος φθόγγος
λεῖμμα
γῆ
ὑπάτη
ὁ βαρύτατος φθόγγος
Ὁ Βρυέννιος, ὅπως καὶ πρὸ αὐτοῦ ὁ Γεώργιος Παχυμέρης (1242- περ. 1310),22
παραθέτει καὶ τὶς δύο ἐκδοχὲς ἀντιστοιχίας τῶν ἑπτὰ πλανητῶν πρὸς τὶς ἑπτὰ
χορδὲς τῶν δύο συνημμένων ἁρμονικῶν τετραχόρδων, δηλαδὴ πρὸς τὴν*«εἰρημένην
ἀρχαιότροπον ἑπτάχορδον λύραν»,*οἱ ὁποῖες βασίζονται σὲ παρατηρήσεις καὶ μετρήσεις
τῶν*«παλαιῶν μαθηματικῶν»,*τὶς ὁποῖες αὐτοὶ*«διὰ τῶν εἰρημένων διοπτρικῶν
ὀργάνων ἀκριβῶς κατελάμβανον». Τὴ μία ἀντιστοιχία ἀποδέχονται ἐκεῖνοι, οἱ ὁποῖοι
τὶς κινήσεις τῶν πλανητῶν βάσει τῆς*«ἐπὶ ταὐτὰ τῷ κόσμῳ τὴν κίνησιν ποιεῖσθαι*(δηλ.
τῆς ἐξ ἀνατολῶν πρὸς δυσμὰς ἡμερησίας περιστροφῆς τῆς οὐρανίου σφαίρας)
ὑπέθεντο»,*καὶ ἕκαστον πλανήτην*«καθ᾽ ἑκάστην περιφορὰν τοῦ παντὸς»
ὑπολειπόμενον*«τοῦ ἀφ᾽ οὗ ἤρξατο σημείου πρὸς τὰ ἡγούμενα κατὰ μῆκος*(ἐνν. τοῦ
ζωδιακοῦ)*μέσως ποιεῖσθαι τὴν κίνησιν».23*Τὴν ἄλλη ἀντιστοιχία24*δέχονταν ὁ
Νικόμαχος ὁ Γερασηνὸς καὶ ὅσοι*«τῶν παλαιῶν μαθηματικῶν*...*ὑπέθεντο ἀπὸ δυσμῶν
πρὸς ἀνατολὰς ἐναντίως τῷ κόσμῳ τοὺς πλανωμένους ποιεῖσθαι τὴν κίνησιν».25*Καὶ οἱ
δύο ἐκδοχὲς ἀντιστοιχίας ἐμφανίζονται στὸν κατωτέρω πίνακα:
Κατὰ Νικόμαχον
Κατ᾽ ἄλλους μαθηματικοὺς
χορδὴ
πλανήτης
ἡμερ. κίνημα
χορδὴ
καὶ ἀπόλειψη
ὑπάτη
Κρόνος
β΄
νήτη
παναρμόνιόν τι καὶ θεῖον μέλος συνεξυφαίνεται, οὗ πάντες ἀκούειν οὐ δύνανται,
ἀλλὰ μόνοι ἐκεῖνοι, ὅσοι γε δὴ*τὰς*τῆς ψυχῆς νοερὰς ἀκοὰς δι’ ἄκραν εὐζωΐαν
ἐκάθηραν· οἱ γὰρ τῷ ὄντι γενεσιουργοὶ τῶν θείων σωμάτων, ὥς φασιν, ἦχοι
ἐπικήροις ἀκοαῖς οὐδαμῶς ἀκουστοὶ καθεστήκασιν». Ἐπίσης σελ. 60,17 κ.ἑ.
ἀναφερόμενος στὸ*Ἁρμονικὸν ἐγχειρίδιον*τοῦ Νικομάχου τοῦ Γερασηνοῦ.


20.*Βρυέννιος,*Βιβλ. Β΄, κεφ. 5, σελ. 174,1-3: Κανὼν*δὲ*πάλιν ἁρμονικός ἐστι μέτρον
ὀρθότητος τῶν ἐν τοῖς φθόγγοις ἡρμοσμένων διαφορῶν, αἳ θεωροῦνται ἐν λόγοις
ἀριθμῶν. Ὁ γοῦν τοιοῦτος κανὼν ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν ἀνδρῶν ἐπινενόηταί τε
καὶ εὕρηται


παρυπάτη
Ζεὺς
ε΄
παρανήτη
ὑπερμέση+λιχανός
Ἄρης
λα΄
παραμέση
μέση
Ἥλιος
νθ΄
μέση
παραμέση
Ἀφροδίτη
νθ΄
παρυπάτη+λιχανὸς
παρανήτη
Ἑρμῆς
νθ΄
παρυπάτη
νήτη
Σελήνη
ιγº ιδ΄
ὑπάτη
Ὁ Βρυέννιος ἀναφέρει ἰδιαιτέρως καὶ τοὺς ὀκτὼ ἀπὸ τοὺς ἀρχαίους μελωδικοὺς
τόνους, οἱ ὁποῖοι υἱοθετήθηκαν ἀπὸ τὴν Ἐκκλησία, κατὰ τὴν ἑξῆς ἀντιστοιχία:26
Ἦχος*πρῶτος
ὑπερμιξολύδιος*τόνος
Ἦχος*δεύτερος
μιξολύδιος*τόνος
Ἦχος*τρίτος
λύδιος*τόνος
Ἦχος*τέταρτος
φρύγιος*τόνος
Ἦχος*πρῶτος πλάγιος
δώριος*τόνος
Ἦχος*δεύτερος πλάγιος
ὑπολύδιος*τόνος
Ἦχος*βαρὺς
ὑποφρύγιος*τόνος
Ἦχος*τέταρτος πλάγιος
ὑποδώριος*τόνος
Ὁ Βρυέννιος παραθέτει μάλιστα αὐτολεξεὶ καὶ τὴ θέση τοῦ Ἀριστοξένου, ὅτι ἡ
Ἁρμονικὴ βασίζεται στὴν αἴσθηση τῆς ἀκοῆς καὶ τὴ γεωμετρία:*«ἔστι δὴ τὸ μὲν ὅλον
ἡμῖν ἡ θεωρία περὶ μέλους παντὸς μουσικοῦ τοῦ γινομένου ἐν φωνῇ τε καὶ ὀργάνοις.
ἀνάγεται δ᾽ ἡ πραγματεία εἰς δύο, εἴς τε τὴν ἀκοὴν καὶ τὴν διάνοιαν,*τῇ*μὲν ἀκοῇ κρίνομεν
τὰ τῶν διαστημάτων μεγέθη,*τῇ*δὲ*διανοίᾳ*θεωροῦμεν*τὰς*τούτων δυνάμεις.»27


26.*Βρυέννιος,*Βιβλ. Γ΄, κεφ. 4, σελ. 314,6-20. Σημειωτέον, ὅτι στὸ διατονικὸ γένος
ἀνήκουν οἱ ἦχοι πρῶτος καὶ τέταρτος καὶ οἱ πλάγιοί τους, στὸ χρωματικὸ γένος
ἀνήκουν ὁ ἦχος δεύτερος καὶ ὁ πλάγιός του, καὶ στὸ ἐναρμόνιο γένος ἀνήκουν ὁ
ἦχος τρίτος καὶ ὁ ἦχος βαρύς.

27.*Αὐτόθι,*κεφ. 11, σελ. 370,24 κἑ.: λέγει γὰρ οὗτος [ὁ Ἀριστόξενος] ταυτὶ κατὰ λέξιν
ἐν τῷ δευτέρῳ τῶν ἁρμονικῶν αὐτοῦ στοιχείων πρὸς τοὺς τοιούτους, ὡς ἔστιν
ὑπονοεῖν, πλαγίως πως τὸν λόγον ἀποτεινόμενος·*“ἔστι δὴ τὸ μὲν ὅλον ἡμῖν <ἡ>
θεωρία περὶ μέλους παντὸς μουσικοῦ τοῦ γινομένου ἐν φωνῇ τε καὶ ὀργάνοις.
ἀνάγεται δ’ ἡ πραγματεία εἰς δύο, εἴς τε τὴν ἀκοὴν καὶ εἰς τὴν διάνοιαν.*τῇ*μὲν
ἀκοῇ κρίνομεν τὰ τῶν διαστημάτων μεγέθη,*τῇ*δὲ*διανοίᾳ*θεωροῦμεν*τὰς
τούτων δυνάμεις. δεῖ οὖν ἐπεθισθῆναι ἕκαστα ἀκριβῶς κρίνειν. οὐ γὰρ ἔστιν
ὥσπερ ἐπὶ τῶν (σελ. 374) διαγραμμάτων εἴθισται λέγεσθαι· ἔστω τοῦτο εὐθεῖα
γραμμή, —οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν διαστημάτων εἰπόντα ἀπηλλάχθαι [δεῖ]. ὁ μὲν γὰρ
γεωμέτρης οὐδὲν χρῆται*τῇ*τῆς αἰσθήσεως δυνάμει, οὐ γὰρ ἐθίζει τὴν ὄψιν οὔτε
τὸ εὐθὺ οὔτε τὸ περιφερὲς οὔτ’ ἄλλο οὐδὲν τῶν τοιούτων οὔτε φαύλως οὔτ’ εὖ
κρίνειν, ἀλλὰ μᾶλλον ὁ τέκτων καὶ ὁ τορνευτὴς καὶ ἕτεραί τινες τῶν τεχνῶν περὶ
ταῦτα πραγματεύονται· τῷ*δὲ*μουσικῷ σχεδόν ἐστιν ἀρχῆς ἔχουσα τάξιν ἡ τῆς
αἰσθήσεως ἀκρίβεια· οὐ γὰρ ἐνδέχεται φαύλως αἰσθανόμενον εὖ λέγειν περὶ
τούτων, ὧν μηδένα τρόπον αἰσθάνεται

Zambelis Spyros said:

Αποζημίωση

Γιώργος Λυκούρας «Πυθαγορική Μουσική και Ανατολή»

''Ο Φιλόλαος και η διχοτόμηση του τόνου'' είναι μία έρευνα αφού συνέδεσε τα μαθηματικά με τη μουσική. Αυτή η πρωτότυπη έρευνα του εξασφάλισε το Εμπειρίκιο βραβείο το 2000 .

Κυκεώνα!

Χρειάζεται προσοχή! Ανακατεύεται συχνά το σπουδαίο με το άχρηστο. (Ιάμβλιχος)

Ο Λυκούρας φαίνεται σοβαρός στα μαθηματικά. Όσο και ανήκει σε άλλο τμήμα .

Click to expand...

Υπάρχει κάπου αυτή η μελέτη;
Μια σχετική πάντως, για την οποία έχω κάνει αρκετές φορές λόγο εδώ στο Ψαλτολόγιο, είναι αυτή του Θεοδώρου Ματθαίου "Οι Πυθαγόρειοι και η κατάτμηση του τόνου" εδώ.

Υ.Γ. Μόλις τώρα είδα την προηγούμενη δημοσίευση του κ. Ζαμπέλη, που παρέθεσε το άρθρο του Θ. Ματθαίου. Δεν του ξεφεύγει τίποτα...

Aυτή η μελέτη υπάρχει εδώ:

ΙΔΡΥΜΑ ΕΥΓΕΝΙΔΟΥ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ

Διόρθωση:

http://www.eugenfound.edu.gr/frontoffice/portal.asp?cpage=NODE&cnode=5

(Ελπίζω είναι σωστό .)

Δημόσιο κατάλογο της βιβλιοθήκης του Ιδρύματος Ευγενίδου

http://opac.eugenfound.edu.gr/web/guest/welcome

1. Title: Πυθαγορική μουσική
Author: Λυκούρας, Γιώργος aut
Publication Statement: Αθήνα: Συρτός, 1994
2. Title: Ο Φιλόλαος και η διχοτόμηση του τόνου
Author: Λυκούρας, Γιώργος aut
Publication Statement: Αθήνα: Συρτός, χ.χ.

Η βιβλιοθήκη λειτουργεί ως δανειστική. Εμπλουτίζω το μουσικό ράφι με σχετικά βιβλία. (Αρχαία Ελληνική Μουσική)

ΙΔΡΥΜΑ ΕΥΓΕΝΙΔΟΥ Λ. Συγγρού 387 - 175 64 Π.ΦΑΛΗΡΟ - Τηλ: 210 9469600 - Fax:210 9417372 - Email:admin@eugenfound.edu.gr

LIVRE CONTENANT LES LOIS NUMÉRIQUES DE LA MUSIQUE,...

THÉON DE SMYRNE

PHILOSOPHE PLATONICIEN

http://remacle.org/bloodwolf/erudits/theon/musique.htm

~~~~~~


nikosthe:

TheonosSmyraniou_ToKataMathimatikon.zip

http://analogion.com/forum/showthread.php?t=12139&page=101

http://analogion.com/forum/attachment.php?attachmentid=33972&d=1286885385

[''Ο Πλούταρχος (Περί της εν Τιμαίω ψυχογονίας 1020E-F, 17) γράφει: "οι αρμονικοί πιστεύουν ότι ο τόνος διαιρείται σε δύο διαστήματα, το καθένα από τα οποία ονομάζουν ημιτόνιο · αλλά οι Πυθαγόρειοι αποδοκίμασαν τη διαίρεση σε ίσα μέρη, και ονόμασαν από τα άνισα αυτά μέρη το μικρότερο λείμμα, γιατί είναι μικρότερο από το μισό".'']

λείμμα

http://www.musipedia.gr/

Ploutarchou ... Ta ēthika: Plutarchi ... Moralia, id est opera ..., Volume 9 By Plutarch

http://books.google.com/books?pg=PA...dDAAAAYAAJ&ots=SRjgkFVO1a#v=onepage&q&f=false